[宝典]1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南)

[宝典]1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南) 1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南) 一、选择:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的. 1((3分)(1991•云南)sin15?cos30?sin75?的值等于(,,,) A ( B( C( D( 2((3分)(1991•云南)已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(,,,) A (它的首项是, B(它的首项是 2，公差是,3 2，公差是3 C (它的首项是, D(它的首项是 3，公差是,2 3，公差是2 3((3分)(1991•云南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(,,,) A ( B( C( D(2 4((3分)(1991•云南)在直角坐标系xOy中，参数方程(其中t是参数)示的曲(,,,) A (双曲线 B(抛物线 C(直线 D(圆 5((3分)(1991•云南)设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n?N}，F={x丨x=4n，n?N}，那么集合N可以表示成(,,,) A (E?F B(? E?F C(E ??F D(? E??F UUUU 6((3分)(1991•云南)已知Z，Z是两个给定的复数，且Z?Z，它们在复平面上分别对应于点Z12121和点Z(如果z满足方程|z,z|,|z,z|=0，那么z对应的点Z的集合是(,,,) 212 A ( 双曲线 B(线段 ZZ的垂直平分线 12 C (分别过 Z，ZD(椭圆 12 的两条相交直 线 7((3分)(1991•云南)设5π,θ,6π，cos=a，那么sin等于(,,,) A ( B( C( D( , , , , 8((3分)(1991•云南)函数y=sinx，x的反函数为(,,,) A (y=arcsinx ，B(y= ,arcsinx，x?[,1，1] x?[,1，1] C (y=π+arcsinx ，D(y=π ,arcsinx，x?[,1，1] x?[,1，1] 9((3分)(1991•云南)复数z=,3(sin,icos)的辐角的主值是(,,,) A ( B( C( D( 10((3分)(1991•云南)满足sin(x,)的x的集合是(,,,) A ( {} B ( {} C ( {} D ( {x|2kπ}} 11((3分)(1991•云南)点(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是(,,,) A ((, 6，8) B((, 8，,6)C (( 6，8) D((, 6，,8) 212((3分)(1991•云南)极坐标方程4sinθ=3表示的曲线是(,,,) A (二条射线 B(二条相交直线 C (圆 D(抛物线 13((3分)(1991•云南)由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(,,,) A (210 个 B(30 0个 C(464 个 D(600 个 14((3分)(1991•云南)如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成(,,,) A (sin (1+x) B(sin (,1,x)C ( sin(x,1) D(sin (1,x) 215((3分)(1991•云南)设命题甲为lgx=0;命题乙为x=1(那么(,,,) A (甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B (甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C (甲是乙的充要条件 D (甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 16((3分)(1991•云南)的展开式中常数项是(,,,) A (, 160 B(, 20 C(20 D(160 17((3分)(1991•云南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S，S，S，那么它们的大小关系为(,,,) 123 A (S ,S,S B(S ,S,S C(S ,S,S D(S ,S,S 123132231213 22218((3分)(1991•云南)曲线2y+3x+3=0与曲线x+y,4x,5=0的公共点的个数是(,,,) A (4 B(3 C(2 D(1 二、填空题:把答案填在题中的横线上. 2219((3分)(1991•云南)椭圆9x+16y=144的离心率为 _________ ( 20((3分)(1991•云南)设复数z=2,i，z=1,3i，则复数的虚部等于 _________ (12 21((3分)(1991•云南)已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为 _________ ( 22((3分)(1991•云南)= _________ ( 23((3分)(1991•云南)在体积为V的斜三棱柱ABC,A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为 1 _________ ( 2((3分)(1991•云南)设函数f(x)=x24+x+的定义域是{n，n+1}(n是自然数)，那么在f(x)的值域中共有 _________ 个整数( 三、解答题. 25((1991•云南)已知α，β为锐角，cosα=，tan(α,β)=，求cosβ的值( 26((1991•云南)解不等式:( 27((1991•云南)如图:已知直棱柱ABC,ABC中，?ACB=90?，?BAC=30?，BC=1，AA=，1111M是CC的中点(求证:AB?AM( 111 28((1991•云南)设{a}是等差数列，a=1，S是它的前n项和;{b}是等比数列，其公比的绝对值n1nn 小于1，T是它的前n项和，如果a=b，S=2T,6，，{a}，{b}的通项公式(n3252nn 29((1991•云南)已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F，F，直12线l过F且与直线FF的夹角为tanψ=，l与线段FF的垂直平分线的交点是P，线段PF与双曲212122线C的交点为Q，且|PQ|:|QF|=2:1(求双曲线C的方程( 2 30((1991•云南)已知函数( (?)证明:f(x)在(,?，+?)上是增函数; (?)证明:对于任意不小于3的自然数n，都有f(n),( 1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南) 参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1((3分)(1991•云南)sin15?cos30?sin75?的值等于(,,,) A ( B( C( D( 考点: 二倍角的正弦( 专题: 计算题;三角函数的求值( 分析: 利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案( 解答: 解:?sin15?cos30?sin75? =sin15?cos15?cos30? =sin30?cos30? =sin60? =× =( 故选B( 点评: 本题考查诱导公式与二倍角的正弦，属于中档题( 2((3分)(1991•云南)已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(,,,) A (它的首项是, B(它的首项是 2，公差是3 2，公差是,3 C (它的首项是, D(它的首项是 3，公差是2 3，公差是,2 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前n项和( 专题: 等差数列与等比数列( 分析: 设等差数列的首项为a，公差为d，由题意可建立关于a和d的方程组，解之即可( 11解答: 解:设等差数列的首项为a，公差为d， 1 由等差数列的求和公式可得， 解得， 故选A 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题( 3((3分)(1991•云南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(,,,) A ( B( C( D(2 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积( 专题: 计算题( 分析: 由已知中正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，结合正六边形面积的求法，及正六棱锥侧棱 长、高、对角线的一半构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以分别求出其底面积和高，代 入棱椎体积公式，即可得到答案 解答: 解:?正六棱锥的底面边长为1， 则S=6•= 底面积 又?侧棱长为 则棱锥的高h==2 故棱锥的体积V=×S×h=××2= 底面积 故选C 点评: 本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题 的关键( 4((3分)(1991•云南)在直角坐标系xOy中，参数方程(其中t是参数)表示的曲(,,,) A (双曲线 B(抛物线 C(直线 D( 圆 考点: 简单曲线的极坐标方程( 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析: 判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型， 由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程( 解答: 解:由题意， 2由(1)得2t=x,1代入(2)得2y=(x,1),2， 2即y=(x,1),1，其对应的图形是一条抛物线( 故选B( 点评: 本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本 题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项， 使得本题的出错率大大降低( 5((3分)(1991•云南)设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n?N}，F={x丨x=4n，n?N}，那么集合N可以表示成(,,,) A (E?F B(? E?F C(E ??F D(? E??F UUUU 考点: 子集与交集、并集运算的转换( 专题: 计算题( 分析: 根据已知条件，对四个选项一一进行验证，看它们运算的结果是否是自然数集N，即可得出答 案( 解答: 解:?E={x丨x=2n，n?N}，F={x丨x=4n，n?N}， 对于选项A:E?F=F，不合( B:?E?F={x|x=2n+1，n?N}?F，其中不能含有元素2，故不合题意; U C:E??F=N，正确; U D:?E??F=?(E?F)={x|x=2n+1，n?N}?N，故不合题意( UUU 故选C( 点评: 本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了自然数集N的概念，属于基础题( 6((3分)(1991•云南)已知Z，Z是两个给定的复数，且Z?Z，它们在复平面上分别对应于点Z12121和点Z(如果z满足方程|z,z|,|z,z|=0，那么z对应的点Z的集合是(,,,) 212 A (双曲线 B(线段 ZZ的12 垂直平分线 C (分别过 Z，ZD(椭圆 12 的两条相交直 线 考点: 复数求模( 专题: 计算题( 分析: 利用复数z的几何意义可知|z,z|,|z,z|=0中z对应的点Z的集合( 12 解答: 解:?|z,z|,|z,z|=0， 12 ?|z,z|=|z,z|，又复数z，z在复平面上分别对应于点Z和点Z， 121212 ?z对应的点Z到点Z和点Z的距离相等， 12 ?点Z为线段ZZ的垂直平分线( 12 故选B( 点评: 本题考查复数z的几何意义，考查理解与转化能力，属于中档题( 7((3分)(1991•云南)设5π,θ,6π，cos=a，那么sin等于(,,,) A ( B( C( D( , , , , 考点: 二倍角的余弦( 专题: 计算题;三角函数的求值( 分析: 5π,θ,6π??(，3π)??(，)，由cos=a即可求得sin( 解答: 解:?5π,θ,6π ??(，3π)，?(，)， 又cos=a， ?sin=,=,( 故选D( 点评: 本题考查二倍角的正弦与余弦，考查平方关系的应用，考查运算能力，属于中档题( 8((3分)(1991•云南)函数y=sinx，x的反函数为(,,,) A (y=arcsinx ，B(y= ,arcsinx，x?[,1，1] x?[,1，1] C (y=π+arcsinx ，D(y=π ,arcsinx，x?[,1，1] x?[,1，1] 考点: 反三角函数的运用( 专题: 三角函数的求值( 分析: 由于x时，,1?sinx?1，而arcsinx，x?[,1，1]，表示在区间[,，]上，正 弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x 的反函数( 解答: 解:由于x时，,1?sinx?1，而arcsinx，x?[,1，1]，表示在区间[,，]上， 正弦值等于x的一个角， 故函数y=sinx，x的反函数为y=π,arcsinx，x?[,1，1]， 故选D( 点评: 本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题( 9((3分)(1991•云南)复数z=,3(sin,icos)的辐角的主值是(,,,) A ( B( C( D( 考点: 复数的基本概念( 专题: 计算题( 分析: 利用诱导公式即可得出( 解答: 解: === ( ?argZ=( 故选C( 点评: 熟练掌握诱导公式和辐角主值的意义即可得出( 10((3分)(1991•云南)满足sin(x,)的x的集合是(,,,) A ( {} B ( {} C ( {} D ( {x|2kπ}} 考点: 正弦函数的单调性( 专题: 三角函数的图像与性质( 分析: 由sin(x,)，结合正弦函数的单调性可得 2kπ+?x,?2kπ+，k?z，由此求得 满足sin(x,)的x的集合( 解答: 解:由sin(x,)，结合正弦函数的单调性可得 2kπ+?x,?2kπ+，k?z( 解得 ， 故选A( 点评: 本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角不等式的解法，属于中档题( 11((3分)(1991•云南)点(4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是(,,,) A ((, 6，8) B((, 8，,6)C (( 6，8) D((, 6，,8) 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程( 专题: 直线与圆( 分析: 设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论( 解答: 解:设点M的坐标为(a，b)，则 ?a=,6，b=,8 ?M(,6，,8)， 故选D( 点评: 本题考查直线中的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题( 212((3分)(1991•云南)极坐标方程4sinθ=3表示的曲线是(,,,) A (二条射线 B(二条相交直 线C (圆 D(抛物线 考点: 简单曲线的极坐标方程( 专题: 计算题( 2222分析: 根据极坐标方程4sinθ=3可知4ρsinθ=3ρ，然后根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得其直角坐标方程， 即可得到答案( 2解答: 解:?4sinθ=3 222?4ρsinθ=3ρ 222则4y=x+y， ?x=y或x=,y， 2则极坐标方程4sinθ=3表示的图形是两条直线( 故选B( 点评: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题( 13((3分)(1991•云南)由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(,,,) A (210 个 B(300 个 C(464 个 D(600 个 考点: 排列、组合及简单计数问题( 专题: 计算题( 分析: 由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知个位数字小于十位数字，个位数字只能是0，1，51131131132，3，4共5种类型，每一种类型分别有A个、AAA个、AAA个、AAA个、5433333233 13AA个，根据分类计数原理得到结果( 33 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题 ?由题意知个位数字小于十位数字， ?个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型， 511311311313每一种类型分别有A个、AAA个、AAA个、AAA个、AA个， 311313?共有A+AAA+AAA+AAA+AA=300， 543333323333 故选B( 点评: 本题考查排列组合及分类计数原理，是一个数字问题，这种问题比较容易出错，解题时要做到 不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素( 14((3分)(1991•云南)如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成(,,,) A ( sin(1+x) B(sin (,1,x)C (sin (x,1) D(sin (1,x) 考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式( 专题: 计算题( 分析: 由题意知，f(x)=sin(x+φ)，利用1+φ=π+2kπ，k?Z，求得φ，即可求得答案( 解答: 解:依题意，f(x)=sin(x+φ)， ?函数y=f(x)经过(1，0)， ?1+φ=π+2kπ，k?Z， ?φ=π+2kπ,1，k?Z， ?f(x)=sin(x+π+2kπ,1) =sin(π+x,1) =,sin(x,1) =sin(1,x)， 故选D( 点评: 本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，考查诱导公式与运算 能力，属于中档题( 215((3分)(1991•云南)设命题甲为lgx=0;命题乙为x=1(那么(,,,) A (甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B (甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C (甲是乙的充要条件 D (甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断( 专题: 探究型( 分析: 利用充分条件和必要条件的定义判断( 22解答: 解:由lgx=0，的x=1，所以x=1或x=,1， 所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件( 故选B( 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件关系的判断( 16((3分)(1991•云南)的展开式中常数项是(,,,) A (, 160 B(, 20 C(20 D(160 考点: 二项式系数的性质( 专题: 计算题( 分析: 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的 常数项( ,r3rr解答: 解:展开式的通项为T=(,2)Cx r+16 令3,r=0得r=3 33所以展开式的常数项为(,2)C=,160 6 故选A 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题( 17((3分)(1991•云南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S，S，S，那么它们的大小关系为(,,,) 123 A (S ,S,S B(S ,S,S C(S ,S,S D(S ,S,S 123132231213 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积( 专题: 空间位置关系与距离( 分析: 由题意求出正方体，球，及圆柱的体积，通过相等即可得到棱长，球半径，及圆柱半径和母线 长，求出三者的表面积即可得到大小关系( 解答: 解:设球的半径为R，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r， 333所以球的体积为:πR，正方体的体积为:a，圆柱的体积为:2πr; 333故a=πR=2πr 222且球的表面积为:4πR，正方体的表面积为:6a，圆柱的表面积为:6πr; 222322因为S,S=4πR,6a=4πR,6×(πR)=4πR,6×(π)R,0( 21 ?S,S 21 同样地，S,S,S 231 故选C( 点评: 本题是基础题，考查正方体、球、圆柱的表面积体积的关系，考查计算能力( 22218((3分)(1991•云南)曲线2y+3x+3=0与曲线x+y,4x,5=0的公共点的个数是(,,,) A (4 B(3 C(2 D(1 考点: 曲线与方程( 专题: 计算题;直线与圆( 分析: 2将两个曲线方程联解，消去y得得2x,11x,13=0，解之得x=,1或x=(再将x的回代到 方程中，解之可得只有x=,1、y=0符合题意(由此即可得到两个曲线有唯一的公共点，得到 答案( 解答: 22解:由消去y，得2x,11x,13=0 解之得x=,1或x= 当x=,1，代入第一个方程，得y=0; 2当x=时，代入第一个方程得2y++3=0，没有实数解 因此，两个曲线有唯一的公共点(,1，0) 故选:D 点评: 本题求两个已知曲线公共点的个数，着重考查了曲线与方程、二元方程组的解法等知识，属于 基础题( 二、填空题:把答案填在题中的横线上. 2219((3分)(1991•云南)椭圆9x+16y=144的离心率为,,,( 考点: 椭圆的简单性质( 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析: 利用椭圆的方程和离心率即可得出( 解答: 2222解:由椭圆9x+16y=144化为，?a=16，b=9( ?=( 故答案为( 点评: 熟练掌握椭圆的标准方程和离心率计算公式是解题的关键( 20((3分)(1991•云南)设复数z=2,i，z=1,3i，则复数的虚部等于 1 (12 考点: 复数代数形式的乘除运算( 专题: 计算题( 分析: 利用复数的运算性质将+转化为a+bi(a，b?R)的形式，即可求得答案( 解答: 解:?z=2,i， 1 ?=2+i， ?===,+i; 又z=1,3i， 2 ?=1+3i， ?=+i; ?+=i， ?+的虚部等于1( 故答案为:1( 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算，属于中档题( 21((3分)(1991•云南)已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和， 则圆台的高为,,,( 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台)( 专题: 空间位置关系与距离( 分析: 求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和， 求出圆台的母线长，最后根据解直角三角形求出它的高即可( 解答: 解:设圆台的母线长为l，则 22圆台的上底面面积为S=π•r=rπ 上22圆台的下底面面积为S=π•(2r)=4rπ 下2所以圆台的两底面面积之和为S=S+S=5rπ 上下 又圆台的侧面积S=π(r+2r)l=3πrl 侧 2于是5rπ=3πrl即l=， 圆台的高为h==， 故答案为:( 点评: 本题考查旋转体(圆柱、圆锥、圆台)，棱柱、棱锥、棱台的高，考查计算能力，是基础题( 22((3分)(1991•云南)= 0 ( 考点: 极限及其运算( 专题: 计算题;导数的概念及应用( n分析: 把分式的分子分母同时除以n•3，然后取极限值即可得到答案( 解答: 解:==( 故答案为0( 点评: 本题考查数列的极限，解答的关键是消去趋于无穷大的式子，是基础题( 23((3分)(1991•云南)在体积为V的斜三棱柱ABC,A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积1 为,,,( 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积( 专题: 空间位置关系与距离( 分析: 我们可设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d，根据斜三棱柱ABC,A′B′C′的体积等于侧面 ABB′A′的面积与d的乘积的一半，再根据同底同高的棱锥体积公式，求出四棱椎S,ABB′A′ 的体积，进而得到答案( 解答: 解:设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d ?斜三棱柱ABC,A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半， ?V=S'•d， ABB'A 又四棱椎S,ABB′A′的体积等于 S'•d=V， ABB'A 则那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为等于 V,V,V=( 1 故答案为:( 点评: 本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，考查割补法(属于基础题( 224((3分)(1991•云南)设函数f(x)=x+x+的定义域是{n，n+1}(n是自然数)，那么在f(x)的值域中共有 2n+2 个整数( 考点: 二次函数的性质( 专题: 计算题;函数的性质及应用( 分析: f(x)的对称轴是x=,，当n?1时，f(x)在[n，n+1]上是单调递增的，因为f(n)和f(n+1) 都不是整数，故f(x)的值域中的整数个数问题只要计算f(n+1),f(n)即可;n=0时，值 域为[f(0)，f(1)]( 解答: 解:当n?1时，f(x)在[n，n+1]上是单调递增的， 22f(n+1),f(n)=(n+1)+(n+1)+,n,n,=2n+2，故f(x)的值域中的整数个数是 2n+2， n=0时，值域为[f(0)，f(1)]=[，]，有1，2两个整数( 故答案为:2n+2 点评: 本题考查二次函数的值域问题，对问题的化归转化能力( 三、解答题. 25((1991•云南)已知α，β为锐角，cosα=，tan(α,β)=，求cosβ的值( 考点: 两角和与差的正切函数( 专题: 计算题( 分析: 依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由cosβ=即可求得答 案( 解答: 解:?α为锐角，cosα=， ?sinα==， ?tanα==( ?tanβ=tan[α,(α,β)]===， 又β是锐角， ?cosβ===( 点评: 本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力，属于中档题( 26((1991•云南)解不等式:( 考点: 其他不等式的解法( 专题: 不等式的解法及应用( 分析: 先移项平方后化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可( 解答: 2解:?当x,0时，由于等价于5,4x,x?0 即有,5?x?1，故不等式的解集是[,5，0); ?当x=0时，由于，显然x=0满足题意; ?当x,0时，由于等价于 即有 由于 故不等式的解集是( 综上可知，不等式的解集是 ( 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，考查计算能力( 27((1991•云南)如图:已知直棱柱ABC,ABC中，?ACB=90?，?BAC=30?，BC=1，AA=，1111 M是CC的中点(求证:AB?AM( 111 考点: 直线与平面垂直的性质( 专题: 证明题( 分析: 要证，只要AM?AC，BC?AC 即证MA?ABC，从而可证AB?AM 1111111111解答: 证明:连接AC 1 ??ACB=90?，?BAC=30?，BC=1，， ?= Rt?ACM中，tan?AMC== 1111 Rt?AAC中，tan?ACA== 1111 ?tan?MAC=tan?ACA 即?ACA=?AMC 11111111 ?AM?AC 11 ?BC?AC，BC?CC且AC?CC=C 1111111111 ?BC?平面AAC且MA?面AAC 1111111 ?BC?MA，又AC?BC是=C 1111111 根据线面垂直的判定定理可知MA?平面ABC 111 ?AB?AM 11 点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中 档试题 28((1991•云南)设{a}是等差数列，a=1，S是它的前n项和;{b}是等比数列，其公比的绝对值n1nn小于1，T是它的前n项和，如果a=b，S=2T,6，，{a}，{b}的通项公式(n3252nn 考点: 数列的极限;等差数列的性质;等比数列的性质( 专题: 等差数列与等比数列( 分析: 则由题意可得 ，化简可得 3bq=2b,6 ?(再由 11 = ?，由??构成方程组，解方程组求得b和q的值，可得d的值，从而求得，1 {a}，{b}的通项公式( nn 解答: 解:设数列{a}的公差为d，数列{b}的公比为q(|q|,1)( nn 则由题意可得 ，化简可得 3bq=2b,6 ?( 11 再由 = ?，由??构成方程组，解方程组求得，故有d=( ?a=1+(n,1)，b=6•( nn 点评: 本小题考查等差数列、等比数列的概念，数列的极限，运用方程(组)解决问题的能力，属于 中档题( 29((1991•云南)已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F，F，直12线l过F且与直线FF的夹角为tanψ=，l与线段FF的垂直平分线的交点是P，线段PF与双曲212122线C的交点为Q，且|PQ|:|QF|=2:1(求双曲线C的方程( 2 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质( 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程( 分析: 如图，以FF所在的直线为x轴，线段FF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(设双曲线1212 的方程为，可得直线PQ的方程为，得到点P的坐 标(由线段的定比分点坐标公式得点Q的坐标，代入双曲线的方程即可得到(又ab=，联 立即可得出( 解答: 解:如图，以FF所在的直线为x轴，线段FF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系( 1212 设双曲线的方程为， 直线PQ的方程为，则P， 由线段的定比分点坐标公式得，=( ?( 代入双曲线的方程得，整理得， 解得，或=((舍去)( ?(又ab=， ?，a=1( 故所求的双曲线方程为( 点评: 本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想，线段的定比分点坐标公式，双曲线的有关知识及 综合解题能力( 30((1991•云南)已知函数( (?)证明:f(x)在(,?，+?)上是增函数; (?)证明:对于任意不小于3的自然数n，都有f(n),( 考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明( 专题: 证明题;函数的性质及应用( 分析: (?)设x，x为任意两个实数，且x,x，而f(x)==1,，利用作差证明f(x)12122 ,f(x)即可; 1 n(?)要证f(n),(n?N，n?3)，即要证1,，即要证2,1,2n(n?3)(用 数学归纳法即可证明; 解答: (?)证明:设x，x为任意两个实数，且x,x， 1212 f(x)==1,， f(x),f(x)==， 21 由指数函数性质知，,0，,0， ?f(x),f(x),0， 21 故f(x)在(,?，+?)上是增函数; (?)要证f(n),(n?N，n?3)，即要证1,， n即要证2,1,2n(n?3)(? 现用数学归纳法证明?式( 3(1)当n=3时，左边=2,1=7，右边=2×3=6， ?左边,右边，因而当n=3时?式成立( k(2)假设当n=k(k?3)时?式成立，即有2,1,2k，那么 k+1kk2,1=2•2,1=2(2,1)+1,2•2k+1=2(k+1)+(2k,1)， ?k?3，?2k,1,0( k+1?2,1,2(k+1)( 这就是说，当n=k+1时?式成立( 根据(1)(2)可知，?式对于任意不小于3的自然数n都成立( 由此有f(n),((n?3，n?N)( 点评: 本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力(