物体在一定位置附近作周期性的往返运动

物体在一定位置附近作周期性的往返运动 第九章 振动 本章要点: 1. 简谐振动的定义及描述方法. 2. 简谐振动的能量 3. 简谐振动的合成 物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。 9.1 简谐振动 9.1.1 简谐振动实例 在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。 1. 弹簧振子 质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状 态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。在 弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉 开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡 位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运 动。当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小 到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使 弹簧被压缩。弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡 位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使 物体的运动速度减小直到为零。之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。 图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。在小幅度振动时，由胡克定律可知，物体所受的弹性力,与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移x成正比，弹性力的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置。即 ,,,kx 式中k是弹簧的劲度系数,它由弹簧本身的性质(材料、形状、大小等)所决定，负号表示力与位移的方向相反。 2dx根据牛顿第二定律F = ma和a =，物体的加速度为 2dt 22dxkFkxdx 即 (9-1) ，,x0a,,,,22mmdtmdt 对于一个给定的弹簧振子，k与m都是常量，而且都是正值，故我们可令 k2 (9-2) ,ωm 2dx2代入上式得 (9-3) ，,ωx02dt 这一微分方程的解是 xA,，cos()ωtφ (9-4) 式中A和φ是积分常数，它们的物理意义将在后面讨论。由上式可知，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦(或正弦)函数关系随时间变化，我们把具有这种特征的运动称为简谐振动。 根据速度和加速度的定义，将(9-4)分别对时间求一阶导和二阶导，可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度: dx (9-4a) v==,，ωAsin()ωtφdt 2dx2 a,,，,()ωAcosωtφ (9-4b) 2dt 上述各式中，(9-3)揭示了简谐振动中的受力特点，故称之为简谐振动的动力学方程，而(9-4)反映的是简谐振动的运动规律，故称为简谐振动的运动学方程。 2 . 单摆 如图9-2所示，一根不会伸缩的细线上端固定，下端悬挂一个体积很小质量为m的重物。细线静止地处于铅直位置时，重物在其平衡位置O处。 把重物从平衡位置略为移开后放手，重物就在平衡位置附近 来回摆动, 这种装置称为单摆。 设在某时刻, 单摆的摆线与竖直方向的夹角为θ ，忽略一切 阻力时，重物受到重力G和线的拉力T作用。重力的切向分量 mgsinθ决定重物沿圆周的切向运动。设摆线长为l，沿逆时针 方向转过的θ 为正，根据牛顿运动定律得 2dθ,mgsinθ,ml 2dt 当θ 很小时，? θ，所以 sinθ 2gdθ ，,θ　02dt g2式中令。与式(9-3)相比较可知, 单摆在摆角很小时的振动是简谐振动。 ω,l 3(复摆 一个可绕固定轴O转动的刚体称为复摆。如图9-3所示。 平衡时，摆的重心C在轴的正下方，摆动到任意时刻, 重心与轴 的连线OC偏离竖直位置一个微小角度θ ，我们偏离平衡位置沿逆 时针方向转过的角位移为正。设复摆对轴O的转动惯量为J，复摆的质 心C到O的距离OC=h。 复摆在角度θ 处受到的重力矩为M = ,mgh sin θ , 当摆角很小时， ，所以M = ,mgθ h，由转动定律得 sinθθ, 22mghdθdθ即，θ,0,,mghθJ22 Jdtdt mgl2式中令，与式(9-3)相比较可知, 复摆在摆角很小时的振动是简谐振动。 ω,J 例9-1. 一远洋海轮，质量为,，浮在水面时其水平截面积为,。设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图9-4所示。试证明此海轮在水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。 解 选择,点代表船体。当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与重力相平衡，即 F = ρgSh = Mg 式中ρ是水的密度，h是船体, 以下的平均深度。 取竖直向下的坐标轴为y轴，坐标原点,与,点在水面处重合。设船上下振动的任一瞬时，船的位置即,点的坐标为y(y即是船相对水面的位移，可正可负)，此时船所受浮力 ,F= ρgS (h+g) 则作用在船上的合力 ,FMgF==,ρgSy, 2dyΣ=由FM得: 2dt 2dyM,,ρgSy 2 dt 2dyρgS0即 ，,y 2Mdt ρgS2ω,式中M、S、、g皆为正，故可令， ρM 2dy2，,ωy0则 2dt 可见，描写船位置的物理量y满足简谐振动的动力学方程，故船在水中所作的小幅度的竖直自由振动是简谐振动。 作简谐振动的物体，通常称为谐振子。这个物体，连同对它施加回复力的物体一起组成的振动系统，通常称为谐振系统。 简谐振动是一种理想的运动过程。严格的简谐振动是不存在的，但对处于稳定平衡的系 统，当它对平衡状态发生一微小的偏离后所产生的振动，在阻力很小而可以忽略时，就可以近似地看作是简谐振动。因此，谐振子是一个重要的理想模型。 例 由电容,、电感,所组成的一个回路，如图9-5所示。若给 电容器充上一定的电荷,，在忽略阻力的情况下，就能形成在电路 内周期性往返流动的电流，并引起电容器内的电场和电感线圈中的 磁场的周期性变化，导致无阻尼电磁振荡。进一步的定量研究表明， 在无阻尼的电磁振荡过程中，电容器极板上的电荷,和电路中的电 流强度 I 皆满足式(9-3)的微分方程。此 LC 电路系统遵循谐振 动的规律，故亦可称为谐振子。 另外，对微观领域中的某些运动也可以利用谐振子的模型进行 研究，像分子、原子、电子的振动等。 由此可见，谐振动的规律不仅出现于力学范畴，它还出现于电磁学、原子物理学、光学及其它领域。因此，一个物理系统，若描写其状态的物理量符合谐振动的定义式(9-3)，皆可广义地称为谐振子。 9.1.2 简谐振动的描述方法 简谐振动的运动学方程(9-4)即反映了简谐振动的运动规律。下面xA,，cos()ωtφ 我们逐个分析方程中出现的量。 1. 振幅 在简谐振动(9-4)的表式中，因余弦(或正弦)函数的绝对值不会大于,，所以物体的振动范围在+A和,A之间(我们把作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A叫做振幅。它描述了振动物体往返运动的范围和幅度。这是个反映振动强弱的物理量。 2. 周期和频率 振动的特征之一是运动具有周期性。我们把完成一次完整全振动所经历的时间称为周期，用T来表示。单位是s。因此，每隔一个周期，振动状态就完全重复一次。 ,设某时刻t物体的位置为x，在t，T时刻物体到达位置 x xA,，cos()ωtφ ,x=Acos[+]ωt+Tφ ，， ,Acos[+]ωt+Tφ由周期性， 即 ,，Acos()ωtφ xx,，， 上式方程中T的最小值应满足 所以 ωT,2π 2π2πω, 或 (9-5) T,ωT υ单位时间内物体完成全振动的次数称为频率，用或f表示。它的单位是赫兹，符号是Hz。显然，频率与周期的关系为 1ω 或 (9-6) υ,,ωπυ,2T2π 可见振动方程中的是一个与振动的周期有关的物理量。表示物体在s的时间内所ω2,作的完全振动次数，称为振动的角频率，也称圆频率。它的单位是rad,s。 周期和频率都是反映振动快慢的物理量。 k2对于弹簧振子，，所以弹簧振子的周期和频率分别为 ,ωm m1k (9-7) T,2πυ,k2πm 由于弹簧振子的质量m和劲度系数k是其本身固有的性质，所以周期和频率完全由振动系统本身的性质所决定，因此被称为固有周期和固有频率。 g2对于单摆，，所以单摆的周期和频率分别为 ω,l gl1 T,2πυ,g2πl 单摆的振动周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长l，因此也是固有周期和固有频率，并且周期和频率还与摆球的质量无关。在小摆角的情况下，单摆的周期又与振幅无关，所以单摆可用作计时。单摆为测量重力加速度g提供了一种简便方法。 mgh2对于复摆， 所以复摆的周期和频率分别为 ω,J mghJ1T,2π υ,mgh2πJ 上式表明，复摆的振动周期和频率同样完全由振动系统本身的性质所决定，因此也是固有周期和固有频率。由复摆的周期公式可知，如果测出摆的质量m，重心到转轴的距离h，以及摆的周期T，就可以求得此物体绕该轴的转动惯量J。有些形状复杂物体的转动惯量，用数学方法进行计算比较困难，有时甚至是不可能的，但用振动方法可以测定。 12对于长为l、可绕过其一端的轴转动的细杆，Jml,，所以绕杆端轴线摆动的周期和3 频率分别为 3g2l1 T,2πυ,3g2π2l ,. 相位和初相 ω由(9-,)式可知，当角频率和振幅,已知时，振动物体在任一时刻t的运动状态(位置、速度、加速度等)都由(ωt，φ)决定。(ωt，φ)是决定简谐振动运动状态的物理量，称为振动的相位。显然是t,,时的相位，称为初相位，简称初相。 φ 在振动和波动的研究中，相位是一个十分重要的概念。物体的振动，在一个周期之内， π每一时刻的运动状态都不相同，这相当于相位经历着从0到2的变化。例如图9-1所示的弹簧振子，我们用余弦函数表示的简谐振动，若某时刻(ωt，φ)= 0，即相位为零，则可 π决定该时刻x = A，v = 0，表示物体在正位移最大处而速度为零;当相位()=时，ωt，φ2x = 0，v = ，表示物体在平衡位置并以最大速率向x轴负方向即向左运动;而当相,ωAωA 3π位()=时，x = 0，v = ，这时物体也在平衡位置，但以最大速率向x轴ωt，φωAωA2 正方向即向右运动。可见，不同的相位表示不同的运动状态。凡是位移和速度都相同的运动状态，它们所对应的相位相差或的整数倍。由此可见，相位是反映周期性特点，并用2,2, 以描述运动状态的重要物理量。 相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在“步调”上的差异。设有两个同频率的简谐振动，它们的振动表式为 x=Acos+()ωtφ111 x=Acos+()ωtφ222 它们的相位差为 Δφω,，(),(，),,tφωtφφφ2,,, 即它们在任意时刻的相位差都等于它们的初相位之差。当等于零或的整数倍时，Δφ2,这时两振动物体将同时到达各自同方向的位移的最大值，同时通过平衡位置而且向同方向运 ,动，它们的步调完全相同，我们称这样的两个振动为同相。当等于,或者的奇数倍时，Δφ 则一个物体到达正的最大位移时，另一个物体到达负的最大位移处，它们同时通过平衡位置但向相反运动，即两个振动的步调完全相反。我们称这样的两个振动为反相。 当为其它值时，如果φφ,> 0，我们称第二个简谐振动超前第一个简谐振动，ΔφΔφ,, 或者说第一个简谐振动落后于第二个简谐振动。以此来表达它们振动步调上的差别。 Δφ 引入相位差的概念，不仅仅是为了描述两个同频率简谐振动之间的步调上的差异，后面将看到，当一个物体同时参与两个或两个以上同频率的简谐振动时，合振动的强弱将取决于这几个振动之间的相位差。在波动理论和波动光学中，相位差这一概念也将继续发挥重要的作用。 4. 常数A和φ的确定 ω如上所述，谐振动方程xA,，cos()ωtφ中的角频率是由振动系统本身的性质所决定的。在角频率已经确定的条件下，如果知道在t = 0时的物体相对平衡位置的位移x 和速0度v ，就可以确定谐振动的振幅A和初相φ。由式(9-4)和(9-4a)可得 0 xAcos=φ 0 v,,ωAsinφ 0 由上两式可得A、φ的唯一解是 2v02Ax,，02ω(9-8) ,v} 0φ,arctgωx0 其中φ所在象限可由x及v的正负号确定。 00 物体在t = 0时的位移x 和速度v 叫做初始条件。上述结果说明，对一定的弹簧振子00 ω(即为已知量)，它的振幅A和初相φ是由初始条件决定的。由于谐振动的振幅不随时 间而变化，故简谐振动是等幅振动。 ,1例9-2 如图9-1所示，一轻弹簧的劲度系数k = 50 ，今将质量为2 kg的物体，Nm, 3,1从平衡位置向右拉长到x =0.02 m处，并以v =的速度开始运动，试求: ,,ms 00 10 A(1)谐振动方程; (2)物体从初位置运动到第一次经过处时的速度。 ,2 解 (1)要确定物体的谐振动方程，需要确定角频率ω、振幅A和初相φ三个物理量。 k50,1角频率 ,,,,ω5radsm2 3,1振幅和初相由初始条件x 及v 决定，已知x =0.04 m，v = ，由式(9-8),,ms00 0010 得 232(,)v01022Axm,，,，,0.020.04022ω5 3,v010φ,arctgarctgarctg,,3ωx.5002，0 π据题意x为正，v为负，故φ, 003 将A、代入谐振动方程中，可得 xA,，cos()ωtφωφ、 πxtm=0.04cos5()，3 AA(2)欲求x =处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达处的相位。 ,,22 π由 ,，Acost()ω得 xA,，cos()ωtφ3 A-πx,24ππ2 ωtarccosarccosarccos，,,,(-),(或)3233AA πAωt,按题意，物体由初位置x = 0.02 m第一次运动到x = 处的相位 ,0 23将A、的值代入速度公式，可得 ωω和t 3πππ,, ,(),,(),,,vA,，，，，,,ωωsin0.045sin0.173tms,3310 负号表示速度的方向沿x轴负方向。 5. 简谐振动的矢量图示法 ωφ和为了直观地领会简谐振动中A、三个物理量的意义，并为后面讨论简谐振动的叠 加提供简捷的方法，我们介绍简谐振动的旋转矢量表示法。 如图9-6所示，一长度为A的矢量绕O点以恒 ω角速度沿逆时针方向转动，这个矢量称为振幅矢 量，以A表示。在此矢量转动过程中，矢量的端点 M在OX轴上的投影点P便不断地以O为平衡位置 往返振动。在任意时刻，投影点在X轴上的位置由 方程确定，这正是简谐振动的表xA,，cos()ωtφ 式。因而，作匀速转动的矢量A，其端点M在x轴 上的投影点P的运动是简谐振动。在矢量A的转动 过程中，M点作匀速圆周运动，通常把这个圆称为 参考圆。矢量A转一圈所需的时间就是简谐振动的周期。也就是说，一个简谐振动可以借助于一个旋转矢量来表示。它们之间的对应关系是:旋转矢量的长度A为投影点简谐振动 ω的振幅;旋转矢量的转动角速度为简谐振动的角频率;而旋转矢量在t时刻与OX轴的夹角()便是简谐振动运动方程中的相位;φ角是起始时刻旋转矢量与OX轴的夹角，ωt，φ 就是初相位。 由此可见，简谐振动的旋转矢量表示法把描写简谐振动的三个特征量非常直观地表示出来了。必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是旋转矢量端点在OX轴上的投影点在作谐振动。 利用旋转矢量图，可以很容易地表示两个简谐振动的相位差。 ω在简谐振动过程中，相位随时间线性变化，变化速率为角频率。即在时间ωt，φ,t间隔内，相位变化为。把握住这一点，配合旋转矢量图，就可以巧妙地解决一些ΔΔφω,t 看来似乎困难的问题。 A例9-3 用旋转矢量法求解上例中的初相φ及物体从初位置运动到第一次经过处时,2的时间。 解 (1)根据初始条件画出振幅矢量的初始位置如图9-7 x0021.π0由图可得 φ,,,,arccosarccosarccosA.00423 (2)从振幅矢量图9-8可知: A从初位置x运动到第一次经过x = 处时，旋转矢量 ,0 2 πππ-2，,转过的角度是，这就是两者的相位差，由于振幅矢 33 ω量的角速度为，所以可得到所需的时间 π Δφπ3s Δt,,,,0.209 ω515 6. 振动曲线 简谐振动的位置x随时间t的变化关系曲线叫做振动曲线，又称x – t图。由式9-4可知，它是一条余弦(或正弦)曲线。x– t图和前面讨论过的旋转矢量图一样，是描述简谐振动的一种几何工具，它形象而直观地反映出一个特定的谐振动的运动规律，还可方便地对几个谐振动作出比较。 例9-4 质量为0.1 kg的物体悬于弹簧的下端。把物体从平衡位置向下拉0.1 m后释放， 测得其周期为2 s ，见图9-9(a)。试求 (1)物体的振动方程; (2)物体首次经过平衡位置时的速度; (3)第二次经过平衡位置时的速度; (4)物体从平衡位置下方0.05 m处向上运动到平衡位置上方0.05 m处所需的最短时间 图9-9(a) 图9-9(b) 图9-9(c) 图9-9(d) 解 以弹簧挂上物体后的平衡位置为坐标原点，向上作为Y轴的正方向。 2π已知T = 2 s，则 ωπ,,rads,T 以释放物体时作起始时刻，有 t = 0时，y= ,0.1 m，v = 0 ， 则 0 0 v220Ay.m,，,()010ω v0tgφ,,0yω0 所以 或 φ,0φπ, 因为y为负值，故 φπ,0 得弹簧振动的振动方程为 Y = 0.1 cos(π t + π)(m) 若向下作为Y轴的正方向，y为正值，φ应取0，弹簧的振动方程则为 0 Y = 0.1 cosπ t (m) 可见，对于同一个简谐振动，选取不同的坐标系，将会有不同形式的运动方程。 3(1) 由旋转矢量图9-9(b)可知，物体首次经过平衡位置的相位为(ωt +φ)=π，2 此时的速度为 3,1,,,,,vAsinωπAω0314.ms2 速度的方向向上，与坐标正方向相同。 (2) 由旋转矢量图9-9(c)可知，物体第二次经过平衡位置上方5cm处的相位为 π(ωt +φ)=，此时的加速度为 3 π,222,aA,,,,---ωcosAω0493.ms32 负号表示加速度的方向与Y轴正方向相反，即指向中心O。 (4) 由旋转矢量图9-9(d)可知，在平衡位置下方5cm处并向上运动时的相位为 45(ωt+ φ)=，当物体第一次经过平衡位置上方5cm处时的相位为(ωt+ φ)=， ππ1 2 33 在此过程中物体经历的相位变化为 541Δφπππ,,,333 π即 (ωt+ φ),(ωt+ φ)= 2 1 3 所需要的时间为 Δφtts,,,0.3321ω 9.1.3 简谐振动的能量 现在我们以图9-1的水平弹簧振子为例来说明振动系统的能量。 设在某一时刻，物体的位置是x ，速度为v，由(9-4)及(9-4a)，我们知道振子的位置x及速度v分别为 v=,()ωAsinωt，φx=Acos+()ωtφ 此时系统除了具有动能以外，还具有势能。振动物体的动能为 112222 E = (9-9) mvm,，ωAsin()ωtφk22 如果取物体在平衡位置的势能为零，则弹性势能为 11222 E= (9-10) cos()ωt，φkxkA,p 22 式(9-9)和式(9-10)说明物体作简谐振动时，其动能和势能都是随时间t作周期性变化。位移最大时，势能达最大，动能为零;物体通过平衡位置时，势能为零，动能达最大值。由于在运动过程中，弹簧振子不受外力和非保守内力的作用，其总的机械能守恒 1122222E = E + E =+ kAcos()ωt，φmωAsin()ωt，φkp22 k2以式(9-2): 代入，则上式简化为 ,ωm 12EkA,2 上式说明:谐振系统在振动过程中，系统的动能和势 能也都分别随时间发生周期性变化，它们之间在不断地相 互转换。但在任意时刻动能和势能的总和即总的机械能在 振动过程中却始终保持为一个常量。即系统的总机械能是 守恒的。简谐振动系统的总能量和振幅的平方成正比，这 一结论对于任一谐振系统都是正确的。如图(9-10)。 上面我们是从简谐振动的运动学方程出发得出谐振系统的总机械能守恒这一结论的，这一结论我们也可以用简谐振动的动力学方程导出。 由式9-1有 2dxmkx,,2dt 两边乘以dx，得 2dxdv 或 mdxkxdx,,mdxkxdx,,2dtdt 即 mvdv = ,kxdx 设初始时刻振子的位置是x，速度是v，对上式两边积分到任一时刻的位置x和速度v，00 即 vxmvdvkxdx,,,,vx00 11112222得 mvkxmvkx，,，002222 等式右边两项之和就是初始时刻振子系统的总机械能E，即 1122mvkxE，,22 1122式中是弹簧振子的动能，是弹簧振子的弹性势能。把式9-4和式9-4a代入mvkx22 即可得 1122222+= E kAcos()ωt，φmωAsin()ωt，φ22 k122再代以，即得 ,ωEkA,m2 9.1.4 简谐振动的合成 在实际问题中，常会遇到一个质点同时参与几个振动的情况。例如，当两列声波同时传播到空间某一处，则该处空气质点就同时参与这两个振动。根据运动叠加原理，这时质点所作的运动实际上就是这两个振动的合成。就是说，物体在任意时刻的位置矢量为物体单独参与每个分振动的位置矢量之和，即 r = r + r+ r +… 12 3 一般的振动合成问题比较复杂，下面我们只研究几种特殊情况的谐振动合成。 1. 同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点在一直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动。现在取这一直线为x轴，以质点的平衡位置为原点，由于它们的角频率ω相同，故在任一时刻t，这两个振动的位移分别为 x=Acos+()ωtφ111 x=Acos+()ωtφ222 式中A、A和φ、φ分别表示这两个振动的振幅和初相位。既然x和x都是表示在同121212一直线方向上、距同一平衡位置的位移，所以合位移x仍在同一直线上，而为上述两个位移的代数和，即 x = x+ x =+ Acos+()ωtφAcos+()ωtφ1 21122 应用三角函数的等式关系将上式展开，可以化成 xA,，cos()ωtφ 式中A和φ的值分别为 22 (9-11) AAAAA,，，,2cos()φφ121221 Asinφ，Asinφ1122 (9-12) φ,arctgAcosφ，Acosφ1122 这说明合振动仍是简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个振动相同。 应用旋转矢量图，可以很方便地得到上述两简谐振动的合振动。如图9-11所示，A和1A 为代表两简谐振动的振幅矢量，由于它们以相同的角速度ω绕O点沿逆时针转动，因此2 它们之间的夹角(φ ,φ)保持恒定，所以在旋转过程中，矢量合成的平行四边形的形状21 保持不变，因而合矢量A的长度保持不变，并以同一角速度ω匀速旋转。合矢量A就是相应的合振动的振幅矢量，而合振动的表达式可从合矢量A在x轴上的投影给出，A和φ也可以由图简便地得到。 现在来讨论振动合成的结果。从式(9-11)可以看出，合振动的振幅A除了与原来的两个分振动的振幅有关外，还取决于两个振动的相位差(φ ,φ)。下面讨论两个特例，将来21 在研究声、光等波动过程的干涉和衍射现象时，这两个特例常要用到。 (1)两振动同相，即相位差(φ ,φ)= 2kπ ，k = 0， ,,12，，21 这时cos(φ ,φ)= 1. 按式9-11得 21 22AAAAAAA,，，,，2121212 即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和，显然，这是合振动可能达到的最大值。 如图9-12(a) (a)φ,φ=2kπ A=A+A(b)φ,φ=(2k +1)π A=A,A(c)任意相位差 2112 2112 图9-12 初相位差不同的两个简谐振动的合成 (2)两振动反相，即相位差(φ ,φ)= (2k + 1)π ，k = 0， ,,12，，21 这时cos(φ ,φ)= ,1. 按式9-11得 21 22AAAAAAA,，,,,2 121212 即合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值。(振幅在性质上是正量，所以 在上式中取绝对值)显然，这是合振动可能达到的最小值。如图9-12(b)。如果A = A ，则12A = 0 ，就是说振动合成的结果使质点处于静止状态。 AA,在一般情形下，相位差φ,φ是其他任意值时，合振动的振幅在与A +A之211212间。如图9-12(c)。 2. 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成 当一个质点同时参与两个不同方向的振动时，质点的位移是这两个振动的位移的矢量和。在一般情况下，质点将在平面上作曲线运动。质点的轨道可有各种形状，轨道的形状由两个振动的周期、振幅和相位差来决定。 设两个同频率的简谐振动分别在x轴和y轴上进行，振动表式分别为 x=Acos+()ωtφxx yAt,cos()ω+φyy 在任意时刻t ，质点的位置是(x，y)。t改变时，(x，y)也改变。所以上列两方程就是用参量t来表示的质点运动轨道的参量方程。如果把时间参量t消去，就得到轨道的直角坐标方程 22yxy2x2 (9-13) ，,,,,cossin()()φφφφyxyx22AAAyxyAx 一般地说，上述方程是椭圆方程。因为质点的位移x和y在有限范围内变动，所以椭圆轨道不会超出以2A和2A为边的矩形范围。椭圆的具体形状，则由相位差φ ,φ来决定。1221下面选择几个特殊的相位差进行讨论。 (1) 当相位差φ ,φ = 0，即两振动同相。这时式9-13变为 21 Ayxy20 即 (),,yx,AAAxyx 合振动的轨迹是一条通过坐标原点的直线，其斜率为这两个振动振幅之比[图9-13(a)]。在任意时刻t，质点离开平衡位置的位移 2222 sxyAA,，,，，cos()ωtφxy 22所以合振动也是简谐振动，振动频率与分振动的频率相同。振幅为 A= AA，xy π(2) 当相位差φ ,φ=，这时式9-13变为 212 22yx1，,22AyAx 合振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿顺时针方向运行的正椭圆[图9-13(b)]。 (3) 当相位差φ ,φ= π ，即两振动反相。这时式9-13变为 21 Ayyx,,Ax 合振动的轨迹也是一条通过坐标原点的直线，其斜率为这两个振动振幅之比的负值[图 229-13(c)]。也是简谐振动，振动频率与分振动的频率相同。振幅也为 A= AA，xy 3π(4) 当相位差φ ,φ=，这时合 π或,2122 振动的轨迹是一以坐标轴为主轴的沿逆时针方向运 行的正椭圆[图9-13(d)]。 当两个等幅(A = A)的振动相位差为 12 ππ π()bφφ,,,()aφφ,,2121φ ,φ= 时，椭圆将变为圆[图9-14(a)、(b)]。 ,2122 2π图9-14 两个等幅的、相位差为的 , 总之, 两个相互垂直的同频率的简谐振动合成 2 时,合运动的轨道是椭圆。椭圆的性质视两个振动 相互垂直的同频率的简谐振动的合成 的相位差φ ,φ而定。图9-15表示不同相位差的 21 合成图形。 *9.2 阻尼振动 前面所讨论的简谐振动，振动系统都是在没有阻力作用下振动的，系统的机械能守恒，振幅不随时间而变化。就是说，这种振动一经发生，就能够永不停止地以不变的振幅振动下去。一个振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。这是一种理想的情况。实际上，振动物体总是要受到阻力作用的。以弹簧振子为例，由于受到空气阻力等的作用，它围绕平衡位置振动的振幅将逐渐减小，最后，终于停止下来。如果把弹簧振子浸在液体里，它在振动时受到的阻力就更大，这时可以看到它的振幅急剧减小，振动几次以后，很快就会停止。当阻力足够大，振动物体甚至来不及完成一次振动就停止在平衡位置上了。在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种:一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力使振动系统的能量逐渐转变为热运动的能量，这叫摩擦阻尼。另一种是由于振动物体引起邻近质点的振动，使系统的能量逐渐向四周射出去，转变为波动的能量，这叫辐射阻尼。 实验指出，当物体以不太大的速率在粘滞性的介质中运动时，物体受到的阻力与其运动 的速率成正比，即 dxf = ,,,γvγr dt 式中的称为阻力系数，它的大小由物体的形状、大小和介质的性质来决定。对弹簧振γ 子，在弹性力F = —kx 及阻力f 的作用下运动，物体的运动方程为 r 2dxdxmkx,,,γ2dtdt γk2对一给定的振动系统，m、k及均为常量。令，，则上式可写成 ,2β,ωγ0mm 2dxdx2 (9-14) ，，,20βωx02dtdt 式中是无阻尼振动系统的固有角频率，β 称为阻尼因子。在β<ω的条件下，即阻尼ω00 较小的情况下，这个微分方程的解是 ,βt, xAe,，cos()ωtφ (9-15) 0 22,ωωβ,,式中 0 A和φ为积分常数，由初始条件决定。图9-16是阻尼振动的位移时间曲线。从图中可0 ,βt以看出，阻尼振动的振幅是随时间t作指数衰减的，因此阻尼振动也叫减幅振动，不Ae 是谐振动。阻尼越大，振幅衰减得越快。但在阻尼不 大时，可近似地看作是一种振幅逐渐减小的振动，它 2π2π的周期。即有阻尼时的自由振动T,,22,ωωβ,0 2π周期T大于无阻尼时的自由振动周期T(=)。 0ω0 就是说，由于阻尼，振动变慢了。若阻尼很大， 即β > ω，式9-15不再是式9-14的解，此时物体以非0 周期运动的方式慢慢回到平衡位置，这种情况称为过 阻尼。若阻尼满足β = ω，则振动物体将刚好能平滑 0 地回到平衡位置，这种情况称为临界阻尼。在过阻尼 状态和减幅振动状态，振动物体从运动到静止都需要较长的时间，而在临界阻尼状态，振动物 体从静止开始运动回复到平衡位置需要的时间却最短的。因此当物体偏离平衡位置时，如果要它不发生振动下，最快地恢复到平衡位置，常用施加临界阻尼的方法。 在生产实际中，可以根据不同的要求，用不同的方法改变阻尼的大小以控制系统的振动情况。如在灵敏电流计内，表头中的指针是和通电线圈相连的，当它在磁场中运动时，会受到电磁阻力的作用;若电磁阻力过大或过小，会使指针摆动不停或到达平衡点的时间过长，而不便于测量读数，所以必须调整电路电阻，使电表在β = ω的临界阻尼状态下工作。 0 *9.3 受迫振动 共振 9.3.1 受迫振动 在实际的振动系统中，阻尼总是客观存在的。所以实际的振动物体如果没有能量的不断补充，振动最后总是要停止下来的。要使振动持续不断地进行，须对系统施加一周期性的外力。这种系统在周期性外力持续作用下所发生的振动，叫受迫振动。如声波引起耳膜的振动、马达转动导致基座的振动等等。这种周期性的外力称为驱动力。 为简单起见，假设驱动力有如下的形式 F = F cosωt 0 式中F是驱动力的幅值，ω为驱动角频率。物体在弹性力、阻力和驱动力的作用下，0 其运动方程为 2dxdxmkx,,,，γFcosωt02dtdt γk2仍令，,2β，则上式可写成 ,ω0mm 2Fdxdx02，，,2cosβωxωt (9-16) 02dtmdt 在阻尼较小的情况下，该方程的解是 ,βt22, xAecoscosωβtφAωtφ (9-17) ,,，，，()，，00 ,βt22,即受迫振动是由阻尼振动xAecosωβtφ和谐振动合,,，xA,，cos()ωtφ，，00 成的。 实际上，在驱动力开始作用时受迫振动的情况是相当复杂的，经过不太长的时间，阻尼振动就衰减到可以忽略不计，即式9-17右方第一项趋于零，受迫振动达到稳定状态。这时，振动的周期即是驱动力的周期，振动的振幅保持稳定不变。于是受迫振动为谐振动。其振动表式为 x=Acos+()ωtφ 应该指出，稳态时的受迫振动的表式虽然和无阻尼自由振动的表式相同，都是简谐振动，但其实质已有所不同。首先，受迫振动的角频率不是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率;其次，受迫振动的振幅和初相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。据理论计算可得 F0A, (9-18) 22222m()ωωβω,，40 2βω (9-19) tgφ,22ωω,0 9.3.2 共振 由式(9-18)可知，稳定状态下受迫振动的一个重要特点是:振幅A的大小与驱动力的角频率ω有很大的关系。图9-17是对应于不同β 值的A-ω曲线。图中 ω是振动系统的固0有角频率。当驱动力的角频率ω与振动系统的固有角频率ω相差较大时，受迫振动的振幅0 A比较小，而当ω与ω相接近时，振幅A逐渐增大，在ω为某一定值 时，振幅A达到最0 大。我们把驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振。共振 dAωr时的角频率叫做共振角频率，以表示。由式(9-18)求导数，并令，即可得到共,0dω振角频率 22ωωβ,,2 (9-20) r0 因此。系统的共振频率是由固有频率ω和阻尼系数β 决定的，将式(9-20)代入式(9-18)0 可得共振时的振幅 F0 (9-21) A,r222mβωβ,0 由上式可知，阻尼系数越小，共振角频率越接近系统的固有角频率ω，同时共振的ω0r 振幅也越大。若阻尼系数趋于零，则趋近于ω，振幅将趋于无穷大。 Aω0rr 本章小结: 1. 振动中最简单、最基本的振动是简谐振动。描写振动物体位置的物理量x满足微分 2dx2方程的振动为简谐振动。 ，,ωx02dt 2. 简谐振动的运动规律 x=Acos+()ωtφ dxv==,，ωAsin()ωtφdt 2dx2a,,，,()ωAcosωtφ2dt 2v02Ax,，02ω其中常数A和φ分别为 ,v0φ,arctgωx0 m3. 简谐振动的周期 T,2πk 4. 简谐振动的旋转矢量表示法 一个简谐振动可以借助于一个旋转矢量来表示。它们之间的对应关系是:旋转矢量的长度A为投影点简谐振动的振幅;旋转矢量的转动角速 ω度为简谐振动的角频率;而旋转矢量在t时刻与OX轴的夹角()便是简谐振动运ωt，φ动方程中的相位;φ角是起始时刻旋转矢量与OX轴的夹角，就是初相位。利用旋转矢量图，可以很容易地表示两个简谐振动的相位差。 125. 简谐振动的能量 EkA,2 物体作简谐振动时，其动能和势能都是随时间t作周期性变化。位移最大时，势能达最大，动能为零;物体通过平衡位置时，势能为零，动能达最大值。由于在运动过程中，弹簧振子不受外力和非保守内力的作用，故其总的机械能守恒 6. 简谐振动的合成 (1) 同方向同频率的两个简谐振动的合成 合振动仍是简谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个振动相同。 A. 当两振动同相，即相位差(φ ,φ)= 2kπ 时，(k = 0， )，A = A + A,,12，，2112 合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之和。这是合振动可能达到的最大值。 B. 当两振动反相，即相位差(φ ,φ)=(2k + 1)π ，(k = 0， )， ,,12，，21 AA,A = 12 合振动的振幅等于原来两个振动的振幅之差的绝对值。这是合振动可能达到的最小值。 AA,C. 在一般情形下，相位差(φ,φ)是其他任意值时，合振动的振幅在与 2112 A + A之间。 12 (2) 两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成 合振动的轨迹是一椭圆，椭圆的具体形状，由相位差φ,φ来决定。 21 *7. 阻尼振动 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 *8. 受迫振动 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动，叫受迫振动。 *9. 共振 稳定状态下受迫振动的一个重要特点是:振幅A的大小与驱动力的角频率ω有很大的关系，驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到极大的现象叫做共振。 习 题 9-1 如本题图所示，在电场强度为E的匀强电场中， 放置一电偶极矩p =ql 的电偶极子，+q、,q相距l，且 l不变。若一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动 消失后，这对电荷会以垂直于电场并通过l的中点o的 直线为转轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振 动，并求其振动周期。设电荷的质量为m，重力忽略不 计。 9-2 设地球是一个半径为R的均匀球体，并沿直径凿通一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内可作无摩擦运动。 33,5.510，,kgm(1)证明此质点的运动是谐振动;(2)计算其周期。地球密度ρ取 9-3 一物体沿x轴作谐振动，振幅为0.06 m，周期为2 s，当t = 0时位移为0.03 m，且向x轴正方向运动，求 (1) 初相位;(2) t =0.5 s时，物体的位移、速度和加速度;(3)从x = ,0.03 m、且向x轴负方向运动这一状态回到平衡位置所需的时间 -29-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A = 2.0×10m，周期T = 0.50s。当t = 0时，求以下各种情况的振动方程 (1)物体在正方向的端点;(2)物体在负方向的端点;(3)物体在平衡位置，向负方 -2向运动;(4)物体在平衡位置，向正方向运动;(5)物体在x =1.0×10m处，向负方向运动; -2(6)物体在x =,1.0×10m处，向正方向运动 9-5 原长为0.50m的弹簧，上断固定，下断挂一质量为0.10kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.60m。若将砝码向上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，则砝码作上下振动。 (1)证明砝码的上下振动是简谐振动;(2)求此谐振动的振幅、角频率和频率;(3)若从放手时开始计算时间，求此谐振动的运动方程(正向向下) 9-6 质量m = 0.01 kg的质点沿x轴作谐振动，振幅A = 0.24 m，周期T = 4 s，t = 0 时质点在x = 0.12 m处，且向x负方向运动。求: 0 (1)t = 1.0 s时质点的位置和所受的合外力;(2)由t = 0运动到x = ,0.12 m处所需的最短时间 dgdT9-7 当重力加速度g改变dg时，单摆的周期T的变化dT是多少,找出之间与Tg的关系式。 -2一只摆钟(单摆)，在g = 9.80m?s处走时准确，移到另一地点，每天快10 s，问该地点的重力加速度为多少, 3π-2 9-8 有一个弹簧振子，振幅A = 2×10m，周期T = 1 s，初相。 φ,4 (1)试写出它的振动方程;(2)利用旋转矢量图，作出x-t图，v-t图和a-t图 9-9 两质点沿同一直线作同振幅、同频率的谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并作旋转矢量表示之。 -2 -29-10 质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0×10m作谐振动，其最大加速度为4.0 m?s，求: (1)振动的周期;(2)通过平衡位置时的动能;(3)总能量;(4)物体在何处其动能与势能相等, -29-11 一个0.1 kg的质点作谐振动，其运动方程为x= 6×10sin(5t ,π /2)m。求: (1)振动的振幅和周期;(2)起始位移和起始位置时所受的力;(3)t =π s时刻质点的位移、速度和加速度;(4)动能的最大值 9-12 一质点同时参与两同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程分别为 x = 6 cos(2t ，π /6) cm x = 8 cos(2 t ,π /3) cm 12 试用旋转矢量法求出合振动方程 9-13 有两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为0.2 m，合振动的相位与第一个振动的相位之差为π /6，若第一个振动的振幅为0.173 m，求: (1)第二个振动的振幅;(2)第一、第二两振动的相位差 9-14 试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅 π7π第一组: xtm,，0.05cos3()() xtm,，0.05cos3()()1288 π4π第二组: xtm,，0.05cos3()() xtm,，0.05cos3()()1233 9-15 示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用。若电子在两个方向上的位移分别为x = Acosωt和y = Acos(ωt +φ)，求在φ= 0，φ=30?，φ=90?各情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程