n维向量

n维向量 n维向量空间 ?3.1 n维向量的定义 1. 定义 a,a,？,a,,(a,a,？,a)12n12nn 定义:个数构成的有序数组, 记作, n 称为维行向量( aii, –– 称为向量的第个分量 a,Ri, –– 称为实向量 a,Ci, –– 称为复向量 ,,(0,0,？,0) 零向量: (,,),(,a,,a,？,,a)12n负向量: a，，1,,a2,,,,,,？ ,,aa,a,？,an，，12nn列向量:个数构成的有序数组, 记作, T,,(a,a,？,a)nn12 或者, 称为维列向量( ,a，，0，，1,,,,,a02,,,,(,),,,,,,？,,？,,,,,a0n，，，，零向量: 负向量: 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组( n维向量 n个数a,a,…,a组成的一个有序数组(a,a,…,a) 称为一个n维向量,记为12n12n a,,1,,a2T,,,,,,()(,,,)列向量形式或(行向量形式)aaa？，其中第i个数a称为向量的第i个分量。 in12,,...,,an,, 说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算; 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量;当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列 1 向量。行向量可看作是列向量的转置。 T零向量 0=(0,0,…,0)(维数不同, 零向量不同) T负向量 。 ,,,,,,(,,,)aaa？12n TT向量相等 设，若则。 abin,,,1,2,,？,,,,(,,,)(,,,)aaabbb？？，,,,ii1212nn 向量运算规律: ? ,,,,，,， ? ()(),,,,,,，，,，， ,,，,0(0是零向量，不是数零)? ? ,,，,,()0 1,,,? ? ,,,,,,,,,()()(),, ? ,,,,,,,()，,， ? (),,,,,,,，,， 满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 1( 内积的概念 ab,,,,11,,,,ab,,,,22,,,,,,,,,？？,,,,,,,,ab(,,,),ab，ab，？，abnn,,,,1122nn定义1:n维实向量，称 b,,1,,b,,2T，，,,,,,,aa？a,12n,,？,,,,b,n,,, 为和的内积。 T,,,(,,,),,, 若为行向量，则。 向量空间的性质: (,,,),(,,,)(1) (,，,,,),(,,,)，(,,,)(2) 2 (k,,,),k(,,,)(3) (,,,),0,,0(4) 等号成立当且仅当 222,,(,,,),a，a，？，an12定义2 实数为向量的长度(或模，或范数)。 ,,1, 若，称为单位向量。 ,,112,(,),(,,,),,,122,,,,0,,,,,0,把向量单位化:若则，考虑，即的模为1，为单位 ,向量，称为把单位化。 a，，1,,a2,,,,,,？ ,,a222,,(a,a,？,a)n，，12n+ a+…定理:=a.+ a>=0 21n ?3.2 n维向量的线性运算 1(定义 ,,(a,a,？,a),,(b,b,？,b)12n12n线性运算:, a,b(i,1,2,？,n),,,ii 相等:若, 称( Δ (a，b,a，b,？,a，b),，,,1122nn 加法: Δ k,,(ka,ka,？,ka)12n 数乘: Δ (a,b,a,b,？,a,b),,,,,，(,,),1122nn 减法: 2(线性运算律: ,,(a,a,？,a),,(b,b,？,b),,(c,c,？,c)12n12n12n, , ,，,,,，,1,,, (1) (5) (,，,)，,,,，(,，,)k(l,),(kl), (2) (6) ,，,,,k(,，,),k,，k, (3) (7) ,，(,,),,(k，l),,k,，l, (4) (8) 线性组合与线性示 3 ,,？,,k,？,k1m1mn,对维向量及, 若有数组使得 ,,k,，？，k,11mm , ,,？,,1m,称可以由向量组的线性表出, ,,？,,1m kkk,,,，，，？1122mm是向量组的一个线性组合k,？,k1m为组合(表出)系数 线性组合 给定向量组和向量b，如果存在一组数使A:,,,,,,？,,,，，？,12m12m ，则向量b是向量组A的线性组合，这时称b向量能由向量组A线性表示。 b,，，,,,,,,？1122mm 定义 给定向量组，对于任一组实数，向量称为A:,,,,,,？kkk，，？,kkk,,,，，，？12m1122mm12m 向量组的一个线性组合。称为这个线性组合的系数。 kkk，，？, 12m 2(向量组的线性相关性与无关性: ,,？,,k,？,k1m1mn维向量组, 若有数组不全为0, 使得 对 k,，？，k,,011mm ,,？,,1m 称向量组线性相关, 否则称为线性无关( ,,？,,k,？,k1m1mn线性无关:对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 k,，？，k,,011mm ,,？,,1m 称向量组线性无关, 否则称为线性相关( 向量组的线性相关 给定向量组A:,,,,,,？kkk,,,？，如果存在不全为零的数使12m12m kkk,,,，，，,？0，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关;若当且仅当1122mm kkk,,,,？0时上式成立，则称向量组A线性无关。 12m 注意 1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。 2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线;三个向量线 性相关意味着三向量共面。 3.,0 ,0,向量组只有一个向量时若则说线性相关若则说线性无关。,,,,,,, 4 nA定理 阶方阵， ,A,0,r(A),n,AnA 的个行(列)向量组线性无关 即为可逆矩阵(也称为满秩矩阵) ,A,0.r(A),n,An的个行(列)向量组线性相关 |A|=0 线性相关 |A|不等于0 线性无关 向量组的秩与极大线性无关组 T:,,,,？,,112r 设向量组按列分块构造成矩阵，对T1进行初等行变换化成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中主元的个数即为向量组的秩，与主元所在列的列标相对应的向量即为向量组的一个最大线性无关组。 例1 对矩阵 000111,,,,011111,, ,,A,0,1,1001,, 0,2,2001,, ,,011222,, 作行初等变换，使成为行阶梯矩阵。 例2 求上三角形矩阵的秩 aaaaa,,1112131415,,0aaaa,,22232425 ,,A,a,0,i,1,2,300aaaij333435,, 00000,, ,,00000,, 。 结论:行阶梯形矩阵的秩,非零行的行数 求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 ?, 向量组的正交性 在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中( 定义3 设有维向量，，令 =，则称为向量和的内积( 5 [注]:内积是向量的一种运算～若用矩阵形式表示～当和是行向量时～,～当 和都是列向量时～,( 内积具有下列性质(其中为维向量，为常数): (1)=; (2)=; (3)=+; (4)，当且仅当=0时等号成立( 定义4 令 ||= 称||为维向量的模(或长度)( 向量的模具有如下性质: (1)当?0时，||,0;当=0时，||=0; (2)||=|| ||，(为实数); 3)||?||||; ( (4)|?||+||; 特别地，当||=1时，称为单位向量. 如果||?0，由性质(2)，向量是一个单位向量(可见，用向量的模去除向量，可得到一个 与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或化( 如果、都为非零向量，由性质(3) ?1， 于是有下述定义: 定义5 当|| ?0，||?0时 称为维向量、的夹角( 特别地:当=0时，，因此有 6 定义 当=0时，称向量与正交((显然，若=0，则与任何向量都正交)( 向量的正交性可推广到多个向量的情形. 定义6 已知个非零向量，若=0 ，则称为正 交向量组( 定义7 若向量组为正交向量组，且||=1，则称 为标准正交 向量组( 例如，维单位向量组=，， 是正交向量组( 正交向量组有下述重要性质: 定理5 正交向量组是线性无关的向量组( 定理的逆命一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组( 定理6 设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中， ， ， …… . 再取 则为标准正交向量组( 上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程(它不仅满足与等价，还满足:对任何，向量组 与等价( 例5 把向量组=(1，1，0，0)，=(1，0，1，0)，=(-1，0，0，1)化为标准正交向量组( 解 容易验证，，是线性无关的. 将，，正交化，令 7 =， =， 再把单位化 ， 则即为所求的标准正交向量组( 定理7 若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使 ，成为正交向量组( 推论 含有个()向量的维正交(或标准正交)向量组，总可以添加个维 非零向量，构成含有个向量的维正交向量组( 例6 已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组. 解 应满足方程=0，即 . 它的基础解系为 8 把基础解系正交化，即为所求(亦即取 其中于是得 定义8 如果阶矩阵满足(即)，那么称为正交矩阵( 正交矩阵具有如下性质: (1)矩阵为正交矩阵的充分必要条件是; (2)正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵; (3)两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵; (4)正交矩阵是满秩的，且|=1或( 由等式 可知，正交矩阵的元素满足关系式 (其中) 可见正交矩阵任意不同两行(列)对应元素乘积之和为0，同一行(列)元素的平方和为1，因此正交矩阵的行(列)所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然(于是有 定理8 一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行(或列)向量组是一个标准正交向量组( 9