解斜三角形

解斜三角形 4(解斜三角形 [教学目标] 1.运用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等有关知识解斜三角形; 2. 运用正、余弦定理及三角变换公式进行边角转换，研究三角形的边角关系或 三角形的形状; 3. 运用正、余弦定理及三角形变换公式解三角形中的有关求值问题。 [教学过程] 一. 知识点梳理: 1(设?ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C( (1)角与角关系:A+B+C = π， (2)边与边关系:a + b > c，b + c > a，c + a > b，a,b < c，b,c < a，c,a > b( (3)边与角关系: abc,,,2R正弦定理:(R为三角形外接圆的半径) sinAsinBsinC 222222222+b,2bccosC，b = a+c,2accosB，a = b+c,2bccosA( 余弦定理:c = a 222bca，,sinAa变形形式有:a = 2R sinA，，( cosA,,2bcsinBb 111(4)面积公式: S,absinC,bcsinA,acsinB222 2(利用坐标法进行正弦定理和余弦定理的推导过程。 3(归纳在三角形的三条边和三个角这六个元素中，已知其中三个元素(至少有一个元素是边)，求另外三个元素的方法，特别是已知三角形两边及其中一边所对的角，如何确定三角形的个数。 二、例题解析: :例1:已知中，，求a及的面积。 ,ABC,ABC，B,30,b,6,c,63 解:分别用正弦定理和余弦定理来求值。;。 a,12,s,183a,6,s,93 注:可有初中尺规作图得当，满足条件的三角形不存0,b,33 在;当，三角形为直角三角形，1个;当，满33,b,63b,33 足条件的三角形有2个;当，满足条件的三角形1个。 b,63 22例2((1)在?ABC中，已知，试判断?ABC的形状。 atgB,btgA 2222 (2) 在?ABC中, 已知,试判断?ABC的形状。 asinB，bsinA,2abcosAcosB 解:(1)分别将角转化成边或者将边转化成角，?ABC为等腰或直角三角形。 1 , (2)化角，，?ABC为直角三角形。 cos()0,A，B,A，B,2 (已知?ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， 例3tanA，tanB,3tanAtanB,3 33，又?ABC面积为，求的值。 c,32a，bS,2 , 解:有两角和的正切公式得， C,3 ,331,,a,3，23a,3,23,,由求得 或 ，所以。 S,,absinC,a，b,6,,22,,,b,3,23b,3，23,,222,c,18,a，b,2abcosC, ,(在中心角为，半径为1的扇形中， 例460OAB (1)如左图，在半径上任取一点M，作内接矩形MNPQ OB (N、P在线段OA上，Q在弧AB上)，设，记矩形，QOA,,MNPQ的面积为S，求S关于的函数解析式; S(,), (2)如右图，分别在上个任取一点C、D，使OC=OD， OA,OB 作扇形的内接矩形CDEF(E、F在弧AB上)，设矩形CDEF的面 积为T，取弧AB中点P，连接OP交EF于H。设， ，HOF,,求T关于的函数解析式; T(,), (3)由(1)、(2)题的条件和所得结果，记函数的最大值为，函数的最 S(,)T(,)SM大值为,,，记n个数中最大的一个数为，求,,。 a,a,...,amaxa,a,...,aTmaxS,T12n12nMMM ,23,1MQ 解:(1)由，，所以，。 PQ,sin,,(0,)S(,),sin,sin(,,),,,,333sin(60,,)sin120 ,,1CF (2)由，，所以，。 EF,2sin,T(,),4sin,sin(,,),(0,),,,,66sin(30,,)sin150 333,,, (3)，，，此时; (),cos(2,),,(0,),,SS,,,,M633663 3,,,，，，此时。。 T,2,3？max,,,,T(),2cos(2,),3,(0,),ST,,,,MMM12666 例5(已知向量与夹角为60?，,8，,4，求与的夹角( 3abaa，bab 由正弦定理易先求出?OCA,90? a+ba 2 b 再推出与夹角为150? ab 例6(已知?ABC中a,6，b,6，A,30?求c( 3 sinA,3< a < b 提示学生，先判明b3 不难求出两解 B,60?，C,90?时 C,12 111 B,120?，C,30?时，C,6( 222 在用正弦定理、余弦定理解斜三角形的各种情况比较熟悉后，可再给比较复杂需要综合 运用较多基础知识的问题，以培养学生分析问题解决问题的能力( (如图5,21，四边形ABCD中已知AB,3，AD,2，内角A,60?，B,D,90?例7 求对角线AC长( 由于含AC的两个三角形都只有2个条件，不能用正弦定理或余弦定理一次求解，容易想到两直角三角形公有斜边AC，而两斜三角形共有BD边，分别由勾股定理和余弦定理建立两个方程解出BC或CD再求出AC(这样解算显然较繁( 其实引入一个角未知数,?BAC，则?DAC,60?,，则有 ,, ABAD,AC , ，，cos,cos60:,, 3321求出tan,，cos, ,,914 221最终有AC, 3 若几何直觉较好的学生看出ABCD四点共圆，而AC恰为该圆直径，则由余弦定理求出 BD221,BD,以后，再由正弦定理立即求出AC,2R, 7sin60:3 还有更简单的解法吗,告诉大家:有～ 例8(如图5,22，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA,2，B为半圆周上动点，以AB为边向外作等边三角形ABC，试确定B点的位置，使四边形OACB的面积最大，并求出这最大面积( 3 提示把四边形面积看作两个三角形面积之和，进而明确关键在于AB的长如何随B点位 置变化, 最终点明选取角变元:x,?AOB( 下面求解思路也较明显了: 1 S,，1，2，sinx,sinx,AOB2 32SAB ,,ABC4 2由余弦定理:AB,5,4cosx 53? S,,3cosx,ABC4 5353,,,,，? 四边形面积:S ,sinx,,2sin 3cosx，x,,344,, ,2,? 0 < x < ，,< x < ,33 1,,5? 当x ,，x,,时，四边形OACB有最大面积，有的学生会，，8，53,6324以为x,时，四边形变为三角形面积最大( , 193从而判定四边形最大面积不存在，实际上不难验算<还应安排一些解，，8，5344斜三角形应用于实际问题的范例和利用计算器进行计算的范例以实现教学目标( 例9(如图5,23， 三测点A、B、C对不可达水域观测目标D点有如下观测结果: ?ABD,27?，?BAD,33?，?CAD,30?， 已知AB,AC,1000m(计算CD的长(精确到1m) 稍经分析可知，先在?ABD中用正弦定理求出AD，再于?ACD中用余弦定理即可求出CD( 由已知角可得?ADB,120?，据正弦定理 ABsin27:454.0AD ,m ,,524sin120:0.8661 22在?ACD中据余弦定理可算出CD ,?606m( AC，AD,2AC,ADcos30: 4 应用举例: 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，时需要计算油 新疆王新敞奎屯泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60?，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1(95,，AB与水平线之间的夹角 为6?20′，AC长为1(40,，计算BC的长(保留三个有效数 新疆王新敞奎屯字) 分析:求油泵顶杆BC的长度也就是在?ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， 新疆王新敞奎屯AC,1(40,，AB,1(95 ,，?BAC,60?，6?20′,66?20′相当于已知?ABC的两边 新疆王新敞奎屯和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解:由余弦定理，得 222BC,AB，AC,2AB?ACcosA 22,1(95，1(40,2×1(95×1(40×cos66?20′,3(571 ?BC?1(89 (,) 新疆王新敞奎屯答:油泵顶杆BC约长1(89 , 评述:此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从 新疆王新敞奎屯题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45?、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105?的方向，以9海里,,的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里,,的速度前去营救，试问舰 新疆王新敞奎屯艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间 分析:设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为, ,，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的?1，?2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用,表示，故可看成是一个 新疆王新敞奎屯已知两边夹角求第三边问题 解:设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为,,，则AB,21,海里，BC,9, 海里，AC,10 海里，?ACB,?1，?2,45?，(180?,105?),120?， 根据余弦定理，可得 222,，,2ABACBCAC?BC?cos120?得 222(21,),10，(9,),2×10×9,cos120?， 22,9×10,0 即36,, 25解得,,，,,, (舍去) 12312 ?AB,21,,14，BC,9,,6 再由余弦定理可得 222222AB，AC,BC14，10,6cos?BAC, ,,0.9286,2,AB,AC2，14，10 新疆王新敞奎屯??BAC,21?47′，45?，21?47′,66?47′ 2新疆王新敞奎屯所以舰艇方位角为66?47′，小时即40分钟 3 新疆王新敞奎屯答:舰艇应以66?47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟 评述:解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标 新疆王新敞奎屯方向线的水平角，其范围是(0?，360?) 在利用余弦定理建立方程求出,后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问 5 新疆王新敞奎屯题，故仍然利余弦定理 例3用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得 新疆王新敞奎屯气球的仰角是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度 分析:在Rt?EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而?EAC中有较多已知条件，故可在?EAC中考虑EA边长的求解，而在?EAC中有角β，?EAC,180? 新疆王新敞奎屯,α两角与BD,a一边，故可以利用正弦定理求解EA 解:在?ACE中，AC,BD,a，?ACE,β，?AEC,α,β， ,asin根据正弦定理，得AE, sin(,,,) ,,asinsin在Rt?AEG中，EG,AEsinα, sin(,,,) ,,asinsin?EF,EG，b,，b， sin(,,,) ,,asinsin新疆王新敞奎屯答:气球的高度是，b sin(,,,) 评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下:设EG,,，在Rt?EGA中，利用cotα表示AG;在Rt?EGC中，利用cotβ表示CG，而CG,AG,CA,BD,a，故可 新疆王新敞奎屯以求出EG，又GF,CD,b，故EF高度可求 例4如图所示，已知半圆的直径AB,2，点C在AB的延长线上，BC,1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边?PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 新疆王新敞奎屯最大值 分析:要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立 一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与?POB大小变化之间的联系，自然引入?POB 新疆王新敞奎屯,θ作为自变量建立函数关系四边形OPDC可以分成? 1OPC与等边?PDC，,可用?OP?OC?sinθ表示，而?OPC2 等边?PDC的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在?POC中利用余弦定理表示，至 新疆王新敞奎屯于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决 解:设?POB,θ，四边形面积为,，则在?POC中，由余弦定理得: 222PC,OP，OC,2OP?OCcosθ,5,4cosθ 13?,,,，,,，(5,4cosθ) ，1，2sin,?OPC?PCD42 53,,2sin(θ,)， 34 5,,,53新疆王新敞奎屯?当θ,,即θ,时，,,2， max3264 6 评述:本题中余弦定理为表示?PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要 新疆王新敞奎屯认识到这两个定理的重要性 另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin(α，β),sinαcosβ，cos 新疆王新敞奎屯αsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视 三、课堂练习: 新疆王新敞奎屯1如图，在海岸A处发现北偏东45?方向，距A处 新疆王新敞奎屯(,1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75?3 方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103 海里,时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里 新疆王新敞奎屯,时的速度，从B处向北偏东30?方向逃窜问:辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私 新疆王新敞奎屯船?并求出所需时间 解:设辑私船应沿CD方向行驶,小时，才能最快截获(在D点)走私船， 新疆王新敞奎屯则CD,10,海里，BD,10,海里 3 222?BC,AB，AC,2AB?AC?cosA 22,(,1)，2,2(,1)?2cos120?,6, ?BC, 336 BCAC？,sinAsinABC AC,sinA2sin120:2？sinABC,,,BC26 ??ABC,45?，?B点在C点的正东方向上， ??CBD,90?，30?,120? BDCD？,sinBCDsinCBD BD,sinCBD10t,sin120:1？sinBCD,,,,CD2103t ??BCD,30?,??DCE,90?,30?,60? 由?CBD,120?，?BCD,30?得?D,30? ?BD,BC，即10,, 6 6?,, (小时)?15(分钟) 10 答:辑私船沿北偏东60?的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分 7 [思考题] 1(已知的三边a、b、c和它的面积S之间满足条件，求tgAS,(a，b,c)(a,b，c),ABC 的值。 1822 :()sin,sin4(1cos),tan。 S,a,b,c,bcA？A,,A？A,215 2(在中，A,B,C分别为三个内角，a,b,c分别为三个内角的对边。已知,ABC 22，外接圆的半径为，求角C . 22(sinA,sinC),(a,b)sinB,ABC2 ,222，化边，，。 答案:a,22sinA,b,22sinB,c,22sinCa，b,c,abC,3 3(已知在?ABC中，sinA(sinB，cosB),sinC,0，sinB，cos2C,0，求角A、B、C的 大小. 答案:由sinA(sinB，cosB),sinC,0得sinA(sinB，cosB),sin(A+B),0， ,,即sinA=cosA，A=。由sinB，cos2C,0得sinB=sin(2C， ,)42 5,,,2或。得B,,C,。 ？B,C,,(2c,),,23122 B25,4(在?ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a,2,C,,cos,，425求?ABC的面积S。 18347210 答案:可得由正弦定理得？S,acsinB,。 c,,cosB,,sinB,,sinA,,2775510 课后练习: oo1(?ABC中，D在边BC上，且BD,2，DC,1，?B,60，?ADC,150，求AC的长 及?ABC的面积( 2(在?ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB，ccosC,acosA，试判 断?ABC的形状( 3. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75?，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60?。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险, 8 4(如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 oo平角)为152的方向航行(为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122(半小 o时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32(求此时货轮与灯塔之间的距离( 北 o 122 o 152 B 北 A o 32 C 5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为 0180km(千米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为15，经过420s(秒)后又看到山顶的 0俯角为45，求山顶的海拔高度(取,1.4,,1.7)( 23 ABD1545 C 图1 图2 6( 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南 2方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45?方向移动，,(cos,,)10 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭,受到台风的侵袭的时间有多少小时, 北 东 O 东θ ?45西 P 9 参考答案 ooooA 1(在?ABC中，?BAD,150,60,90，?AD,2sin60,( 3 222o在?ACD中，AD,()，1,2××1×cos150,7，?AC,( 337 B 2 D 1 C 31oo?AB,2cos60,1(S,×1×3×sin60,( 3?ABC24 2(? bcosB，ccosC,acosA，由正弦定理得:sinBcosB，sinCcosC,sinAcosA， 即sin2B，sin2C,2sinAcosA，?2sin(B，C)cos(B,C),2sinAcosA(?A，B，C,π， ?sin(B，C),sinA(而sinA?0，?cos(B,C),cosA，即cos(B,C)，cos(B，C),0， ,,?2cosBcosC,0(? 0,B,π，0,C,π，?B,或C,，即?ABC是直角三角形( 22 3、解:如图，过点B作BD?AE交AE于D 由已知，AC=8，?ABD=75?，?CBD=60? 在Rt?ABD中， AD=BD?tan?ABD=BD?tan 75? 在Rt?CBD中， CD=BD?tan?CBD=BD?tan60? 8?AD,CD=BD(tan75?,tan60?)=AC=8,„9分? BD,,4,3.800tan75,tan60?该军舰没有触礁的危险。 ooooooooo4(在?ABC中，?B,152,122,30，?C,180,152，32,60，?A,180,30, 353535ooo60,90，BC,，?AC,sin30,( 224 35答:船与灯塔间的距离为n mile( 400 5. 解:如图 ?15 45，A,，DBC,0?30， ，ACB, ，AB= 180km(千米)/h(小时)420s(秒) = 21000(m ) ?在中 ,ABC BCAB,? sinAsin，ACB 210000? BC,,sin15,10500(6,2)1 2 ?， CD,ADABD 0? CDBCCBDBC,，,，sinsin45 2 , 10500(6,2)，C2 ,,10500(1.7,1) 10500(3,1) 10 ,7350 山顶的海拔高度,10000-7350=2650(米) 6(解:设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城， 北 由题意可得:OP=300，PQ=20t，OQ=r(t)=60+10t 东4272 因为，α=θ-45?,所以， cos,cos,sin,,,,O10105 东222θ 由余弦定理可得:OQ=OP+PQ-2?OP?PQ? cos, 4222 即 (60+10t)=300+(20t)-2?300?20t? 5 2 即， t,36t，288,0 解得, t,24t,1221?45西 t,t,12P21 答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时, 11