线性代数在现实生活中的应用

线性代数在现实生活中的应用 线性代数在现实生活中的应用 1( 线性代数与彩票 2( 线性代数的矩阵图法 3( 线性代数在MATAL中的使用 4( 利用线性代数解决密码的编码与解码 5( 线性代数解决闭合经济问题 6( 利用线性代数解决世界人口预测问题 7( 商品市场占有率问题 8( 动物繁殖规律问题 9( 线性代数解决城乡流动人口问题 10( 线性代数求生产总值问题 概述: 近几十年来，随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域(包括力学，电子等学科以及土木，机电等工程技术)迅速扩展到非物理领域(人口，经济，金融，生物，医学等)，数学在发展高科技，提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显，这就我们如何将实际问题经过，简化，转化为一个数学问题，然后用一个适当的数学方法来解决。 线性代数是一个数学分支，是代数的一个重要学科，线性代数研究最多的就是矩阵，矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换，以形成新的数表。也就是说如果抽象出某种变化规律，就可以用代数的理论对研究的数表进行变换，并得到想要的一些结论。因此，矩阵的应用日趋广泛，我们小组今天将会想各位介绍一小部分线性代数在现实生活中的应用，我们将通过一些典型案例来进行分析，使大家对线性代数有更深刻的了解。 1( 线性代数与彩票 旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。 旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计:覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。 在旋转矩阵最古老的命题就是寇克曼女生问题: 某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步:散步时三女生为一组，共五组。问能否在一周内每日安排一次散步，使得每两名女生在一周内一道散步恰好一次,寇克曼于1847年提出了该问题，过了100多年后，对于一般形式的寇克曼问题的存在性才彻底解决。用1~15这15个数字分别代表15个女生，其中的一组符合要求的分组方法是: 星期日:(1，2，3)，(4，8，12)，(5，10，15)，(6，11，13)，(7，9，14) 星期一:(1，4，5)，(2，8，10)，(3，13，14)，(6，9，15)，(7，11，12) 星期二:(1，6，7)，(2，9，11)，(3，12，15)，(4，10，14)，(5，8，13) 星期三:(1，8，9)，(2，12，14)，(3，5，6)，(4，11，15)，(7，10，13) 星期四:(1，10，11)，(2，13，15)，(3，4，7)，(5，9，12)，(6，8，14) 星期五:(1，12，13)，(2，4，6)，(3，9，10)，(5，11，14)，(7，8，15) 星期六:(1，14，15)，(2，5，7)，(3，8，11)，(4，9，13)，(6，10，12) 旋转矩阵与彩票 实际上，所有的旋转矩阵是组合数学家们经过多年的精心研究得出来的，不是某一个人能做得到的。你也许有过无数次这样的经历:你几乎买对了所有的号码，但不幸的是它们都不在同一注里，于是你连末奖与没中。如何避免这令人沮丧的情况呢,最保险的方法当然是复式投注。可这样做，数字多时你就无法承担巨大的费用。例如15个号码的复式投注需要花费12870元;而使用旋转矩阵组号，你只需花费50元就可以向你保证:如果15个号码中包含7个中奖号码，你至少可以中对5个号码的奖。也就是说，利用旋转矩阵，你可以用更少的钱操作更多的号码，扩大了中奖面。仍以选13个数字为例，其所有组合为1716种，但经旋转矩阵处理后，可缩减为72注(见体彩周刊总第92期《44元锁定13个号》一文)，仅为原来的1/28。这也是为什么旋转矩阵在彩民中如此受欢迎的主要原因。 2( 线性代数与矩阵图法 矩阵图法(Matrix Diagram) 矩阵图法是利用数学上矩阵的形式表示因素间的相互关系，从中探索问题所在并得出解决问题的设想。它是进行多元思考，分析问题的方法。 矩阵图法就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。 在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素，将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。 矩阵图的形式如左图所示，A为 某一个因素群，a1、a2、a3、a4、… 是属于A这个因素群的具体因素，将 它们排列成行;B为另一个因素群，b 1、 b2、b3、b4、…为属于B这个因 素群的具体因素，将它们排列成列; 行和列的交点表示A和B各因素之间 的关系，按照交点上行和列因素是否 相关联及其关联程度的大小，可以探 索问题的所在和问题的形态，也可以 从中得到解决问题的启示等。 质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。 矩阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不会遗漏，显示对应元素的关系也很清楚。矩阵图法还具有以下几个特点: ?可用于分析成对的影响因素; ?因素之间的关系清晰明了，便于确定重点; ?便于与系统图结合使用。 矩阵图法的用途 矩阵图法的用途十分广泛，在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题: ?把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点; ?明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠; ?明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率; ?当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除; ?在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。 矩阵图的类型 矩阵图法在应用上的一个重要特征，就是把应该分析的对象表示在适当的矩阵图上。因此，可以把若干种矩阵图进行分类，表示出他们的形状，按对象选择并灵活运用适当的矩阵图形。常见的矩阵图有以下几种: (1)L型矩阵图。是把一对现象用以矩阵的行和列排列的二元表的形式来表达的一种矩阵图，它适用于若干目的与手段的对应关系，或若干结果和原因之间的关系。 (2)T型矩阵图。是A、B两因素的L型矩阵和A、C两因素的L型矩阵图的组合矩阵图，这种矩阵图可以用于分析质量问题中"不良现象一原因一工序"之间的关系，也可以用于分析探索材料新用途的"材料成分一特性一用途"之间的关系等。 (3)Y型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与A因素三个L型矩阵图组合在一起而形成的矩阵图。 (4)X型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与D因素、D因素与A因素四个L型矩阵图组合而形成的矩阵图，这种矩阵图表示A和 B、D，B和A、C，C和B、D，D和A、C这四对因素间的相互关系，如"管理机能一管理项目一输入信息一输出信息"就属于这种类型。 (5)C型矩阵图。是以A、B、C三因素为边做出的六面体，其特征是以A、B、C三因素所确定的三维空间上的点为"着眼点"。 3( 线性代数与MATAL MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中 在数值计算方面首屈一指。MATLAB 可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、 实现算法、创建用户界面、连接其他 编程语言的程序等，主要应用于工程 计算、控制设计、信号处理与通讯、 图像处理、信号检测、金融建模设计 与分析等领域。MATLAB的基本数据 单位是矩阵，它的指令表达式与数学、 工程中常用的形式十分相似，故用M ATLAB来解算问题要比用C，FORT RAN等语言完成相同的事情简捷得 多。 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作: ? 数值分析 ? 数值和符号计算 ? 工程与科学绘图 ? 控制系统的设计与仿真 ? 数字图像处理 技术 ? 数字信号处理 技术 ? 通讯系统设计与仿真 ? 财务与金融工程 4( 线性代数解决密码的编码与解码(举例) 5( 线性代数解决闭合经济问题(举例) 6( 世界人口预测问题(举例) 7( 商品市场占有率问题(举例) 8( 动物繁殖规律(举例) 9( 城乡流动人口问题(举例) 10( 生产总值问题(举例)