成考高数二概念大全

成考高数二概念大全 第一章 函数、极限和连续 ?1.1 函数 一、 主要内容 ? 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x?D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 2 1 ) ( ) ( D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) ? x=φ (y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1 (x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ? 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x?D,x1、x2?D 当x1,x2 时,若f(x1)?f(x2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x1)?f(x2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x1),f(x2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( ); 若f(x1),f(x2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x?(-?，+?) 周期:T——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|?M , x?(a,b) ? 基本初等函数 1.常数函数: y=c ， (c 为常数) 2.幂函数: y=x n , (n 为实数) 3.指数函数: y=a x , (a,0、a?1) 4.对数函数: y=loga x ,(a,0、a?1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ? 复合函数和初等函数 1.复合函数: y=f(u) , u=φ (x) y=f[φ (x)] , x?X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的， 并 且能用一个数学式子示的函数 ?1.2 极 限 一、 主要内容 ?极限的概念 1. 数列的极限: A y n n lim 称数列 n y 以常数A 为极限; 或称数列 n y 收敛于A. 定理: 若 n y 的极限存在 n y 必定有界. 2.函数的极限: ?当 时， ) (x f 的极限: A x f A x f A x f x x x ) ( lim ) ( lim ) ( lim ?当 0 时， ) (x f 的极限: A x f x x ) ( lim 0 左极限: A x f x x ) ( lim 0 右极限: A x f x x ) ( lim 0 ?函数极限存的充要条件: 定理: A x f x f A x f x x x x x x ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0 0 ?无穷大量和无穷小量 1( 无穷大量: 称在该变化过程中 ) (x f 为无穷大量。 X 再某个变化过程是指: 0 0 0 2( 无穷小量: 称在该变化过程中 ) (x f 为无穷小量。 3( 无穷大量与无穷小量的关系: 定理: ) 0 ) ( ( , ) ( 1 x f x f 4( 无穷小量的比较: ?若 ,则称β是比α较高阶的无穷小量; ?若 lim (c 为常数)，则称β与α同阶的无穷小量; ?若 ，则称β与α是等价的无穷小量，记作:β,α; ?若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。 定理:若: ; ， 2 2 1 1 则: 2 1 2 1 lim lim ?两面夹定理 1( 数列极限存在的判定准则: 设: n n n (n=1、2、3?) 且: a z y n n n n lim lim 则: a x n n lim 2( 函数极限存在的判定准则: 设:对于点x0 的某个邻域内的一切点 (点x0 除外)有: 且: A x h x g x x x x ) ( lim ) ( lim 0 0 则: A x f x x ) ( lim 0 ?极限的运算规则 若: 则:? ? ? B A x v x u x v x u ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 推论:? )] ( ) ( ) ( lim[ 2 1 x u x u x u n ) ( lim ) ( lim ) ( lim 2 1 x u x u x u n ? ? n n ?两个重要极限 1( 1 sin lim 0 x x x 或 1 ) ( ) ( sin lim 0 ) ( x x x 2( e x x x ) 1 1 ( lim e x x x 1 0 ) 1 ( lim ?1.3 连续 一、 主要内容 ? 函数的连续性 1. 函数在 0 x 处连续: ) (x f 在 0 x 的邻域内有定义， 1 o 0 )] ( ) ( [ lim lim 0 0 0 0 x f x x f y x x 2 o ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x 左连续: ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x 右连续: ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x 2. 函数在 0 x 处连续的必要条件: 定理: ) (x f 在 0 x 处连续 ) (x f 在 0 x 处极限存在 3. 函数在 0 x 处连续的充要条件: 定理: ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 0 0 x f x f x f x f x f x x x x x x 4. 函数在 上连续: ) (x f 在 上每一点都连续。 在端点 a 和 b 连续是指: ) ( ) ( lim a f x f a x 左端点右连续; ) ( ) ( lim b f x f b x 右端点左连续。 a + 0 b - x 5. 函数的间断点: 若 ) (x f 在 0 x 处不连续，则 0 x 为 ) (x f 的间断点。 间断点有三种情况: 1 o ) ( x f 在 0 x 处无定义; 2 o ) ( lim 0 x f 不存在; 3 o ) ( x f 在 0 x 处有定义，且 ) ( lim 0 x f 存在， 但 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x 。 两类间断点的判断: 1 o 第一类间断点: 特点: ) ( lim 0 x f x x 和 ) ( lim 0 x f x x 都存在。 可去间断点: ) ( lim 0 x f 存在，但 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x ，或 ) ( x f 在 0 x 处无定义。 2 o 第二类间断点: 特点: ) ( lim 0 x f x x 和 ) ( lim 0 x f x x 至少有一个为?， 或 ) ( lim 0 x f 振荡不存在。 无穷间断点: ) ( lim 0 x f x x 和 ) ( lim 0 x f x x 至少有一个为? ?函数在 0 x 处连续的性质 1. 连续函数的四则运算: 设 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x ， ) ( ) ( lim 0 0 x g x g x x 1 o ) ( ) ( )] ( ) ( [ lim 0 0 0 x g x f x g x f x x 2 o ) ( ) ( )] ( ) ( [ lim 0 0 0 x g x f x g x f x x 3 o ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x g x f x g x f x x 0 ) ( lim 0 x g x x 2. 复合函数的连续性: )] ( [ ) ( lim ), ( ) ( lim 0 ) ( 0 0 0 x f u f x x x u x x 则: )] ( [ )] ( lim [ )] ( [ lim 0 0 0 x f x f x f x x x x 3. 反函数的连续性: ) ( ), ( ), ( 0 0 1 ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim 0 1 1 0 0 0 y f y f x f x f y y x x ?函数在 ] , [ b a 上连续的性质 1.最大值与最小值定理: ) (x f 在 ] , [ b a 上连续 在 ] , [ b a 上一定存在最大值与最小 值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2. 有界定理: ) (x f 在 ] , [ b a 上连续 在 ] , [ b a 上一定 有界。 3.介值定理: ) (x f 在 ] , [ b a 上连续 在 ) , ( b a 内至少存在一点 ，使得: ， 其中: y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ 1 ξ 2 b x 推论: ) (x f 在 ] , [ b a 上连续，且 ) (a f 与 ) (b f 异号 在 ) , ( b a 内至少存在一点 ，使得: 。 4.初等函数的连续性: 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 ?2.1 导数与微分 一、主要内容 ?导数的概念 1(导数: 在 0 x 的某个邻域内有定义， x x f x x f x y x x ) ( ) ( lim lim 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( lim 0 x x x f x f x x 0 0 ) ( 0 x x x x dx dy x f y 2(左导数: 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( 0 x x x f x f x f x x 右导数: 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( 0 x x x f x f x f x x 定理: ) ( x f 在 0 x 的左(或右)邻域上连续在 其内可导，且极限存在; 则: ) ( lim ) ( 0 0 x f x f x x (或: ) ( lim ) ( 0 0 x f x f x x ) 3.函数可导的必要条件: 定理: ) ( x f 在 0 x 处可导 在 0 x 处连续 4. 函数可导的充要条件: 定理: ) ( 0 0 x f y x x ? 存在 ) ( ) ( 0 0 x f x f ， 且存在。 5.导函数: ), ( x f y ) ( x f 在 ) , ( b a 内处处可导。 y ) ( 0 x f ) (x f 6.导数的几何性质: ) ( 0 x f 是曲线 上点 0 0 , y x M 处切线的斜率。 o x0 x ?求导法则 1.基本求导公式: 2.导数的四则运算: 1 o v u v u ( 2 o v u v u v u ( 3 o 2 v v u v u v u 3.复合函数的导数: dx du du dy dx dy ，或 ) ( )] ( [ } )] ( [ { x x f x f ?注意 } )] ( [ { 与 的区别: } )] ( [ { 表示复合函数对自变量 x 求导; 表示复合函数对中间变量 求导。 4.高阶导数: ) ( ), ( ), ( ) 3 ( x f x f x f 或 ) 4 , 3 , 2 ( , ] ) ( [ ) ( ) 1 ( ) ( n x f x f n n 函数的n 阶导数等于其n-1 导数的导数。 ?微分的概念 1.微分: ) ( x f 在 x 的某个邻域内有定义， 其中: ) ( x A 与 无关， 是比 较高 阶的无穷小量，即: 0 ) ( lim 0 x x o x 则称 在 x 处可微，记作: 2.导数与微分的等价关系: 定理: ) ( x f 在 x 处可微 在 x 处可导， 且: 3.微分形式不变性: du u f dy ) ( 不论u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分 dy 都具有相同的形式。 ?2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ?中值定理 1.罗尔定理: ) ( x f 满足条件: . 0 ) ( , ) , ( ). ( ) ( 3 ; ) , ( 2 ] , [ 1 0 . 0 . 0 . f b a b f a f b a b a 使得 存在一点 内至少 在 内可导 在 上连续; 在 ) ( x f a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理: ) ( x f 满足条件: a b a f b f f b a b a b a ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 ] , [ 1 0 0 ，使得: 在一点 内至少存 在 内可导; 在 上连续， 在 ?罗必塔法则:( , 0 0 型未定式) 定理: ) (x f 和 ) (x g 满足条件: 1 o ) 或 ) 或 ( 0 ) ( lim ( 0 ) ( lim x g x f a x a x ; 2 o 在点a 的某个邻域内可导，且 x g ; 3 o ) (或 , ) ( ) ( lim ) ( A x g x f a x 则: ) (或 , ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( A x g x f x g x f a x a x ?注意:1 o 法则的意义:把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2 o 若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是 0 0 型或 型时，不可求导。 3 o 应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4 o 若 ) (x f 和 ) (x g 还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即: ) (或 A x g x f x g x f x g x f a x a x a x ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( 5 o 若函数是 型可采用代数变 形，化成 0 0 或 型;若是 0 0 型可 采用对数或指数变形，化成 0 0 或 型。 ?导数的应用 1( 切线方程和法线方程: 设: ) , ( ), ( 0 0 切线方程: ) )( ( 0 0 0 法线方程: ) 0 ) ( ( ), ( ) ( 1 0 0 0 0 x f y y 2( 曲线的单调性: ? 内单调增加; 在 ) , ( 0 ) ( b a 内单调减少; 在 ? 内严格单调增加; 在 内严格单调减少。 在 3.函数的极值: ?极值的定义: 设 ) (x f 在 ) , ( b a 内有定义， 0 x 是 ) , ( b a 内的一点; 若对于 0 x 的某个邻域内的任意点 0 ，都有: )] ( ) ( )[ ( ) ( 0 0 或 则称 ) ( 0 x f 是 ) (x f 的一个极大值(或极小值)， 称 0 x 为 ) (x f 的极大值点(或极小值点)。 ?极值存在的必要条件: 定理: 0 ) ( ) ( . 2 ) ( ) ( . 1 0 0 0 0 0 x f x f x f x f 存在。 存在极值 0 x 称为 ) (x f 的驻点 ?极值存在的充分条件: 定理一: 是极值点。 是极值; 时变号。 过 不存在; 或 处连续; 在 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( . 3 ) ( 0 ) ( . 2 ) ( . 1 x x f x x f x f x f x x f 当 x 渐增通过 0 x 时， ) (x f 由(+)变(-); 则 ) ( 0 x f 为极大值; 当 x 渐增通过 0 x 时， ) (x f 由(-)变(+);则 ) ( 0 x f 为极小值。 定理二: 是极值点。 是极值; 存在。 ; 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( . 2 0 ) ( . 1 x x f x f x f 若 0 ) ( 0 x f ，则 ) ( 0 x f 为极大值; 若 0 ) ( 0 x f ，则 ) ( 0 x f 为极小值。 ?注意:驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4(曲线的凹向及拐点: ?若 ;则 ) (x f 在 ) , ( b a 内是上凹的(或凹 的)，(?); ?若 ;则 ) (x f 在 ) , ( b a 内是下凹的(或凸 的)，(?); ? 的拐点。 为 称 时变号。 过 ， ) ( ) ( , ) ( . 2 0 ) ( . 1 0 0 0 0 0 0 x f x f x x x f x f 5。曲线的渐近线: ?水平渐近线: 的水平渐近线。 是 或 若 ) ( ) ( lim ) ( lim x f A y A x f A x f x x ?铅直渐近线: 的铅直渐近线。 是 或 若 ) ( ) ( lim ) ( lim x f C x x f x f C x C x 第三章 一元函数积分学 ?3.1 不定积分 一、 主要内容 ?重要的概念及性质: 1(原函数:设: 若: 则称 ) ( x F 是 ) ( x f 的一个原函数， 并称 是 ) ( x f 的所有原函数, 其中C 是任意常数。 2(不定积分: 函数 ) ( x f 的所有原函数的全体， 称为函数 ) ( x f 的不定积分;记作: dx x f ) ( ) ( 其中: ) ( x f 称为被积函数; dx x f ) ( 称为被积表达式; x 称为积分变量。 3. 不定积分的性质: ? 或: ? ) ( ) ( 或: C x f x df ) ( ) ( ? n )] ( ) ( ) ( [ 2 1 n ) ( ) ( ) ( 2 1 —分项积分法 ? (k 为非零常数) 4.基本积分公式: ?换元积分法: ?第一换元法:(又称“凑微元”法) 凑微元 C t F dt t f x t ) ( ) ( 令 C x F x t )] ( [ ) ( 回代 常用的凑微元函数有: 1 o ) ( 1 ) ( 1 b ax d a ax d a ) 0 , 为常数， 2 o ) ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 b ax d m a dx m dx x m m m 为常数) (m 3 o ) ( 1 ) ( b ae d a e d dx e x x x ) 1 , 0 ( ), ( ln 1 a dx a x x 4 o ) (ln 1 x d dx x 5 o ) (cot csc ) (tan sec 2 2 6 o ) (arccos ) (arcsin 1 1 2 x d x d dx x ) cot ( ) (arctan 1 1 2 x arc d x d dx x 2.第二换元法: ) ( t d t f dx x f t x 令 C x F x t )] ( [ 1 ) ( 1 反代 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换: 1 o n 为偶数时 (当被积函数中有 n x 时) 2 o 2 0 ), cos ( , sin 或 (当被积函数中有 2 2 时) 3 o ) 0 ( , 0 ), cot ( , tan 2 2 或 (当被积函数中有 2 2 时) 4 o ) 0 ( , 0 ), csc ( , sec 2 2 或 (当被积函数中有 2 2 时) ?分部积分法: 1. 分部积分公式: vdx u v u dx v u vdu v u udv 2.分部积分法主要针对的类型: ? xdx x P xdx x P cos ) ( , sin ) ( ? dx e x P x ) ( ? xdx x P ln ) ( ? xdx x P xdx x P arccos ) ( , arcsin ) ( xdx arc x P xdx x P cot ) ( , arctan ) ( ? bxdx e bxdx e ax ax cos , sin 其中: n n n a x a x 1 1 0 ) ( (多项式) 3.选u 规律: ?在三角函数乘多项式中，令 ， 其余记作dv;简称“三多选多”。 ?在指数函数乘多项式中，令 ， 其余记作dv;简称“指多选多”。 ?在多项式乘对数函数中，令 ， 其余记作dv;简称“多对选对”。 ?在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 ?在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。 ?简单有理函数积分: 1. 有理函数: ) ( ) ( ) ( x Q x P 其中 ) ( ) ( x Q x P 和 是多项式。 2. 简单有理函数: ? 2 1 ) ( ) ( , 1 ) ( ) ( x x P x f x x P x f ? ) )( ( ) ( ) ( b x a x x P x f ? b a x x P x f 2 ) ( ) ( ) ( ?3.2 定积分 f(x) 一( 主要内容 (一).重要概念与性质 1. 定积分的定义: O a x1 x2 xi-1 ξ i xi xn-1 b x i i i b a n i i i n x x x x f dx x f , ) ( ) ( 1 1 0 lim 定积分含四步:分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义:是介于x 轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号， y x 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x 2. 定积分存在定理: 设: 若:f(x)满足下列条件之一: ; , ) ( . 1 点 上有有限个第一类间断 在 连续， b a x f b a x x f 上可积。 在 则: 上单调有界 在 b a x f b a x f , ) ( ; , ) ( . 3 若积分存在，则积分值与以下因素无关: 上任意选取。 可以在 的选取无关，即 与点 可以任意划分 上的划分无关，即 与在 即 与积分变量形式无关， i i i i b a b a x x b a b a dt t f dx x f , 1 3 ; , , 2 ; ) ( ) ( 1 有关。 与区间 积分值仅与被积函数 ] , [ ) ( b a x f 3. 牛顿——莱布尼兹公式: ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( a F b F x F dx x f b a x f x F b a b a 则: 上的任意一个原函数: 在 是连续函数 若 *牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值 的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4. 原函数存在定理: ) ( ) ) ( ( ) ( ] , [ ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( x f dt t f x b a x f x b a x dt t f x b a x x f x a x a 且: 上的一个原函数， 在 是 则: 连续， 若 5. 定积分的性质: 上可积，则: 在 设 ] , [ ) ( ), ( b a x g x f b a b a dx x f k dx x kf ) ( ) ( 1 a b b a dx x f dx x f ) ( ) ( 2 0 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 dx x f dx x g dx x f dx x g x f a a b a b a b a ) ( ) ( ) ( ) ( 5 b c a dx x f dx x f x f b c c a b a a b dx b a y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x dx x g dx x f b x a x g x f b a b a ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( 7 则 上的最小值和最大值。 在 分别为 其中 估值定理: b a x f M m a b M dx x f a b m b a , ) ( , ) ( ) ( ) ( 8 y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a ξ b x ) ( ) ( ) ( , , , , ) ( 9 a b f dx x f b a b a x x f b a 使 则:必存在一点 连续 若 积分中值定理: (二)定积分的计算: 1. 换元积分 ， 连续， 设 t t 连续， 若 , ) ( , ) ( , ) ( b a b a t t 变到 单调地从 时， 变到 从 且当 b a 则: 2. 分部积分 b a b a b a vdu v u udv 3. 广义积分 0 0 ) ( ) ( ) ( dx x f dx x f dx x f 4. 定积分的导数公式 ) ( ) ) ( 1 x f dt t f x a x ( ) ( x x f dt t f x x a ) ( [ 3 1 1 2 2 ) ( ) ( 2 1 x x f x x f dt t f x x x (三)定积分的应用 1. 平面图形的面积: 由 与x 轴所围成的图形的面积 y f(x) b a dx x f s ) ( ) ( ), ( ), ( 2 2 1 由 b x a x b a ) ( ) ( , 所围成的图形的面积 与 ) ( ), ( ), ( 3 2 1 由 d y c y d c ) ( ) ( , 所围成的图形的面积 与 : 求平面图形面积的步骤 . 4 ?. 求出曲线的交点，画出草图; ?. 确定积分变量，由交点确定积分上下限; ?. 应用公式写出积分式，并进行计算。 2. 旋转体的体积 与 曲线 及x 轴所围图形绕x 轴 旋转所得旋转体的体积: dx x f V b a x ) ( 2 0 a b x 与 由曲线 及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积: dy y V d c y ) ( 2 第四章 多元函数微积分初步 ?4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容: ?. 多元函数的概念 3. 二元函数的定义: ) ( f D 定义域: 4. 二元函数的几何意义: 二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线) ?. 二元函数的极限和连续: 1. 极限定义:设z=f(x,y)满足条件: 的某个领域内有定义。 在点 ) , ( 1 0 0 y x 可除外) (点 ) , ( 0 0 y x A y x f y y x x ) , ( lim 2 0 0 。 极限存在，且等于 在 则称 A y x y x f z ) , ( ) , ( 0 0 2. 连续定义:设z=f(x,y)满足条件: 的某个领域内有定义。 在点 ) , ( 1 0 0 y x ) , ( ) , ( lim 2 0 0 0 0 y x f y x f y y x x 处连续。 在 则称 ) , ( ) , ( 0 0 ?.偏导数: 点 在 定义 ) , ( ), , ( : 0 0 y x y x f x y x f y x x f y x f x x ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 y y x f y y x f y x f y y ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 的偏导数。 处对 在 分别为函数 y x y x y x f y x f y x f y x , ) , ( ) , ( ) , ( ), , ( 0 0 0 0 0 0 处的偏导数记为: 内任意点 在 x x z x z x y x f y x f ) , ( ) , ( y y z y z y y x f y x f ) , ( ) , ( ?.全微分: 1.定义:z=f(x,y)