[最新]三角函数的单调区间
三角函数的图像及性质
1(正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
yy=sinx
,37,,-5,-12222ox-7,,5,34-3,,-2,,-3,,-2-4,,,-12222
yy=cosx
,37,,-5,1--3-3,,,,2222ox4,-2,-7,,2,5,-3,-4,-12222
yy
y=cotxy=tanx
,,3,3-,x,,,3,xo,2o,,-,---2222222
2(三角函数的单调区间:
,,,,的递增区间是,递减区间是y,sinx(k,Z)2,2,k,k,,,,22,,
3,,,,; (k,Z)2,2,k,k,,,,22,,
y,cosx的递增区间是,递减区间是,,,,,2k,,,,2k,2k,,2k,,,(k,Z)(k,Z)
,,,,y,tanx的递增区间是, (k,Z)k,,k,,,,,22,,
(其中A,0,,,0)3(函数 y,Asin(,x,,),B
,,2f,A,BB,AT,,x,,最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,,2,
,x,,k,(k,Z),初相是;其图象的对称轴是直线,,,,凡是该图象与直线y,B的2
交点都是该图象的对称中心。
4(对称轴与对称中心:
,xk,,,yx,sin(,0) kkZ,,的对称轴为,对称中心为; 2
,xk,,的对称轴为,对称中心为; yx,cos(,0)k,,2
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值yAx,,sin(),,yAx,,cos(),,
点联系。
类型一:三角函数的定义域、单调性及值域 例题1.求下列函数的定义域:
(5) yx,,3tan
例题2.求下列函数的单调增区间 (1);(2);(3);(4)yx,logsinyx,logtanyx,,sin(21)yx,,sin(2)11
22
,,,例题3.(2010重庆文)下列函数中,周期为,且在上为减函数的是[,]42
,,(A) (B)yx,,sin(2)yx,,cos(2)22
,,(C) (D)yx,,sin()yx,,cos()22
,,,,0fxx()sin(),,(,)例题4.(12全国理) 已知,函数在上单调递减。则的,,,24取值范围是( )
15131(0,][,][,] ()A()B()C()D(0,2]22424
sin1sin2sin3sin4、、、tan1tan2tan3tan4、、、例题5(比较下列各组数的大小:(1);(2)
3,,tan(sin)tancos,,,例题6.(2009福州三中)已知tan ,且 则sin 的值为,,4
( )
4333A( B( C( D(,,,5555
例题7.求下列函数的值域:求下列函数的值域:
2sin,x2 (3)cos2sin2;(4)yxxy,,,,2sin,x
,,2(5) y,cos(x,)(x,[,,])
863
,,2(6)在x,[,]时的值域(其中为常数)afxxax()tan2tan5,,,42
例题8.(11上海文) 函数的最大值为 。yxx,,2sincos
,,ab22辅助角公式:,,asinx,bcosx,a,bsinx,cosx,,2222a,ba,b,,
2222 (其中,辅助角所在象限,,a,b(sinx,cos,,cosx,sin,),a,b,sin(x,,)
btan,,由点所在的象限决定, ). (,)aba
,fxx()2sin(2),,例题9. 已知函数 4
(1)求函数的定义域;(2)求函数的值域;(3)求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的x值集合; (5)求函数的单调区间;
3,x,[0,](6)若,求的取值范围 fx()4
函数练习1.的定义域是( ) yx,,2cos1
,,,,,,,,A( B( 2,2()kkkZ,,,2,2()kkkZ,,,,,,,,,,,3366,,,,
,,222,,,,,, C( D(,,,,,,2,2()kkkZ2,2()kkkZ,,,,,,,,3333,,,,
y,cosxy,sinx练习2((祥云一中三次月考理)使函数递减且函数递增的区间是
33,k,Z A(2,2() B(()(),,2,k,k,,,,22
,,k,Zk,Z C(()() D(()()2k,,,2k,,,2k,,,2k,22
sinx练习3((2002京皖春文)函数y=2的单调增区间是( )
,,,,3A(,2kπ,,2kπ,,(k?Z) B(,2kπ,,2kπ,,(k?Z)
2222
C(,2kπ,π,2kπ,(k?Z) D(,2kπ,2kπ,π,(k?Z)
练习4((2009重庆卷文)下列关系式中正确的是( )
000000A(sin11cos10sin168,, B(sin168sin11cos10,,
000000sin11sin168cos10,,sin168cos10sin11,,C( D(
2(x+1)+sinx练习5.(12全国文) 设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=____2x+1
类型二:三角函数的奇偶、对称、周期性
,例题1((2001上海春)关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
,,?对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;?不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
,,?存在,使f(x)是奇函数;?对任意的,f(x)都不是偶函数。
,其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。
,fxx()sin(2),,例题2.(2009青岛一模)设函数,则下列结论正确的是3
,,,(,0)x A(fx()的图像关于直线对称 B(fx()的图像关于点对称34
, C(把的图像向左平移个单位,得到一个偶函数的图像 D(的最小正周期fx()fx()12
,为,且在上为增函数 [0,],6
例题3.(2009江西卷文)函数的最小正周期为fxxx()(13tan)cos,,
3,,2,A( B( C( D( ,22
,例题4. (2012福建文) 函数f(x),sin(x,)的图像的一条对称轴是( )4
,,,,x,x,A(x,,x,, B( C( D(4242
,f(x)=3sin(x-)(>0)例题5.(2010福建理)已知函数和的图象,,g(x)=2cos(2x+)+1,6
,x[0,],的对称轴完全相同。若,则的取值范围是 。 f(x)2
,,ywx,,tan()例题6.若函数的图像与直线y=a的两个相邻焦点之间的距离为,则正44
数w为 。
,f(x),sin(x,)(x,R)练习1.(2009四川卷文)已知函数,下面结论错误的是2
, A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间,0,,上是增函数,f(x)f(x)2
C.函数的图象关于直线,0对称 D. 函数是奇函数xf(x)f(x)
,2fxx()sin(2),,练习2.(2010浙江文)函数的最小正周期是 。4
前期知识巩固训练:
log[log(log)]0x,1(已知,则x = 732
2(函数的定义域是 yx,,log32(21)x,
23(,则的取值范围是 a,log1a3
log3log50.20.24(比较大小 , , log7log6log,log0.8673235
25(求函数的单调区间 yxx,,,2log(32)1
3
26(若函数在上是增函数,的取值范围ayxaxa,,,,log()(,13),,,2
27(已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是 fxxax,,,,212,,,,,4a,,,,
28(,,4,5在区间,1,上有最大值10,则的范围是 xyxmm[]
29(对于任意实数,函数恒为正值,求的取值范围xafxaxxa()(5)65,,,,,