抛物线形旋转楼梯的内力分析与计算

抛物线形旋转楼梯的内力与计算 抛 物 形抛物线形旋转楼梯的内力分析与计算旋转 AnalysisandCalculationofInternalForcesforParabolaSpiralStairs楼 梯 的 万雷亮丁成辉内 WanLeiliangDingChenghui力 分(南昌大学建筑 l程学院,南吕330029)析 与 摘要:曲线形旋转楼梯已被广泛应用,本文对于抛物线形旋转楼梯提出了一种内力计算,在进行必要的计算简计 化和假定后,在内力计算时,把固定坐标转化成动点坐标,推导内力计算公式,并应用高斯积分法编程计算,利用此方法算 能够简便的计算出各项内力值,便于设计. 关键字:抛物线形旋转楼梯;内力计算;空间梁 中图分类号:TU Abstract:Curvespiralstairshavewidelyused.Thispaperdevelopedacalculationmethodfori nternalforces.After somecalculationsmD]1f1cat1Onsandhypothesesarepresentedandfixedcoordinatetransf ormmovingcoordinatecalcu— lationformulasofinternalforcesforparabolaspira]stairsarederived.Itisconvenienttoobtain theinterna]forces ofsta1rs. Keywords:parabolaspiralstairs;calculationforinternalforce;spacebeam 0前言动点坐标:以空间曲梁上任意一点D为坐标原点, 曲线形旋转楼梯外形美观,既满足了功能要求,又丰富轴与曲线D点的切线重合并指向曲线增长方向,v轴与D点 r建筑造型.但曲线形旋转楼梯的内力变化复杂,每个截面法线重合指向曲线内侧,8轴过D点垂直轴和轴的平面指向 的不同内力都有不同的变化规律,精确计算非常困难?另上(如图一). 外,现有的曲线形楼梯的内力计算大多是针对水平投影为纯 网形,对于其他形状的楼梯,比如抛物线形的楼梯,还没有\,- 相应的计算方法本文将采取理论推导,模型处理与计 算机编程相结合的方法给出抛物线形楼梯的一种简便的计算,] 力y崤,, 1计算假定//, .,『'*帖,I.lM?l1=1,?,I1r'*^—+u,,==; 问曲梁的计算轴线:虽然用板式有限元计算精度很高,但计/ 算相当复杂,实践表明,空间梁法能符合实际设计的安全要网一 求,并且该法的受力概念比较清晰. 2)将楼梯支座看作同定端,且在相邻的两支座问的楼空间曲梁在固定坐标系下的参数方程为: 梯梯段 3牟略轴力和剪力对蛮形的影:[以(二)z+6(二)])内力汁算过程中,忽略轴力和剪力对变形的影一L"2以,.2以,J' 2标系的选择及内力的表示++二二-_二'+t-木tanq(k)(1) 固定坐标:以空间曲梁的起点为坐标系的原点0,X轴" 和Y轴位于空间曲梁水平投影的抛物线平面内.x轴通过0a,b分别为水平投影抛物线方程X=aY+bY的二次项系 点与投影的抛物线相切并指向曲梁延伸的方向,Y轴与0点数,一次项系数;0为水平投影抛物线任意点的切线与轴 法线重合,并指向抛物线内.z轴竖直向上(如网一).所成的夹角,为空间曲梁的坡度 角,因为假定了楼梯梯 73 , 段有相同的坡度,所以为定值 任意一点D到原点的晡线长度: s为水平投影抛物线则有 S=dy 坐标转换:巾固定坐标转化成动点坐标,首先将原坐标 系绕z轴逆时针旋转0的坐标变换T,再做绕Y轴逆时针 旋转的坐标变换T,变换矩阵为: lcosOsin00I II =sin0cosO0l(2) l00ll 所以将定坐标系的分量进行变换,再进行 变换,即: ()一= 『c0s(pc0s Isin0l lsin(pCOS O O — c0s(Dsin0 cosO — sin(Dsin0 一 sin(p1 0l(4) COS(pI 即得动点坐标下的分量? 3内力分析与计算 将抛物线形旋转楼梯简化为空间曲梁的计算模型,则 汁算模型为空间六次超静定结构,利用力法原理是方便求解 的,从0点解除约束,建立关于0点六个多余未知力的力法 方程,如果利用对称性等,则多余未知力的个数也减少很 多: 3.1汁算各单位里及简载作用下各截面产生的内力 列方程中需计算切口0点处单位力和空间曲粱衙载 作用下各截面的力,这里仅就切口处x轴方向单位轴力 Xl=l,单位弯矩2和荷载q作用下在动点D产生的内力 进行推导计算切Ll处其他单位力的作用可类推: f11单位轴力作用下动点D处的内力 先求单位轴力作用下在动点D处的在周定坐标系下的 内力:丽:一 : _[()+6()] 一 J一-s*tanqo/~(5) 74 . = .,..= 00ol(6) Mo= . M.M.:=一DO× . = [0-s*tanqocot2O-b]? 再利用(3)式求得D处内力在动点坐标系下的分量: lD=... = [cos~ocosOsin0sinqocosO~(8) MlD:.M.M.. sinqosin0一二垒sin(D 2a — S水tanqocosO sinqotanqosinO+c唧 (9) f2)单位弯矩作用下动点D处的内力 同样,先求出周定坐标系下在动点D处的内力,弯矩作 用下,D点处的力向量为0,力矩向量为: M:MM:=[10O]r(1O) 同样,利用(31转化成动点坐标系下的分量: M=Mp …1 = [cos~ocosOsinOsinqocosO]r— f3)OD段上竖向均布荷载作用下动点的内力 抛物线形旋转楼梯的外侧弧长比内侧大,在把均布荷 载转化成等效集中线荷载时,作用线偏出楼梯的中轴线外 移,其外移的法向距离为: T1 (1+cot0)+, 3(1+cot0) , 一 (12) 其中为楼梯的横截面宽度. 荷载作用下任意一点D点处在同定坐标系下的力分量及力 矩分量分别为: == [00,.cq]r(13) ??-??- O ??- . C一 = M=卅M w M叫 一 ro,cot0D—cot0….加 2以..,,,,,物 rorcot0D—cot0b(cot0D-cot0)1. ?加(14缨 "4以a形 旋O 转 栏 榜 0,为动点I ' ~ .切线x轴的夹角,.n为坐标原点盼切线==(rf 2 )一' X轴的夹,lJq..--,1rq,0=arctanb: 同样,应用同定坐标系中的内力分量=[-sqsin(p0sqcosq}]r(15)变换到动点坐标系中 的内力分最 :枥 =IwMp=(rf:)o与计 cot0,)一cot0,,,—————, 算 ,;t'凸 cos(pcosor2a..'…….…. .?.O 4 -- 以 c0c0D 以 - cot0)inO] g(cotOD . -- c.o — T1c.s0)4—1+co—t20dO ——sin0厂I,Jza(16)—— " +c.s.eg[c..c..6c..一c..?T1sin.],,_= g(cot0D一c.o— T1c.s0)4—1+co—t20dO—sinq)sino sin(Dcos0广. .fo.rcot0D—cot0b(cotOD—cot0).:凸1. _—::加JeL 4a以I……'…一 . 2基本结构的单位力位乖;系数8.荷载项 6=e.+Al)计算 ;为零,有+r一f181据假定,忽略轴力及剪了对位侈系女的影[】处F待求的未矢? 力x及茼载r作用下的卡目对位j; 变形I】'凋方程:dOoEdp 6l1612…6l6?1 62l622…626?2=e叭e 66l662…666X6?3+r 中:6.为切口O点当Xi=1时!X作月 羹生的Z移(i,i=l…2..6);A为在切[]0处由?卜E用产生的位移(i_1,2….()::中8.. 和A.. 式子j之得: , 截面上所受之力町从下式求得 6 M.=?MD+M = ?.+ (20) (21) 根据不同截求得的内力,就可以做出合理的配筋 4结论 从以上对抛物线形旋转楼梯的内力分析,计算公式的 推导可以看: 1)本文给出的抛物线形旋转楼梯的计算假定是合理的, 计算方法是简便可行的,能够符合实际T程设计的要求, 而且汁箅并不复杂,应用高斯积分法编程计算,很容易得 结果. 2)本文足在两端【占1定的支座形式下,做出的公式计算 推导,如果实际1程需要其它形式的支座形式的抛物线形 旋转楼梯,同样n『以按照本文给出的方法进行其内力分析 和公式推导 76 参考文献 f11齐志成异形楼梯内力分析及结构设计北京:中 国建筑T业出版社1992. f21陈富生异形楼梯内力计算北京:中同建筑T业出 版社1986. f31时旭东,丁大益椭圆形旋转楼梯内力分析及计算清 华大学(自然科学版)2003,43(6):844—848. f41龙驭球,包世华结构力学北京:高等教育出版社 l994: f51翟瑞彩,谢伟松数值分析天津:天津大学出版社 2000 f61王毅红钢筋混凝土螺旋形板壳计算方法的误差分析 T业建筑199929(5)36—39. 作者简介 万雷亮,男,硕士研究生,南昌大学建筑T程学院;丁 成辉,男,南昌大学建筑T程学院副教授