高中数学特征方程法求递推数列的通项公式复习

高中数学特征方程法求递推数列的通项公式复习 特征方程法求递推数列的通项公式 一、(一阶线性递推式)设已知数列的项满足,其中求{a}a,b,a,ca，dc,0,c,1,n1n，1n这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理x,cx，d, 形式进行阐述. 定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即x,axa010n ，其中是以为公比的等比数列，即a,a;当x,a时,a,b，x{b}cn101nn0n 1n,. b,bc,b,a,x1110n d证明:因为由特征方程得x,.作换元则b,a,x,c,0,1,0nn0,c1 dcdb,a,x,ca，d,,ca,,c(a,x),cb. n,1n,10nnn0n1,c1,c n,1当时，，数列是以为公比的等比数列，故 x,a{b}b,0cb,bc;01n1n1当时，，为0数列，故(证毕) x,a{b}a,a,n,N.b,001n1n1 下面列举两例，说明定理1的应用. 1a,,a,2,n,N,a,4,例1(已知数列满足:求 {a}a.n，1n1nn3 13x,,x,2,则x,,.解:作方程 032 311a,x,b,a，,.当时， a,41011122 1,数列{b}是以为公比的等比数列.于是n3 111133111n,1n,1n,1b,b(,),(,),a,,，b,,，(,),n,N. n1nn3232223 i{a}a,(2a，3)i,n,N,例2(已知数列满足递推关系:其中为虚数单位。当a取何n，1nn1 {a}值时，数列是常数数列, n 6363,，i,，i..x,a,x,a解:作方程x,(2x，3)i,则要使为常数，即则必须 010n55 a,pa，qaa,,,a,,二、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式，给出的n，2n，1n12 2,,,,aa数列，方程，叫做数列的特征方程。 x,px,q,0nn n,1n,1若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，,,ax,xx,xa,Ax，Bxn1212n12 n,1n,1B由决定(即把和，代入，得到关于a,,,a,,a,a,x,xn,1,2a,Ax，Bx121212n12 n,1A、B的方程组);当时，数列的通项为，其中A，B由,,ax,xa,(A，B)xn12n1 n,1决定(即把和，代入，得到关于A、Ba,,,a,,a,a,x,xn,1,2a,(A，Bn)x121212n1的方程组)。 例3:已知数列满足，求数列,,,,aa,a,a,b,3a,5a，2a,0(n,0,n,N)an12n，2n，1nn的通项公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由，得 3a,5a，2a,0n，2n，1n 2a,a,(a,a)， n，2n，1n，1n3 且。 a,a,b,a21 2b,a则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是 ,,a,an，1n3 2n,1a,a,(b,a)()。把代入，得 n,1,2,3,,,,,nn，1n3 ， a,a,b,a21 2a,a,(b,a),()， 323 22a,a,(b,a),()， 433 ,,, 2n,2a,a,(b,a)()。 nn,13 把以上各式相加，得 2n,11,()222n,23a,a,(b,a)[1，，()，,,,，()],(b,a)。 n123331,3 22n,1n,1？a,[3,3()](b,a)，a,3(a,b)()，3b,2a。 n33 ,,a3a,5a，2a,0(n,0,n,N)a,a,a,b解法二(特征根法):数列:， 的n，2n，1nn12 23x,5x，2,0特征方程是:。 2, 1,？x,x,123 2n,1n,1n,1。 ,A，B,()a,Ax，Bx？n123 又由，于是 a,a,a,b12 a,A，B,A,3b,2a,, ,2,,B,3(a,b)b,A，B,,3, 2n,1故 a,3b,2a，3(a,b)()n3 n,N三、(分式递推式)定理3:如果数列满足下列条件:已知的值且对于，都有{a}an1 pa，qhnph,qrr,a,,,0,a,(其中p、q、r、h均为常数，且)，那么，可作特征1n，1rra，hn px，qx,方程. rx，h ,(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时， 若则 a,,,n,N;a,,,n1 1r1若，则其中特别地，当存在a,，,,n,N,b,，(n,1),n,N.a,,nn1,,ba,p,rn1 b,0使时，无穷数列不存在. n,N,{a}n0n0 c,,,n21a,(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时，则， ,,n,N,n12c,1n ,,a,p,r1n,111c,(),n,N,(其中a,,).其中 12na,p,r,,122 a，4nn,a,N,,{a}{a}例3、已知数列满足性质:对于且a,3,求的通项公式. n,1nn1a，23n x，42x,,,,1,,,,2.解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方2x，2x,4,0,122x，3 程有两个相异的根，使用定理2的第(2)部分，则有 ,,a,p,r3,11,1,2n,1n,1111c,,(),,(),n,N. n,,a,p,r3，21,2,2122 21n,1? c,(,),n,N.n55 21n,1,2,(,),1c,,,2n155? a,,,n,N.n21c,1n,1n(,),155 n(,5),4即 a,,n,N.nn2，(,5) a,1325n例5(已知数列满足:对于都有 a,.{a}n,N,n，1na，3n (1)若求 a;a,5,n1 (2)若求 a;a,3,n1 (3)若求 a;a,6,n1 (4)当取哪些值时，无穷数列不存在, {a}an1 13x,252x,.解:作特征方程变形得 x,10x，25,0,x，3 ,,5.特征方程有两个相同的特征根依定理2的第(1)部分解答. (1)?对于都有 a,,,5;a,5,？a,,.？n,N,n11 (2)? a,3,？a,,.11 1rb,，(n,1)? na,,p,r,1 11,，(n,1), 3,513,1,5 1n,1,,，, 28 n,5b,0{a}令，得.故数列从第5项开始都不存在， nn 15n,17n,Na,，,,n当?4，时，. nbn,5n a,6,,,5,a,,.(3)?? 11 1rn,1b,，(n,1),1，,n,N.? n,,a,p,r81 n,,7,n.令则?对于 b,0,n,N,b,0.nn 115n，43a,，,,，5,,n,N.? nn,1bn，7n1，8 : 求下列数列的通项公式: 1、 在数列中，，求。(key:{a}a,2a，3a(n,3)aa,1,a,7,nn,1n,2nn12 n,1n,2) a,2,3，(,1)n 1na,(4,1)2、 在数列{a}中，且a,5a,4a，求。(key:) aa,1,a,5,nnn,1n,2nn123 n，13、 在数列{a}中，a,3a,2a(n,3)，求。(key:) aa,3,a,7,a,2,1nn,1n,2nn12n 21711n,2a,a，aa,，,(,)4、 在数列{a}中，，求a。(key:) a,3,a,2,n，2n，1nnnn1233443 2151a,3,a,,a,(4a,a)a,，{a}5、 在数列中，，求a。(key:) 12n，2n，1nnnnn,1333 {a}a,pa，qa6、 在数列a中，a,a,a,b,，且.求.(key:时，p，q,1q,1n，2n，1nnn12 n,1aq，b,(b,a)(,q)a,a，(n,1)(b,a)a,;q,1时，) nn1，q p,q{a}pa,(p，q)a，qa,0a,a,a,a，b,7、 在数列中，(是非0常数).n，2n，1nn12 n,1pqp,qp,qa,a，(n,1)ba求a,a，[1,()]b.(key: (); )() nn1np,qp 8、在数列中，给定，.求{a}a,ba，caa,annn,1n,212 1122n,n,n,n,,,,,,,c().(key:;若，上式不能应用，此a,,，,(,,,),,,aaan21n,,,,,, n,2n,1时， a,(n,1)a,,,(n,2)a,.n21 附定理3的证明 n,N定理3(分式递推问题):如果数列满足下列条件:已知的值且对于，都有{a}an1pa，qhnph,qrr,a,,a,(其中p、q、r、h均为常数，且,0,)，那么，可作特征1n，1rra，hn px，qx,方程. rx，h ,(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时， 1若则若，则其中a,,,n,N;a,，,,n,N,a,,,a,,nn11bn1r特别地，当存在使b,0时，无穷数列不n,N,{a}b,，(n,1),n,N.nn0n0,,a,p,r1 存在. c,,,n21a,(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时，则，其,,n,N,n12c,1n ,,a,p,r1n,111c,(),n,N,(其中a,,).中 12na,p,r,,122 证明:先证明定理的第(1)部分. d,a,,,n,N作交换 nn paq，nda,,,,,,则 n1n1，，rah，n ap,r，q,h(,),n, ra，hn ,,,(d，)(p,r)，q,hn, r(d，,)，hn 2,,,d(p,r),[r，(h,p),q]n ? ,rd，h,r,n ,p，q2,,?是特征方程的根，? ,,r,，,(h,p),q,0.r，h, ,d(p,r)n将该式代入?式得 ? d,,n,N.n，1,rd，h,rn p将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根x,ph,qr,ph,qrr p,于是 ? ,,p,,r,0.r ,当，即=时，由?式得故 b,0,n,N,a,d，,,,,n,N.d,0a,d，,nnn111 当即时，由?、?两式可得此时可对?式作如下变化: d,0,n,N.d,0a,,n11 ,,rd，h,rh，rr11n,,,， ? .ddp,rp,rdp,r,,,()n，1nn px，qp,h,x,,,.由是方程的两个相同的根可以求得 rx，h2r p,hh，r,h，rh，p2r ? ,,,1,p,h,p,rp，hp,r2r 11r将此式代入?式得 ,，,n,N.,ddp,rn，1n 1rr令则故数列{b}是以为公差的等差b,,n,N.b,b，,n,N.nn，1nn,p,,rdp,rn 数列. r? b,b，(n,1),,n,N.n1,p,r 11b,,.其中 1da,,11 1n,N,b,0a,d，,,，,,n,N.当时， nnnbn 1b,0n,N,{a}当存在ad使时，无意义.故此时，无穷数列是,，,,，,n0nnn000bn0 不存在的. 再证明定理的第(2)部分如下: ?特征方程有两个相异的根、，?其中必有一个特征根不等于，不妨令,,a,,a.21121 ,a,n1于是可作变换 c,,n,N.n,a,n2 ,pa，qa,nn，11故，将代入再整理得 a,c,nn，1，1a,ra，h,n，12n ,,a(p,r)，q,hn11 ? c,,n,Nn1，,,a(p,r)，q,hn22 ppp,,由第(1)部分的证明过程知不是特征方程的根，故,,,. x,12rrr 故所以由?式可得: p,,r,0,p,,r,0.12 ,q,h1a，n,,p,rp,r11c,,,n,N ? 1n，,q,h,p,r22a，n,p,r2 px，q2x,?特征方程有两个相异根、方程有两个相异,,,rx，x(h,p),q,012rx，h q,xh2根、，而方程与方程又是同解方程. ,x,,,rx,x(h,p),q,012p,xr ,,q,hq,h12,,,,,,,? 12p,rp,r,,12 将上两式代入?式得 ,,,a,p,rp,r111nc,,,c,n,N 1n,n,,,p,ra,p,r222n ,p,r1n,N{c}当c,0,即a,,时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有 n111p,,r2 ,,,p,ra,p,rn,1n,11111c,c,()()(). n1p,,ra,,p,,r2122 c,0a,,当即时，上式也成立. 111 ,a,n1c,c,1,n,N.,,,由且可知 nn12a,,n2 c,,,n21所以(证毕) a,,n,N.nc,1n pa，qpa，qnnr,0注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的a,ph,qrn，1ra，hra，hnn 递推关系,在此不再赘述.