线面垂直

线面垂直 第65课 线面垂直 1.直线和平面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜 线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平 面上的射影垂直. 【1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ?ABC=90?，SA?平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF?SC. 【】 用分析法寻找解决问的途径，假设 EF?SC成立，结合AF?SC可推证SC?平面AEF，这样 SC?AE，结合AE?SB，可推证AE?平面SBC，因此证明 AE?平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA?平面ABC， ?ABC=90?，可以推证BC?AE，结合AE?SB完成AE?平 面SBC的证明. 例1题图 【】SA,平面ABC,SA,BC,, ，ABC,90:,AB,BC,BC,平面SA,BC,AE., ,SA,AB,A, AE,BC(已证),,,EF为AF在平面SBC上的射影. AE,SB(题设),AE,平面SBC, ,SB,BC,B, 又?SC?AF，?SC?EF. 【】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解 决问题的关键. 【】 已知：M?N=AB,PQ?M于Q，PO?N于O，OR?M于R，求证：QR?AB. 【】 由求证想判定，欲证线线垂直，有（1）a?b,a?c,,,b?c;(2)a?α,bαa?b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【】 如图所示， M,N,AB, ?PO?AB, ,PO,N, ?又PQ?M,?PQ?AB, ?AB?平面PQO, 又OR?M,?PQ?OR, ?PQ与OR确定平面PR（即平面RQP）. ?QR 面PR，?QR?AB. , 例2题图 ?PQ?M,OR?M, ?RQ是直线PO在平面M上的射影. ?PO?N,ABN,?PO?AB,ABM, ,, ?QR?AB(三垂线定理的逆定理). 【】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、 “四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条 线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结 射影，寻第四条线. 【】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′A,B、C、B、C 分别为AA′,AA′的三等分11111 点，将矩形纸片沿BB,CC折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB?BC，求证:AC?AB. 111111 例3题图解(1) 【】 题设主要条件是AB?BC，而结论是AB?AC，题设，题断有对答性，可在111ABBA上作文章，只要取AB中点D，就把异面直线AB与BC垂直关系转换到ABBA同一平面111111111 内AB与BD垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB与AC垂直用同法（对称原理）1111转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得AD垂直于AB，事实上DBDA，为平行四边形，1111解题路子清楚了. 【】 作CD?AB于D， 11111 ?AC=BC,?D为AB中点. 1111111 ?AA?平面ABC，BD为BC在平面ABBA内的射影， 11111111 由AB?BC得AB?BD,取AB中点D， 1111 同理可证AD为AC在平面ABBA内的射影， 1111 ?ADBD,?ADBD为平行四边形， 1111 由AB?BD,得AB?AD,?AB?AC. 111111 D?BC,BD?AC交于D. 111111111 作AD?BC,BD?AC交于D， 连BD，DD(如图(2))， 11作A?ACBD为菱形， 1111 ?AB?DC, 1111 又AA?平面ADBC, 11111 ?AA?DC, 111 又DC?平面ABBA，?DC?AB， 1111111 又AB?BC，?AB?平面BCD，?AB?BD, 1111111例3题图解（2） 又BD?CA,?AB?AC. 1111 【】 证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普 遍意义，利用割补法把几何图形化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【】 空间三条线段AB,BC,CD,AB?BC,BC?CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是 . 【】 如图，在直角梯形ABCD中,CD=6, 11 AD的长是AD的最小值,其中AH?CD,AH=BC=4,HD=3, 111 ?AD=5;在直角?AHD中,CD=6,AD是AD的最大值为 1222 2222 HD，AH,(6，3)，4,972 【】 ［5,97］ 例4题图 【】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 1.设M示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： a//ba,Ma,Ma//M,,,,?,b,M,a//b,, ? ?b?M ?b?M. ,,,,a,Mb,Ma,ba,b,,,, 其中正确的命题是 ( ) A.?? B.??? C.??? D.??? 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把?ADE、?CDF和?BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必 有 ( ) 第3题图 A.DP?平面PEF B.DM?平面PEF C.PM?平面DEF D.PF?平面DEF 4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 α和m?γ,那么必有 ( ) , 5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β?γ,l?α,mA.α?γ且l?m B.α?γ且m?β C.m?β且l?m D.α?β且α?γ 6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB 的距离为 ( ) 2535A.1 B.2 C. D. 55 7.有三个命题： ?垂直于同一个平面的两条直线平行； ?过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； ?异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a?α，b?β，则下面正确的结论是 ( ) A.α与β必相交且交线m?d或m与d重合 B.α与β必相交且交线m?d但m与d不重合 C.α与β必相交且交线m与d一定不平行 D.α与β不一定相交 9.设l、m为直线，α为平面，且l?α，给出下列命题 ? 若m?α，则m?l；?若m?l，则m?α；?若m?α，则m?l；?若m?l，则m?α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．． A.??? B.??? C.??? D.??? 10.已知直线l?平面α，直线m平面β，给出下列四个命题： ?若α?β，则l?m；?若α?β，则l?m；?若l?m，则α?β；?若l?m，则α?β. 其中正确的命题是 ( ) A.?与? B.?与? C.?与? D.?与? 11.如图所示，?ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射 影分别为A′，B′，C′，如果?A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则?A′B′C′的面积是 . 第11题图 第13题图 BCD—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有AC?1111112.如图所示,在直四棱柱ABD(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 11 13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC?AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可) 14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH?侧面VBC,且H是?VBC的垂心，BE是VC边上的高. (1)求证:VC?AB; (2)若二面角E—AB—C的大小为30?,求VC与平面ABC 所成角的大小. 第14题图 15.如图所示，PA?矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN?平面PAD. (2)求证：MN?CD. (3)若?PDA＝45?，求证：MN?平面PCD. 第15题图 16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，?BAD＝60?，AB＝4，AD 15，PD＝. 3＝2，侧棱PB＝ (1)求证：BD?平面PAD. (2)若PD与底面ABCD成60?的角，试求二面角P—BC—A的大小. 第16题图 17.已知直三棱柱ABC-A6BC中，?ACB=90?,?BAC=30?,BC=1，AA=，M是CC的中点，11111求证：AB?AM． 11 18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N?NB＝1?2，MC与BD交于P. (1)求证：NP?平面ABCD. (2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角. (3)求点C到平面D′MB的距离. 第18题图 4 1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后DP?PE,DP?PF，PE?PF. 4.D 过a上任一点作直线b′?b,则a，b′确定的平面与直线b平行. α,则必有α?γ,又因为l=β?γ则有lγ,而m?γ则l?m,故选A. ,,5.A,m?γ且m AC,BC2226.DP作PD?AB于D，连CD，则CD?AB，AB=AC，BC,5，， CD,,AB5 43522?PD=PC，CD,，,1. 55 7.D 由定理及性质知三个命题均正确. 8.A 显然α与β不平行. 9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直. 10.B ?α?β，l?α，?l?m 32 11.cm设正三角A′B′C′的边长为a. 2２22222?AC=a+1,BC=a+1,AB=a+4， 2222又AC+BC=AB，?a=2． 3322S=cm． ,a,?′′′ABC42 12.在直四棱柱ABCD—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC?BD(或任何能推导出这个条件1111 的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有AC?BD(注:填上你认为正确的一种条件即可,111不必考虑所有可能的情形). 本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线 定理但不惟一,要求思维应灵活. 13.VC?VA，VC?AB. 由VC?VA，VC?AB知VC?平面VAB. 14.(1)证明:?H为?VBC的垂心, ?VC?BE,又AH?平面VBC, ?BE为斜线AB在平面VBC上的射影,?AB?VC. (2)解:由(1)知VC?AB,VC?BE, ?VC?平面ABE,在平面ABE上,作ED?AB,又AB?VC, ?AB?面DEC. ?AB?CD,??EDC为二面角E—AB—C的平面角， ??EDC=30?,?AB?平面VCD, ?VC在底面ABC上的射影为CD. ??VCD为VC与底面ABC所成角,又VC?AB,VC?BE, ?VC?面ABE,?VC?DE, ??CED=90?,故?ECD=60?, ?VC与面ABC所成角为60?. 15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN， 11CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形. 22则有EN?CD?AB?AM，EN＝?MN?AE. ?AE平面PAD，MN平面PAD，?MN?平面PAD. (2)?PA?平面ABCD， ?PA?AB. 又AD?AB，?AB?平面PAD. ?AB?AE，即AB?MN. 又CD?AB，?MN?CD. (3)?PA?平面ABCD，?PA?AD. 又?PDA＝45?，E为PD的中点. 第15题图解 ?AE?PD，即MN?PD.又MN?CD， ?MN?平面PCD. 16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，?BAD＝60?， 故BD1222＝AD+AB-2AD?ABcos60?＝4+16-2×2×4×＝12. 2222又AB＝AD+BD， ??ABD是直角三角形，?ADB＝90?， 即AD?BD.在?PDB中，PD＝15312，PB＝，BD＝， 222?PB＝PD+BD，故得PD?BD.又PD?AD＝D， ?BD?平面PAD. 第16题图解 (2)由BD?平面PAD，BD平面ABCD. ?平面PAD?平面ABCD.作PE?AD于E， 又PE平面PAD， ?PE?平面ABCD，??PDE是PD与底面ABCD所成的角. 33??PDE＝60?，?PE＝PDsin60?＝. 3，,22作EF?BC于F，连PF，则PF?BF， ??PFE是二面角P—BC—A的平面角. 又EF＝BD＝12，在Rt?PEF中， 3 PE32tan?PFE＝. ,,EF423 3故二面角P—BC—A的大小为arctan. 4 CCAC31，?. ,,2,1MCCA6111 17.连结AC2 ?Rt?ACC?Rt?MCA， 111 ??ACC=?MAC， 111 ??AMC+?ACC=?AMC+?MAC=90?. 1111111 ?AM?AC,又ABC-ABC为直三棱柱， 11111 ?CC?BC，又BC?AC，?BC?平面ACM. 1111111111由三垂线定理知AB?AM. 11 要证AB?AM，因BC?平面AC，由三垂线定理可转化成证AC?AM，而AC?AM111111111 一定会成立． 18.(1)证明：在正方形ABCD中， 1??MPD??CPB，且MD＝BC， 2 ?DP?PB＝MD?BC＝1?2. 又已知D′N?NB＝1?2， 由平行截割定理的逆定理得NP?DD′，又DD′?平面ABCD， ?NP?平面ABCD. (2)?NP?DD′?CC′， ?NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱. 又由CC′?平面ABCD，得CC′?CD，CC′?CM， ??MCD为该二面角的平面角. 在Rt?MCD中可知 1?MCD＝arctan，即为所求二面角的大小. 2 2a62(3)由已知棱长为a可得，等腰?MBC面积S＝，等腰?MBD′面积S＝，设所求距离为a1224 h，即为三棱锥C—D′MB的高. 11?三棱锥D′—BCM体积为,， SDDSh,,1233 S,a61?h,,a. S32