【doc】凑微分法求不定积分的解题技巧

【doc】凑微分法求不定积分的解技巧 凑微分法求不定积分的解题技巧 2004年l2月 第l6卷第6期 石家庄职业技术学院 JournalofShijiazhuangVocationalTechnologyInstitute Dec.2004 VO1.16NO.6 文章编号:1009.4873(2004)06.0040-02 凑微分法求不定积分的解题技巧 许彦,石守 (石家庄职业技术学院基础部,河北石家庄050081) 摘要:分2种情况了凑微分法求不定积分的方法,认为求解时宜用"换",而非" 凑" 关键词:凑微分法;积分;技巧 中图分类号:G642文献标识码:A 定理如果J.厂(z)dz=F(z)+c,可得 厂(")d"=F(")"t-C,U=(z)是z的可微函数, 则J.,[(z)](z)dz换a= fiT(圳)=.『m(圳z)= 厂(")d"=F(")+c=F[(z)]+c. 1当被积函数是一个复合函数时,与基本积分公 式对比.公式中的自变量z变成了ax-'t-b形式,设 az+6为中间变量,换dz=老辱窘. 例1求-『(2z+dz :基本积分公式被积达式中没有该形式, 但类似地有fzadz的公式,公式中的z变成了这里 的2x4-1,故设2x4-1为中间变量. 解设:2z+1,dz:d_:d_, J.(2z+1)dz=.f"警=d"= ?"5+c=(2z+-)+c. 熟练以后,上述过程可写为: .f(2z+1)4dz=.f(2z+1)= 吉.『(2+1)4d(2z+1)=12?(2z+1)5+c= fo(2z+1)+f. 例2求.『【_d 分析:基本积分公式中没有该形式,但类似地有 1 z dz的公式,公式中的z变成了这里的3—2z,故 设3—2x为中间变量 解.『dz=.『.= 一 吉-『【_d(3z一2)=一1ln(3z一2)+c. 2当被积函数是两个函数乘积的形式时 2.1被积函数中含有两个多项式,其中一个多项 式的次数比另一个多项式的次数高一次,这时设高 一 次的多项式整体为中间变量,目的是消去低一次 的多项式因式. tN3求.『dz 分析:这里的商也可看作乘积的形式,被积函数 中含有两个多项式,其中一个多项式为2z+3,另一 个多项式为z+3z+6,多项式z+3z+6比 2z+3高一次,因此设多项式z+3x+6为中间变 量. 解dz= f2x+3d(z+3z+6) J+3z+62x+3一 J:d(z+3z+6)= ln(x+3z+6)+c. 例4求fdz 收稿日期:2004—04—07 作者简介:许景彦(1966一).女,河北定州人.石家庄职业技术学院副教授 第6期许景彦等:凑微分法求不定积分的解题技巧41 分析:被积函数中含有两个多项式,其中一个多 项式为3即3x1, 另一个多项式为1~[1x-1,多 工 项式3z比z—1高一次,因此设多项式3为中间 变量. 解』e3,Hdz=』1eqzz d(3,/z) , 11 j' ,/Z fsinzd(COSz) JCOS一SlnZ — f一d(.z):一ln(.)+JC0SZ 求Jarcsinx1()?一z 分析:被积函数中,=t=恰好是arcsinx的 1一工 导数,因此设arcsinx为中间变量. 2fe3"Gd(3~)=2e3+c.解 2.2被积函数中,其中一部分函数恰好是另一部 分函数的导数,设这里存在导数的那一部分函数为 中间变量,目的是消去它的导函数. 例5求Itnzdz 分析:被积函数tanz=—sin—x,cosz的导数是 cosZ — sinz,因此设cosz为中间变量. 解z出=』dz= 参考文献: [I]阎章杭.高等效学与工程数学[M].北京:化学工业出版社,2003.7 d(arcsinx).一= . J'arcsinz)d(arcsinz)=一+arCSlnZ 以上凑微分法求不定积分采用"换dx为 "的技巧,易于学生掌握,不妨一试. 责任编辑:金欣 Theskillofcalculatingindefiniteintegralby takingadvantageofdifferentiation XuJing—yan.SHINing (DepartmentofBasicEducation.ShijiazhuangVocationalTechnologyInstitute,Shiji~zhua ng050081,China) Abstract:Byusingtwocases,itisdemonstratedthatwhilewetakeadvantageofdifferentiatio ntocalculate indefinitintegra1.weuse"change''not"takeadvantageof". Keywords:takeadvantangeofdifferentiation;indefinitintegral;skill (上接第39页) 参考文献: [1]D?s密特利诺维奇.解析不等式[M].北京:高等教育出版社, l992.158.165. [2]刘玉琏.数学分析[M] 230. 北京:高等教育出版社.1992.205. 责任编辑:金欣 Testimonyofinequality LIUJiang—yu,HAOXiang—zhi,CHENPei—ning (1.DepartmentofBasicEducation.ShijiazhuangVocationalTechnologyInstitute.Shijiazhuang050081.China 2.DepartmentofMathematics.ShijiazhuangCollege.Shijiazhuang050801.China) Abstract:Advancedmathematics,providingwithalargenumberofinequalityandequality,canbeusedtO proveelementaryinequalityasamodeltostudymathematics.Itcanmaketestimongprocessmuchsimpler. Keywords~elementaryargebra;inequality;testimony 壹一量一一S一.—C一一砥一l3一一一一