各态历经与孤立系统趋向平衡的关系

各态历经与孤立系统趋向平衡的关系 广西师范大学学报 物理专辑JOU RN A L O F GU A N GX I N O RM A L U N IV ER S IT Y 2000 年 第 2 期 各态历经与孤立系统趋向平衡的关系 邱晓燕 李 建 邓昭镜 ( ) 西南师范大学物理系, 重庆 北碚 400715 摘 要: 从热力学和统计物理观点出发讨论了各态历经与孤立系统趋向平衡问题的关系. 论述了各态历经是 孤立系统趋向平衡的必要条件而非充分条件. 提出只有同时满足各态历经和等几率原理, 孤立系统才会趋向 平衡. 关键词: 各态历经; 孤立系统; 趋向平衡 所谓孤立系统是指与外界既无能量交换又无物质交换的系统. 它是热力学和统计物理最基本的研 究对象, 也是研究客观物质世界的理想模型. 对于孤立系统的趋向平衡问题, 热力学和统计物理分别从 宏观和微观给予了不同的定义. 热力学理论指出: 一个孤立系统在不受外界影响的条件下, 经过足够长 的时间后, 系统的各种宏观性质在长时间内不发生任何变化的状态称为热力学平衡态. 换而言之, 孤立 系统不管其初始状态如何, 只要经过的时间足够长, 将最终趋向平衡. 热力学的熵增加原理指出: 孤立系 统的熵永不减少. 由于孤立系统的熵永不减少, 则孤立系统中发生的任何过程不是使熵保持不变, 就是 使熵增加. 这样经过足够长的时间后, 孤立系统的熵或者趋向极大或者趋向一个稳定值. 如果孤立系统 的熵达到了极大值, 则系统处于平衡状态. 从统计观点看, 熵是系统中微观粒子无规则运动量的对数量() 度 = , 系统处于平衡态时的微观状态数最多, 即处于平衡态时系统熵极大. 正是由于孤立系统 S k lnw 平衡态对应的微观状态数最多, 于是在一段时间里曾有人提出了“各态历经就是趋向平衡”的观点. 那何 为各态历经, 各态历经是否就等于趋向平衡呢? 本文从理论和实践两方面就此问题进行了探讨.1 各态历经 () 各态历经最早是在讨论平衡态统计 微正则系统基础时提出的. 若相空间 # 中代表点是 x , 各态历 1() , 经 可表述如下: 如果对于所有的相函数 x f () ?对于几乎所有的 x 一个测度为零的集合可例外存在时间平均 f T. ?当它存在时它等于相平均< > = < > 即:f T f s 然 和 ′是表示同一态的归一化的矢量, 它们对于任一动力学变量 导出不同的期待值, 除了当这个7 7 Α 期待值为零为外, 因为物理解释的以上的困难与负或零模的矢量相联系, 所以仅仅当由负或零的模的矢 量表示的态是物理上不能被观测的时候, 一个不定度规能够被用于一个量子力学系统. 参 考 文 献 21 . , . . . . 1964J am e s DB jo rko n S idney DD re llR e la t iv ist ic Q uan tum M ech an ic sM cG raw H ill Boo k Com p any . . . . 19772 Su ra j NGup taQ uan tum E lec t ro dynam ic sGo rdo n and B reach Sc ience P ub lish e r s . . . 狄拉克. 量子力学原理. 北京: 科学出版社. 19653 PAM 曹昌祺. 量子场论. 北京: 高等教育出版社. 19904 5 2. . . 1980B in lin Yo ungln t ro duc t io n to Q uan tum F ie ld T h eo ryZh engzho u U n ive r sity P re ss T 1 1 Θ Θ ( ) ( ) () [ ] 1 x lim ft d t= f x dx 0 T ?? T ()E ()8 E ? 1 () ( ) () () 中 是宏观时间 微观充分大, 是代表点的运动轨道, 是等能面面积,f x dx 是T x t?E Θ() E ()8 E ? () ( 观测量 f 在等能面 8 E 上的平均值. 对于各态历经的系统, 可得到一个唯一的定态概率密度 在等能 ) 面上为一常数, 它表征了具有固定能量处于平衡态的系统. 然而, 一个具有各态历经流系统如果不是从 这个平衡态出发, 它并不能必然达到这个态, 即各态历经并不足以使一个初始时刻具有非定态分布的系 统趋于定态. 这说明: 各态历经与趋向平衡是两个概念. 2 各态历经与孤立系统趋向平衡的关系 虽然各态历经并不等于趋向平衡, 但是可以说体系不各态历经则一定不会趋向平衡. 例如: 个相N 互作用的振子系, 如果没有非简谐力, 个正则变量 , N J i a i ? ? ()2 H = w iJ iJ i = 0, a i = w i ? i 轨道是 2维相空间中的 维环面. 如果存在弱非简谐力, 定理指出, 只要非简谐力足够弱, 则总N N KAM () 值很大, 体系也不趋向平衡. 又存在不变的 维环 在 2维相空间中, 轨道在其上闭合, 因此即使 N N N 2 () 如: 振子系统 格子: 个一维晶格, 每个格点间具有弱非简谐力; 用计算机模拟非简谐格 F PU T o da N 子的运动 ?? 2 2 () ) ) ((()+ + - 2= [ - + - ]3 X n a X n+ 1 X n- 1 X n ΛX n+ 1 X n X n X n- 1 ( 研究激发某一基本振荡后, 能量如何向其它模转换. 结果表明, 当 Λ 很小时, 初始激发很快恢复 几乎是 ) 完全的. 若假设非简并作用为指数型相互作用 ?? a - b|X - X | - b|X - X | n+ 1n n n- 1()()4 =- m X n eeb 得到两支解, 一为行波, 一为孤子. 在这种格子中是没有趋向平衡性质的. 在解 方程中, 我们做了许K dv 多近似, 略去了高次项. 试想若我们解一个一般体系的完全哈密顿量的本征值解, 则有可能得到混沌解.在以上两个例子中, 闭合轨道以及孤子解都不能各态历经, 系统当然不会是热力学意义上的平衡态, 既 系统并不趋向平衡. 虽然孤立系统趋向平衡一定要满足各态历经条件, 但是系统运动轨道满足各态历经并不一定趋向 平衡, 而有可能处于一种特殊的稳定态. 此时, 系统的可及态分布于等能面的某些区域, 在这些区域中可 及态具有自相似结构, 此时系统虽然是各态历经的, 但系统的熵并不是极大值, 也就是说并不趋向平衡. 这是因为此时系统虽然宏观状态上是稳定态, 但是在等能面上极小的区域里, 系统处于非平衡态. 对于 这个小区域中的所有微观态而言, 系统所处的几率并不相同, 在有些微观态, 系统所处的几率较大; 但在 另外一些微观态, 则系统所处的几率可能为零. 而处于平衡态的孤立系统, 在等能面上任一极小的区域 都是平衡的, 系统等几率处于等能面上所有微观态, 没有一个微观态的几率为零. 所以处于稳定态的系 统的微观状态数要少于处于平衡态的系统, 因此熵也要少于处于平衡态的系统的熵. 例如: 汽2液相变中 的临界状态: 在临界点上, 系统历经着相当大的涨落, 系统涨落的关联长度 ??, 系统处于自相似的混 Φ 沌状态中. 这时系统不仅是非均匀的, 而且每一个小区域是瞬息万变的非平衡态. 系统可以通过涨落由 一个状态达到任何可及态, 系统显然是各态历经的, 但是系统的熵比起该系统完全进入到均匀汽态时的熵小, 因此临界点上熵并不处于极大. 又如可积 系统, 其相空间轨道处在由 个运动积分所确H am ito n S 定的 维不变环面上, 其相空间轨道围绕环面旋转有限圈数后将闭合, 成为周期轨道, 也可能围绕环面S 旋转无限圈数后亦不闭合, 而将无限稠密地覆盖这一不变环面, 成为准周期轨道. 对于不可积 H am ito n 系统, 相空间不变环面的结构遭到破坏. 除了有规则的周期轨道和准周期轨道, 不可积 系统还 H am ito n 3 将出现非周期, 非规则, 使不变环面破裂的混沌轨道. 例如: 对一个自由度为二的自治可积 H am ito n 36 4 系统施以不可积扰动, 得到近可积系统, 其能面是一个三维相空间. 定理指出: 对于足够小的扰 KAM 动, 大多数二维不变环面仍然能够保留下来, 它们并 不破裂, 而只是有些形变而已. 这种不变环面的存在 对于三维相空间中不可积系统的混沌轨道显然起着 分隔限制的屏障作用. 环面内的混沌轨道决不会穿 越环面而逃到环面外部. 然而, 随着不可积扰动的增 强, 将有越来越多 环面发生破裂, 混沌轨道所 KAM 占 据 的 相 空 间 区 域 也 逐 渐 扩 大. 这 样 不 可 积 系统的保测流在三维相空间中产生这样一H am ito n 幅图象: 环面一个套一个, 其间充满了各种周KAM 期轨道以及混沌区域混沌区域又包围着更高阶的轨 图 1 三维相空间中不可积 H am ito n 流的嵌套结构 道和 环面, 形成一各无限嵌套的复杂结构, 如KAM 图 1 所示. 此时系统虽然各态历经, 但并不处于平衡态. 综上所述: 各态经是趋向平衡的必要条件, 而不 是充分条件. 3 结论 各态历经与孤立系统趋向平衡是两个不同的概念. 各态历经只是孤立系统趋向平衡的必要条件而 非充分条件. 孤立系统要趋向平衡, 首先体系在等能面的一切可及态要分布均匀, 其次要满足等几率原 理, 即系统要等几率地处于每一个可及态中, 而不是简单的各态历经. 参 考 文 献 1 () 1雷克 1 统计物理现代教程 1 北京大学出版社, 1983. 232, 237 L E 郝柏林, 于 渌等 1 统计物理学进展 1 科学出版社, 1981. 225, 2272 3 李翊神, 汪可林, 郭光灿等 1 非线性科学选讲, 1994. 49, 51 4 . , . . , 1997, 71: 166M L ak shm ananPKa linpp anP h y s L e t tA () 责任编辑 陈丽英