成考高数二概念大全
第一章
、极限和连续
?1.1 函数
一、 主要
? 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x?D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
2
1
) (
) (
D x x g
D x x f
y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) ? x=φ (y)=f
-1
(y)
y=f
-1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f
-1
(x), D(f
-1
)=Y, Z(f
-1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
? 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x?D,x1、x2?D
当x1,x2 时,若f(x1)?f(x2),
则称f(x)在D 内单调增加( );
若f(x1)?f(x2),
则称f(x)在D 内单调减少( );
若f(x1),f(x2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( );
若f(x1),f(x2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称
偶函数:f(-x)=f(x)
奇函数:f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性:
周期函数:f(x+T)=f(x), x?(-?,+?)
周期:T——最小的正数
4.函数的有界性: |f(x)|?M , x?(a,b)
? 基本初等函数
1.常数函数: y=c , (c 为常数)
2.幂函数: y=x
n
, (n 为实数)
3.指数函数: y=a
x
, (a,0、a?1)
4.对数函数: y=loga x ,(a,0、a?1)
5.三角函数: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x
? 复合函数和初等函数
1.复合函数: y=f(u) , u=φ (x)
y=f[φ (x)] , x?X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,
并
且能用一个
式子
示的函数
?1.2 极 限
一、 主要内容
?极限的概念
1. 数列的极限:
A y
n
n
lim
称数列
n
y
以常数A 为极限;
或称数列
n
y
收敛于A.
定理: 若
n
y
的极限存在
n
y
必定有界.
2.函数的极限:
?当
时,
) (x f
的极限:
A x f
A x f
A x f
x
x
x
) ( lim
) ( lim
) ( lim
?当 0
时,
) (x f
的极限:
A x f
x x
) ( lim
0
左极限:
A x f
x x
) ( lim
0
右极限:
A x f
x x
) ( lim
0
?函数极限存的充要条件:
定理:
A x f x f A x f
x x x x
x x
) ( lim ) ( lim ) ( lim
0 0
0
?无穷大量和无穷小量
1( 无穷大量:
称在该变化过程中
) (x f
为无穷大量。
X 再某个变化过程是指:
0 0 0
2( 无穷小量:
称在该变化过程中
) (x f
为无穷小量。
3( 无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
) 0 ) ( ( ,
) (
1
x f
x f
4( 无穷小量的比较:
?若
,则称β是比α较高阶的无穷小量;
?若
lim
(c 为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
?若
,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β,α;
?若
lim
,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理:若:
; ,
2 2 1 1
则:
2
1
2
1
lim lim
?两面夹定理
1( 数列极限存在的判定
:
设:
n n n
(n=1、2、3?)
且:
a z y
n
n
n
n
lim lim
则:
a x
n
n
lim
2( 函数极限存在的判定准则:
设:对于点x0 的某个邻域内的一切点
(点x0 除外)有:
且:
A x h x g
x x x x
) ( lim ) ( lim
0 0
则:
A x f
x x
) ( lim
0
?极限的运算规则
若:
则:?
?
?
B
A
x v
x u
x v
x u
) ( lim
) ( lim
) (
) (
lim
推论:?
)] ( ) ( ) ( lim[
2 1
x u x u x u
n
) ( lim ) ( lim ) ( lim
2 1
x u x u x u
n
?
?
n n
?两个重要极限
1(
1
sin
lim
0
x
x
x
或
1
) (
) ( sin
lim
0 ) (
x
x
x
2(
e
x
x
x
)
1
1 ( lim
e x
x
x
1
0
) 1 ( lim
?1.3 连续
一、 主要内容
? 函数的连续性
1. 函数在 0
x
处连续:
) (x f
在 0
x
的邻域内有定义,
1
o
0 )] ( ) ( [ lim lim
0 0
0 0
x f x x f y
x x
2
o
) ( ) ( lim
0
0
x f x f
x x
左连续:
) ( ) ( lim
0
0
x f x f
x x
右连续:
) ( ) ( lim
0
0
x f x f
x x
2. 函数在 0
x
处连续的必要条件:
定理:
) (x f
在 0
x
处连续
) (x f
在 0
x
处极限存在
3. 函数在 0
x
处连续的充要条件:
定理:
) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim
0 0
0 0
0
x f x f x f x f x f
x x x x
x x
4. 函数在
上连续:
) (x f
在
上每一点都连续。
在端点
a
和
b
连续是指:
) ( ) ( lim a f x f
a x
左端点右连续;
) ( ) ( lim b f x f
b x
右端点左连续。
a
+
0 b
-
x
5. 函数的间断点:
若
) (x f
在 0
x
处不连续,则 0
x
为
) (x f
的间断点。
间断点有三种情况:
1
o ) ( x f
在 0
x
处无定义;
2
o
) ( lim
0
x f
不存在;
3
o ) ( x f
在 0
x
处有定义,且
) ( lim
0
x f
存在,
但
) ( ) ( lim
0
0
x f x f
x x
。
两类间断点的判断:
1
o
第一类间断点:
特点:
) ( lim
0
x f
x x
和
) ( lim
0
x f
x x
都存在。
可去间断点:
) ( lim
0
x f
存在,但
) ( ) ( lim
0
0
x f x f
x x
,或
) ( x f
在 0
x
处无定义。
2
o
第二类间断点:
特点:
) ( lim
0
x f
x x
和
) ( lim
0
x f
x x
至少有一个为?,
或
) ( lim
0
x f
振荡不存在。
无穷间断点:
) ( lim
0
x f
x x
和
) ( lim
0
x f
x x
至少有一个为?
?函数在 0
x
处连续的性质
1. 连续函数的四则运算:
设
) ( ) ( lim
0
0
x f x f
x x
,
) ( ) ( lim
0
0
x g x g
x x
1
o
) ( ) ( )] ( ) ( [ lim
0 0
0
x g x f x g x f
x x
2
o
) ( ) ( )] ( ) ( [ lim
0 0
0
x g x f x g x f
x x
3
o
) (
) (
) (
) (
lim
0
0
0
x g
x f
x g
x f
x x
0 ) ( lim
0
x g
x x
2. 复合函数的连续性:
)] ( [ ) ( lim ), ( ) ( lim
0
) (
0
0 0
x f u f x x
x u x x
则:
)] ( [ )] ( lim [ )] ( [ lim
0
0 0
x f x f x f
x x x x
3. 反函数的连续性:
) ( ), ( ), (
0 0
1
) ( ) ( lim ) ( ) ( lim
0
1 1
0
0 0
y f y f x f x f
y y x x
?函数在
] , [ b a
上连续的性质
1.最大值与最小值定理:
) (x f
在
] , [ b a
上连续
在
] , [ b a
上一定存在最大值与最小
值。
y y
+M M
f(x)
f(x)
0 a b x
m
-M
0 a
b x
2. 有界定理:
) (x f
在
] , [ b a
上连续
在
] , [ b a
上一定
有界。
3.介值定理:
) (x f
在
] , [ b a
上连续
在
) , ( b a
内至少存在一点
,使得:
,
其中:
y y
M
f(x)
C
f(x)
0 a
ξ
b x
m
0 a ξ 1 ξ 2 b x
推论:
) (x f
在
] , [ b a
上连续,且
) (a f
与
) (b f
异号
在
) , ( b a
内至少存在一点
,使得:
。
4.初等函数的连续性:
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章 一元函数微分学
?2.1 导数与微分
一、主要内容
?导数的概念
1(导数:
在
0
x
的某个邻域内有定义,
x
x f x x f
x
y
x x
) ( ) (
lim lim
0 0
0 0
0
0
) ( ) (
lim
0 x x
x f x f
x x
0 0
) (
0 x x x x
dx
dy
x f y
2(左导数:
0
0
0
) ( ) (
lim ) (
0 x x
x f x f
x f
x x
右导数:
0
0
0
) ( ) (
lim ) (
0 x x
x f x f
x f
x x
定理:
) ( x f
在 0
x
的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
则:
) ( lim ) (
0
0
x f x f
x x
(或:
) ( lim ) (
0
0
x f x f
x x
)
3.函数可导的必要条件:
定理:
) ( x f
在 0
x
处可导
在 0
x
处连续
4. 函数可导的充要条件:
定理:
) (
0
0
x f y
x x
?
存在
) ( ) (
0 0
x f x f
,
且存在。
5.导函数:
), ( x f y
) ( x f
在
) , ( b a
内处处可导。 y
) (
0
x f
) (x f
6.导数的几何性质:
) (
0
x f
是曲线
上点
0 0
, y x M
处切线的斜率。 o x0 x
?求导法则
1.基本求导公式:
2.导数的四则运算:
1
o
v u v u
(
2
o
v u v u v u
(
3
o
2
v
v u v u
v
u
3.复合函数的导数:
dx
du
du
dy
dx
dy
,或
) ( )] ( [ } )] ( [ { x x f x f
?注意
} )] ( [ {
与
的区别:
} )] ( [ {
表示复合函数对自变量
x
求导;
表示复合函数对中间变量
求导。
4.高阶导数:
) ( ), ( ), (
) 3 (
x f x f x f 或
) 4 , 3 , 2 ( , ] ) ( [ ) (
) 1 ( ) (
n x f x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1 导数的导数。
?微分的概念
1.微分:
) ( x f
在
x
的某个邻域内有定义,
其中:
) ( x A
与
无关,
是比
较高
阶的无穷小量,即:
0
) (
lim
0
x
x o
x
则称
在
x
处可微,记作:
2.导数与微分的等价关系:
定理:
) ( x f
在
x
处可微
在
x
处可导,
且:
3.微分形式不变性:
du u f dy ) (
不论u 是自变量,还是中间变量,函数的
微分
dy
都具有相同的形式。
?2.2 中值定理及导数的应用
一、主要内容
?中值定理
1.罗尔定理:
) ( x f
满足条件:
. 0 ) (
,
) , (
). ( ) ( 3
; ) , ( 2
] , [ 1
0
.
0
.
0
.
f
b a
b f a f
b a
b a
使得
存在一点
内至少 在
内可导 在
上连续; 在
) ( x f
a o ξ b x a o ξ b
x
2.拉格朗日定理:
) ( x f
满足条件:
a b
a f b f
f
b a
b a
b a
) ( ) (
) (
) , (
) , ( 2
] , [ 1
0
0
,使得: 在一点
内至少存 在
内可导; 在
上连续, 在
?罗必塔法则:(
,
0
0
型未定式)
定理:
) (x f
和
) (x g
满足条件:
1
o
) 或
) 或
( 0 ) ( lim
( 0 ) ( lim
x g
x f
a x
a x
;
2
o
在点a 的某个邻域内可导,且
x g
;
3
o
) (或
,
) (
) (
lim
) (
A
x g
x f
a x
则:
) (或
,
) (
) (
lim
) (
) (
lim
) ( ) (
A
x g
x f
x g
x f
a x a x
?注意:1
o
法则的意义:把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2
o
若不满足法则的条件,不能使用法则。
即不是
0
0
型或
型时,不可求导。
3
o
应用法则时,要分别对分子、分母
求导,而不是对整个分式求导。
4
o
若
) (x f
和
) (x g
还满足法则的条件,
可以继续使用法则,即:
) (或
A
x g
x f
x g
x f
x g
x f
a x a x a x
) (
) (
lim
) (
) (
lim
) (
) (
lim
) ( ) ( ) (
5
o
若函数是
型可采用代数变
形,化成
0
0
或
型;若是
0 0
型可
采用对数或指数变形,化成
0
0
或
型。
?导数的应用
1( 切线方程和法线方程:
设:
) , ( ), (
0 0
切线方程:
) )( (
0 0 0
法线方程:
) 0 ) ( ( ), (
) (
1
0 0
0
0
x f
y y
2( 曲线的单调性:
?
内单调增加; 在
) , ( 0 ) ( b a
内单调减少; 在
?
内严格单调增加; 在
内严格单调减少。 在
3.函数的极值:
?极值的定义:
设
) (x f
在
) , ( b a
内有定义,
0
x
是
) , ( b a
内的一点;
若对于
0
x
的某个邻域内的任意点
0
,都有:
)] ( ) ( )[ ( ) (
0 0
或
则称
) (
0
x f
是
) (x f
的一个极大值(或极小值),
称
0
x
为
) (x f
的极大值点(或极小值点)。
?极值存在的必要条件:
定理:
0 ) (
) ( . 2
) ( ) ( . 1
0
0
0
0
0
x f
x f
x f x f
存在。
存在极值
0
x
称为
) (x f
的驻点
?极值存在的充分条件:
定理一:
是极值点。
是极值;
时变号。 过
不存在; 或
处连续; 在
0
0
0
0
0 0
0
0
0
) (
) ( . 3
) ( 0 ) ( . 2
) ( . 1
x
x f
x x f
x f x f
x x f
当
x
渐增通过
0
x
时,
) (x f
由(+)变(-);
则
) (
0
x f
为极大值;
当
x
渐增通过
0
x
时,
) (x f
由(-)变(+);则
) (
0
x f
为极小值。
定理二:
是极值点。
是极值;
存在。
;
0
0
0
0
0
0
) (
) ( . 2
0 ) ( . 1
x
x f
x f
x f
若
0 ) (
0
x f
,则
) (
0
x f
为极大值;
若
0 ) (
0
x f
,则
) (
0
x f
为极小值。
?注意:驻点不一定是极值点,极值点也不一定是驻点。
4(曲线的凹向及拐点:
?若
;则
) (x f
在
) , ( b a
内是上凹的(或凹
的),(?);
?若
;则
) (x f
在
) , ( b a
内是下凹的(或凸
的),(?);
?
的拐点。 为
称
时变号。 过
,
) (
) ( ,
) ( . 2
0 ) ( . 1
0 0
0
0
0
0
x f
x f x
x x f
x f
5。曲线的渐近线:
?水平渐近线:
的水平渐近线。
是
或
若
) (
) ( lim
) ( lim
x f A y
A x f
A x f
x
x
?铅直渐近线:
的铅直渐近线。
是
或
若
) (
) ( lim
) ( lim
x f C x
x f
x f
C x
C x
第三章 一元函数积分学
?3.1 不定积分
一、 主要内容
?重要的概念及性质:
1(原函数:设:
若:
则称
) ( x F
是
) ( x f
的一个原函数,
并称
是
) ( x f
的所有原函数,
其中C 是任意常数。
2(不定积分:
函数
) ( x f
的所有原函数的全体,
称为函数
) ( x f
的不定积分;记作:
dx x f ) ( ) (
其中:
) ( x f
称为被积函数;
dx x f ) (
称为被积表达式;
x
称为积分变量。
3. 不定积分的性质:
?
或:
?
) ( ) (
或:
C x f x df
) ( ) (
?
n
)] ( ) ( ) ( [
2 1
n
) ( ) ( ) (
2 1
—分项积分法
?
(k 为非零常数)
4.基本积分公式:
?换元积分法:
?第一换元法:(又称“凑微元”法)
凑微元
C t F dt t f
x t
) ( ) (
令
C x F
x t
)] ( [
) (
回代
常用的凑微元函数有:
1
o
) (
1
) (
1
b ax d
a
ax d
a
) 0 , 为常数,
2
o
) (
) 1 (
1
1
1
1 1
b ax d
m a
dx
m
dx x
m m m
为常数) (m
3
o
) (
1
) ( b ae d
a
e d dx e
x x x
) 1 , 0 ( ), (
ln
1
a
dx a
x x
4
o
) (ln
1
x d dx
x
5
o
) (cot csc ) (tan sec
2 2
6
o
) (arccos ) (arcsin
1
1
2
x d x d dx
x
) cot ( ) (arctan
1
1
2
x arc d x d dx
x
2.第二换元法:
) (
t d t f dx x f
t x
令
C x F
x t
)] ( [
1
) (
1
反代
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,
其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换:
1
o
n
为偶数时
(当被积函数中有
n
x
时)
2
o
2
0 ), cos ( , sin
或
(当被积函数中有
2 2
时)
3
o
) 0 ( , 0 ), cot ( , tan
2 2
或
(当被积函数中有
2 2
时)
4
o
) 0 ( , 0 ), csc ( , sec
2 2
或
(当被积函数中有
2 2
时)
?分部积分法:
1. 分部积分公式:
vdx u v u dx v u
vdu v u udv
2.分部积分法主要针对的类型:
?
xdx x P xdx x P cos ) ( , sin ) (
?
dx e x P
x
) (
?
xdx x P ln ) (
?
xdx x P xdx x P arccos ) ( , arcsin ) (
xdx arc x P xdx x P cot ) ( , arctan ) (
?
bxdx e bxdx e
ax ax
cos , sin
其中: n
n n
a x a x
1
1 0
) (
(多项式)
3.选u 规律:
?在三角函数乘多项式中,令
,
其余记作dv;简称“三多选多”。
?在指数函数乘多项式中,令
,
其余记作dv;简称“指多选多”。
?在多项式乘对数函数中,令
,
其余记作dv;简称“多对选对”。
?在多项式乘反三角函数中,选反三角函数
为u,其余记作dv;简称“多反选反”。
?在指数函数乘三角函数中,可任选一函数
为u,其余记作dv;简称“指三任选”。
?简单有理函数积分:
1. 有理函数:
) (
) (
) (
x Q
x P
其中
) ( ) ( x Q x P 和
是多项式。
2. 简单有理函数:
?
2
1
) (
) ( ,
1
) (
) (
x
x P
x f
x
x P
x f
?
) )( (
) (
) (
b x a x
x P
x f
?
b a x
x P
x f
2
) (
) (
) (
?3.2 定积分 f(x)
一( 主要内容
(一).重要概念与性质
1. 定积分的定义: O a x1 x2 xi-1 ξ i xi xn-1 b x
i i i
b
a
n
i
i i
n
x
x x x f dx x f , ) ( ) (
1
1
0
lim
定积分含四步:分割、近似、求和、取极限。
定积分的几何意义:是介于x 轴,曲线y=f(x),
直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。
x 轴上方的面积取正号, y
x 轴下方的面积取负号。 + +
a 0 - b x
2. 定积分存在定理:
设:
若:f(x)满足下列条件之一:
; , ) ( . 1
点 上有有限个第一类间断 在
连续,
b a x f
b a x x f
上可积。 在 则:
上单调有界 在
b a x f
b a x f
, ) (
; , ) ( . 3
若积分存在,则积分值与以下因素无关:
上任意选取。 可以在 的选取无关,即 与点
可以任意划分 上的划分无关,即 与在
即 与积分变量形式无关,
i i i i
b
a
b
a
x x
b a b a
dt t f dx x f
, 1
3
; , , 2
; ) ( ) ( 1
有关。 与区间 积分值仅与被积函数 ] , [ ) ( b a x f
3. 牛顿——莱布尼兹公式:
) ( ) ( ) ( ) (
, ) ( ) (
a F b F x F dx x f
b a x f x F
b
a
b
a
则:
上的任意一个原函数: 在 是连续函数 若
*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理,其作用是将一个求曲边面积值
的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。
4. 原函数存在定理:
) ( ) ) ( ( ) (
] , [ ) ( ) (
, , ) ( ) (
, , ) (
x f dt t f x
b a x f x
b a x dt t f x
b a x x f
x
a
x
a
且:
上的一个原函数, 在 是
则:
连续, 若
5. 定积分的性质:
上可积,则: 在 设 ] , [ ) ( ), ( b a x g x f
b
a
b
a
dx x f k dx x kf ) ( ) ( 1
a
b
b
a
dx x f dx x f ) ( ) ( 2
0 ) ( 4
) ( ) ( ) ( ) ( 3
dx x f
dx x g dx x f dx x g x f
a
a
b
a
b
a
b
a
) ( ) ( ) ( ) ( 5 b c a dx x f dx x f x f
b
c
c
a
b
a
a b dx
b
a
y y y
f(x) g(x)
1
f(x)
0 a c b x 0 a b x 0 a b x
dx x g dx x f
b x a x g x f
b
a
b
a
) ( ) (
) ( ), ( ) ( 7
则
上的最小值和最大值。 在 分别为 其中
估值定理:
b a x f M m
a b M dx x f a b m
b
a
, ) ( ,
) ( ) ( ) (
8
y y
M f(x) f(x)
m
0 a b x 0 a ξ b x
) ( ) ( ) (
, , , , ) (
9
a b f dx x f
b a b a x x f
b
a
使
则:必存在一点 连续 若
积分中值定理:
(二)定积分的计算:
1. 换元积分
, 连续, 设
t t 连续, 若
, ) ( , ) (
, ) (
b a
b a t t
变到 单调地从 时, 变到 从 且当
b
a
则:
2. 分部积分
b
a
b
a
b
a
vdu v u udv
3. 广义积分
0
0
) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f
4. 定积分的导数公式
) ( ) ) ( 1 x f dt t f
x
a
x
(
) (
x x f dt t f
x
x
a
) ( [ 3
1 1 2 2
) (
) (
2
1
x x f x x f dt t f
x
x
x
(三)定积分的应用
1. 平面图形的面积:
由
与x 轴所围成的图形的面积 y f(x)
b
a
dx x f s ) (
) ( ), ( ), ( 2
2 1
由
b x a x
b
a
) ( ) (
, 所围成的图形的面积 与
) ( ), ( ), ( 3
2 1
由
d y c y
d
c
) ( ) (
,
所围成的图形的面积 与
: 求平面图形面积的步骤 . 4
?. 求出曲线的交点,画出草图;
?. 确定积分变量,由交点确定积分上下限;
?. 应用公式写出积分式,并进行计算。
2. 旋转体的体积
与 曲线
及x 轴所围图形绕x 轴
旋转所得旋转体的体积:
dx x f V
b
a
x
) (
2
0 a b x
与 由曲线
及 y 轴所围成图形绕 y
轴旋转所得旋转体的体积:
dy y V
d
c
y
) (
2
第四章 多元函数微积分初步
?4.1 偏导数与全微分
一. 主要内容:
?. 多元函数的概念
3. 二元函数的定义:
) ( f D 定义域:
4. 二元函数的几何意义:
二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线)
?. 二元函数的极限和连续:
1. 极限定义:设z=f(x,y)满足条件:
的某个领域内有定义。 在点 ) , ( 1
0 0
y x
可除外) (点 ) , (
0 0
y x
A y x f
y y
x x
) , ( lim 2
0
0
。 极限存在,且等于 在 则称 A y x y x f z ) , ( ) , (
0 0
2. 连续定义:设z=f(x,y)满足条件:
的某个领域内有定义。 在点 ) , ( 1
0 0
y x
) , ( ) , ( lim 2
0 0
0
0
y x f y x f
y y
x x
处连续。 在 则称 ) , ( ) , (
0 0
?.偏导数:
点 在 定义 ) , ( ), , ( :
0 0
y x y x f
x
y x f y x x f
y x f
x
x
) , ( ) , (
lim ) , (
0 0 0 0
0
0 0
y
y x f y y x f
y x f
y
y
) , ( ) , (
lim ) , (
0 0 0 0
0
0 0
的偏导数。 处对
在 分别为函数
y x
y x y x f y x f y x f
y x
,
) , ( ) , ( ) , ( ), , (
0 0 0 0 0 0
处的偏导数记为: 内任意点 在
x x
z
x
z
x
y x f
y x f
) , (
) , (
y y
z
y
z
y
y x f
y x f
) , (
) , (
?.全微分:
1.定义:z=f(x,y)