【精品】有关椭圆焦点弦的高考题的探究

【精品】有关椭圆焦点弦的高考题的探究 有关椭圆焦点弦的高考题的探究 上海市育才中学 龚新平 201801 (发表在《中学生数学》杂志2007-9上) 刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。 F(30)，问题:中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为:。 Ox,12l (1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三点，，，使，???PFPPFPPFP,,PPP123122331 111，，证明:为定值，并求此定值。 y lFPFPFP123 P1 P Q2122xy xF OA ，,1解:(I)易得所求椭圆方程为; 3627 P3 A(2)记椭圆的右顶点为，并设(1，2，3)， ，,AFP,i,ii 2,2,4,不失一般性，假设，且，。 ,,,,,0?,,，,，12131333 c1又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有lPQe,,iia2 2,,1a,,(123)i,，，FP,PQ,e,,c,FPcos,,e。 ,,FP,(9cos)iiiiiii,,c2,, 33121121,,,,(123)i,，，1cos,？,，变形得: 。， ,,,,，1cosi,,i,,92FP,,FP92i,,i,1i,1i 3，，1212,4,,,3coscos()cos()？,，，，，，，而 ,,,,,,,111,9233FP,,，，ii,1 24222,,,,,cos，cos(，)，cos(，),2cos(，)cos，cos(，),0， ,,,,,1111133333 1112，，,故为定值( FPFPFP3123 探究一: 对于一般的椭圆方程，是否也有类似的定值呢,由上述证明，不难得到: 22yx(1)焦点为F的椭圆上三点，，，且，，,1???PFPPFPPFP,,PPP12312233122ab 1113a，，则有=。 2bFPFPFP123 证明:这里也可以采用极坐标的方法来证明。(由椭圆的对称性知:不妨设点F为左焦点) 1,ecos,ep1i,由圆锥曲线的极坐标方程，得。 ,,(i,1,2,3)1,ecos,ep,i 224,,,不失一般性，设，且，，则有: 0,,,，,，,,,,,12131333 24,,1ecos()1ecos(),，,，,,111ecos,111,331，，,，，epepep,,,123 24,,3e(coscos()cos()),，，，，,,,11111133 ，，,ep,,,123 1113a111333a3a，，，即:=。 ？，，,,,,22222,,,epbFPFPFPcaa,cb123123(,c)ac 22yxP,P,P(2)焦点为F的双曲线同支上三点，且，,,1???PFPPFPPFP,,12312233122ab 3aFP,FP,FP则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值，证明同(1)) ,1232b 2P,P,P(3)焦点为F的抛物线上三点，且，则有???PFPPFPPFP,,y,2px1231223311113，，=。(证明同(1)) pFPFPFP123 n探究二:前面的问题均限于三点，能否推广到个点呢,由上面的证明，我们不难得到: 22yx(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同的点，,1n22ab P,P,？P，PFP,，PFP,？,，PFP，且满足，则有12n1223n1111na=。 ，，？，2FPFPFPb12n 1,ecos,ep1i,,证明:由圆锥曲线极坐标方程，得。 ,(i,1,2,？n)1,ecos,ep,i n2(,1),2,2,,,,，,？不失一般性，设0，且，,，，则有: ,,,,,121n1nnn n2(1),,2,ee1cos()1cos(),，,，,,11e1cos,111,nn1，，？，,，，？，epepep,,,n12 n2(1),,2,ne(coscos()cos()),，，，？，，,,,111111nn ，，？，,ep,,,n12 2(n,1),2,cos，cos(，)，？，cos(，),0由复数次单位根的知识，易得: ,,,n111nn111nnnana？，，？，,,,,。 2222ep,,,caacb,n12(c),ac 特别的，当及时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 n,2n,4 22yxP,P,？P(2)焦点为F的双曲线同支上有个不同点，且满足,,1n12n22ab 3a，PFP,，PFP,？,，PFP，则有倒数的代数和为定值。(允许FP,FP,？FP1223n112n2b极径为负值，证明同(1)) , 2P,P,？P(3)焦点为F的抛物线上顺次有个不同点，且满足y,2pxn12n 111n，PFP,，PFP,？,，PFP，则有=。 ，，？，1223n1pFPFPFP12n 特别的，当及时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。 n,2n,4 探究三:如果研究对象不是焦点弦，而是中心距，是否也有类似的结论呢, OP(i,1,2,？n)i 22yxP,P,？P，PFP,，PFP中心为O的椭圆上依次有个不同点，且满足 ，,1n12n122322ab 22n(a，b)111,？,，PFP，，？，，则有=。 n1222222abOPOPOP12n 2,P(rcos,,rsin,),i,1,2,？n,,证明:设，不失一般性，设0，且,iiiii1n 2222(rcos)(rsin),,n2(,1),y2,xiiii,，,？，,，，代入方程，得，，,1，,1,,,,21n12222nnabab nnn2222,,cos,sin,1，cos2,1,cos2,cossin11iiiiii()()，,,，,，，所以 ,,,22222222ababab22rr,,,111iiiii nn2222,,1cos21cos2，,n(a，b)n(a，b)11ii,,(，),，(,)cos2,。从而有: i,,222222222a2b2ab2a2b2ab,,10ii 22n(a，b)111，，？，=。 222222abOPOPOP12n 探究四:如果我们将椭圆的长轴分成等份，结果会怎样呢, 于是有: n 22yxAB将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴，,1xn22ab P,P,？PF的垂线交椭圆的上半部分于共个点，是n,112n,1 椭圆的一个焦点，则。 FP，FP，？，FP,(n,1)a12n,1 n,1n,1ccP(x,y),i,1,2,？nFP，FP，？，FP,(a，x),(n,1)a，x证明:设，， iii12n,1ii,,aai,1i,1 n,1 x,0由椭圆的对称性可知:，所以。 FP，FP，？，FP,(n,1)ai12n,1,i,1 特别地，当时，即是2006年四川省高考题: n,8 22xy，,1将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于AB8x2516 P,P,？P七个点，是椭圆的一个焦点，则 35 。 FFP，FP，？，FP,127127 FP，FP，？FP,0探究五:若变换成条件,是否有类似结论呢,我们继续如下探究: 12n 22yxP,P,？P(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同点，若满足，,1n12n22ab 2nbFP，FP，？FP,0，则有=。 FP，FP，？，FP12n12na n P(x,y),i,1,2,？nFP，FP，？FP,0(x,c),0，由得，得: 证明:设iiii12n,i,1nnn22,,cccnb,,x,nc，从而:。 FPFPFPaxnaxna，，？，,(,),,,(,),i12nii,,,,,aaaai,1,,i1i1,,同理，双曲线也有与(1)几乎完全一样的结论～ 2P,P,？P(2)焦点为F的抛物线上依次有个不同点，若满足y,2pxn12nFP，FP，？FP,0，则有=。 npFP，FP，？，FP12n12n npP(x,y),i,1,2,？nFP，FP，？FP,0(,),0x证明:设，由得，得: iiii12n,2i,1nnnnppnpx,FP，FP，，FP,x，,，x,np？()，从而:。 i12nii,,,222i,1,1,1ii 2F特别地，当时，即为2007年全国高考题:设为抛物线的焦点，ABC，，yx,4n,3 为该抛物线上三点，若，则 6 。 FAFBFC，，,FAFBFC，，,0 参考文献: 2007年重庆市高考试卷(理科)