关于线性算子广义Bott-Duffin逆的一点注记

关于线性算子广义Bott-Duffin逆的一点注记 数学物理学报:// .. . ,: ? 关于线性算子广义. 逆的一点注记 , 。杜鸿科 , 邵春芳 许俊莲 姬淑凤 陕西师范大学数学与信息科学学院 西安; 。安康学院数学系 陕西安康 摘要:该文推广了邓彬和陈果良在文献 中所得的关于矩阵的广义 ? 逆的若干结 果.基于算子的空间分解理论,证明了这些结果对无穷维希尔伯特空间上的有界线性算子也是 成立的.值得指出的是该文所用的数学思想和方法与文献 中所用的方法是完全不同的. 关键词:广义逆;? : 逆;算子矩阵;幂等算子. 主题分类: 中图分类号:文献标识码: 文章编号: ? ? ?引言和 在研究平方矩阵的过程中,引入了一个很重要的工具,叫做平方矩阵的 “收缩逆” 目前,这种逆被许多数学家叫做 ? 逆. 和提出 了关于 ? 逆的许多重要的性质和应用】.近些年来,矩阵的逆吸引了 国内外大量的数学家.例如: .在文献 中定义了广义的 ? 逆, 并给出了它的一些性质. ., . 和 .在文献中讨论了广义? 逆 的扰动理论. 年, .和 . 在文献 中建立了有关矩阵的广义 ?逆的若干有趣性质.在本文中,我们主要考虑无穷维希尔伯特空间上算子的广义 ?逆的相关性质,并推广了文献和】中的结论.本文中所运用的思想和方法是完全不同 于文献 】和 】中所使用的方法. 为了论述本文的主要结果,首先介绍一些符号示和术语. 设是希尔伯特空间 上全体有界线性算子构成的集合. ?廖 ,我们用 ,和分别表示算子 的伴随,零空间和值域.如果对所有的 ?, ,,则 称 为正算子.如果 是正的,我们用 表示算子 的唯一的正的平方根.若 , 则称 是压缩算子.设 是 的一个闭子空间,用 表示到空间 上的正交投影. 和 是 的两个闭子空间,用 . 表示沿着 到 上的斜投影,它具有性质: .?,即 , 为中的幂等元.如果: 并且:/,则称 收稿日期:? ? ;修订日期: ? ? ? : .. 基金项目:国家自然科学基金资助 通讯作者 数 学 物 理 学 报. 和 为 的两个互补子空间.设 ? ,如果存在非零算子 ?满足下面方 程组, , :, 一,则称 为 的广义逆,记作 见文献 ,.设 ? , 为 的一个闭子空 间,如果算子 //一一的广义逆 存在,则 关于 的广义 ? 逆 定义为 见文献 ,其中朋上表示 的正交补子空间.假设 和 是 的两个闭的互补子空 间,并且算子 ,, 的广义逆 , . 十存在,则 关于两个闭子空间和 的广 义 ?逆 可定义为? ,?, , 见文献 。 下面给出本文的主要结果. 定理 . 【 设 ? , 是 的一个闭子空间.如果算子 的值域是闭的,那么 下面论述等价 上: ; . 定理 . 设 ? , 和 是 的两个补子空间并且算子 , 厂的值 域 , ,? 是闭的.如果 并且 : , ,那么 . :, / 主要结果的证明 我们首先给出些引理. 引理 . 设 朋 和 是 的两个闭子空间.那么 和 在空间分解 其中 , 上,‘ ,上 上, ,/ 和;: 下分别具有算子矩阵形式 尸 ?/ ? ?和 / \:, 。 ? 。 厶。 \ 一 , 一 如一 / 其中 是 空间上的正压缩算子,, 不是 的点谱, 是 到 空间上的酉算 子.并且 厶, 分别表示 ,?, 空间上的单位算子和零算子. 和?分别表 示 空间的正交直差和正交直和. 由引理 . ,显然. 引理 . 在引理 . 的条件下,如果 和?是 的两个互补子空间,那么 和 ,在空间分解 , 下分别具有算子矩阵形式 尸? ? / . 杜鸿科等:关于线性算子广义 ? 逆的一点注记 和、 其中 一 是 空间上的可逆算子. ,, .. ,、\ 引理 . 设 ? . 的广义逆 存在当且仅当 的值域是闭的; 如果 的广义 逆 存在,那么 ,并且 . 引理 . 设 ? , 和 是 的两个互补子空间.那么算子 ,, / , \ 的广义逆 ,, 存在当且仅当算子 /,? , 的值域, ,? 是/, ? ?? 闭的. 一/ 证 设 ,?, ,, 和 关于空间分解 分别具有算子矩阵形式 ,,,............... ? 如 一一/ ?一 如?/ 四 其中 表示拓扑直和, 为子空间 上的单位算子.此时 ?, , . 由引理 .,算子 ,? , 的广义逆 ,? , 存在当且仅当值域 , 是闭的,由 式和 式知 ,?, 是闭的当且仅当 , ;己 :,? ,? 是闭的. 定理 . 的证明 如果 和 是互补的并且值域冗 ,,? 是闭的,那么由 引理 . ,广义逆和, , 存在.又由引理 . , 和在空间分解 下分别具有算子矩阵形式 一。、。厶, 。 一 其中 ~ 是可逆算子, 是单射算子. 在这种情况下,为了证明上,只需证明 : 并且 . 我们采用反证法,假设/ ? 由引理 . : ,显然 ?.这就 意味着式中的 ? 同时 ? . 另一方面,幂等算子 , 在空间分解/下具有算子矩阵形式 数 学 物 理 学 报.由 尸 .? ,即 季蚕繁繁。。。一 麓一一。/。 ~ 【: 。 。 。 比较上面最后一个等式的两边,我们有 一 , , 一 : 以及 .由引理 . 和引理 . , 是个酉算子, 是单射稠值域算子, 一 是可逆算子,因此通过简单计算我们可以得到: , , , 一 一 一 .此时 一。。。 观察可得 .. : .我们有 :。 。 , ’ \,。 \/『。 由于 , ,% .? ,?并且,,我们可得 ,且 ,, .? 上.进一步由冗 ,? ,?死 , ,人 以及已知条件 一 , ,? ,我们有己 上.因此.又由 于,/,? , ,所以 尸 ,? ,, .进而由引理 . , 我们可得,人,,, ,因此 , % ,?. .即 一 一 、 . 、 由 , 和式,我们有 /, 。一 :?。如 以及。 。 , , 。一,?。。一。。。. . 杜鸿科等:关于线性算子广义 ?逆的一点注记 如果 在空间分解 下有算子矩阵形式× ,那么 ? ,? , 。。。一 ×,,,.........。........ \ \ 。 /,,..... ,。.....。. \ 蛆其中 / 一 一 , / 一 一 .又由 , 及式我们有、、 ? ?? ? ? ? / 、 ? ? ?? ? ? / / /。 。 一 一 。 。 。一。。。如. 注意到 和 都是单射算子,比较 式的两边,我们有 , ,~ 以及 .此时 、 、 ? ?? ? ? ? /、、,???? / 、 ? ?? ?? ? ?// 、 ?? ? ? ? ?/ 因此 冗 三;。昙一, 进一步由于 冗 , 、 \/ 一 / ;/一 冗 。。。曼一,?