否命
与命题的否定
一、识别否命题与命题的否定
1(命题的否命题:既否定命题的条件又否定命题的结论,即若
示命题“若pppp则”,则其否命题是“若非,则非”。 ABAB
2(“非”叫做命题的否定,对命题怎样否定呢,保留其条件,否定其结论,即ppp
如果命题是“若,则”,那么命题“非”是:若,则非。由此可知命题与ABABpp,p的条件相同,结论相反;命题与的真假相反;。 ,,,()ppp,pp
二、区别否命题与命题的否定
1(注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题的否定为“非”,pp记作,一般只是否定命题的结论,否命题是对原命题“若则”既否定它的条件,,pppq又否它的结论。
2(“非”是否定的意思,一个命题经过使用逻辑联结词“非”,构成了一个复合命题p
“非”,从集合的角度可以看作是在全集中的补集。“非”的含义有四条: CPUppU
?“非”只否定的结论; pp
?与“非”的真假必须相反; pp
?“非”必须包含的所有对立面; pp
?“非”必须使用否定词语。 p
三、实例帮您理解否命题与命题的否定
在学习本节时,有些同学对命题的否定不知如何把握,很容易与否命题混淆,下面以具体实例作一比较。
若是一个命题,则是的否定,它是对整个命题进行否定。 p,pp
命题“若则”的否命题是“若则”,即对命题的题设与结论同时否定,例pq,p,q
如:
?命题:(所有)质数不都是奇数(真);否定形式:(所有)质数都是奇数(假);否命题:有些质数是奇数(真)。
?命题:面积相等的三角形一定是全等三角形(假);否定形式:面积相等的三角形不一定是全等三角形(真);否命题:面积不相等的三角形一定不是全等三角形(真)。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式
“或”的否定是“非且非”;“ 且”的否定形式是“非或非”。它类pqpqpqpq似于集合中的“、”,如“实数CABCACB()()(),CABCACB()()(),UUUUUU
与均为零”的否定是“与中至少有一个不为零”,而不是“与都不为零”;“实xxxyyy数与中至少有一个为零”的否定是“与均为零”。 xxyy
五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表:
原命题 否定形式 否命题
真 假 与原命题的真假无关与逆命
题真假相同 假 真
六、命题中关键词的否定表
把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题,必须掌握一些关键词的否定,见下表:
至少至多对任意使xA,关键大(小)任何,所有是 有 全部 有一有一真 px()词 于 的 个 个
一个至少存在使xA,不大(小)不不全,不某些,有几否定 无 也没有两假 px()于 是 都 个 有 个 七、含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题:,它的否定: ,,xMpx,(),,,xMpx,()p,p
全称命题的否定是存在性命题。
含有一个量词的存在性命题的否定,有下面的结论:
存在性命题:,它的否定:: ,,xMpx,(),,,xMpx,()p,p
存在性命题的否定是全称命题
八、典型例题剖析
例1写出命题“若?或?,则?”的否命题 2mn3mn,5
?或?,则” 错解一:否命题为“若2mn3mn,,5
错解二:否命题为“若或,则”。 m,2n,3mn,,5
错解剖析:这两种结论都是错误的,在写否命题时,首先要分清是“否命题”还是“命
题的否定”。“否命题”是对条件与结论分别否定,而“命题的否定”是只对结论的否定。即
若原命题为,那么它的否命题是非非,而命题的否定是非。其次要BBAB,A,A,
注意对“且”与“或”的否定。一般来说,“且”的否定是“或”,而“或”的否定是“且”。
正解:原命题的否命题为:
若且,则。 m,2n,3mn,,5
例2写出下列命题的否定,并判断其真假
12(1):R,?;(2):所有的正方形都是矩形;(3)r:R,,,xp0q,,xxx,,4
22?;(4):至少有一个实数,使。 sxxx,,220x,,10
12解:(1):R,。(假) ,p,,xxx,,,04
1122这是由于R,?恒成立; ,,x0xxx,,,,()42
(2):至少存在一个正方形不是矩形。(假) ,q
2,r(3):R,。(真) ,,xxx,,,220
22这是由于,R,?成立。 xxx,,,,,22(1)1,,x00,
2例3已知命题:存在一个实数,使得,写出。 xpxx,,,20,p
2分析:命题有两种答案:(1)存在一个实数,使得?;或(2)不存x,pxx,,20
2在一个实数,使得。这两个答案哪一种正确, xxx,,,20
22解:由。故原命题是真命题。又时,,x,3xxx,,,,,,,2012pxx,,,20所以分析中答案(1)也是真命题。而与的真假性相反,所以(1)是错误的。 p,p
2答案(2)是正确的。事实上,我们不妨把命题改写成:若一个不等式是,pxx,,,20则存在一个实数使这个不等式成立。由此可知,答案(2)才是否定了命题的结论,得xp到了“”。 ,p
2例4写出命题“若,则”的否定和否命题。 x,1xx,,,210
22解:命题“若,则”的否定为“若,则?”;否x,1x,10xx,,,210xx,,21
2命题为:若,则?。 x,10xx,,21