求置信区间

求置信区间 4 用Excel软件求置信区间及假设检验 一 实验目的 学习、掌握用Excel求置信区间及假设检验。 实验的准备 二 在微软Office的Excel中有许多函数用于数据处理, 其中有些涉及数理统计, 使用非常方便. Excel在原安装中可能没有“数据分析”菜单，建立“数据分析”的步骤是:由“工具”菜单中选择“加载宏”，在弹出的加载宏对话框中选定“分析工具库”和“分析数据库,VBA函数”，确定后“工具”菜单中增加了“数据分析”子菜单. 其中有“描述统计”，“协方差”，“相关系数”，“回归”，“方差分析”，“Z,检验”，“T,检验”，“F,检验”等工具. 三 实验内容 1. 一般统计 1(1平均数 Excel计算平均数用AVERAGE函数，其格式如下: =AVERAGE(数据1，数据2，…，数据30) 例如输入 =AVERAGE(1,2,3,4,5) 则得到平均数3. 若要得到位于工作表中E3至E12这组数据的平均数，则输入 =AVERAGE(E3:E12) 1(2样本差 样本标准差的定义是 2(x,x),is, n,1 Excel计算样本标准差的函数是STDEV，其格式如下 =STDEV(数据1，数据2，…，数据30) 例如输入 =STDEV(3,5,6,4,6,7,5) 则得到这组数据的样本标准差1.35. 输入 =STDEV(E3:E12) 则得到位于E3至E12的这组数据的样本标准差. 1(3样本方差 样本方差的定义是 2(x,x),i2s, n,1 Excel计算样本方差使用VAR函数，格式为 =VAR(数据1，数据2，…，数据30) 例如输入 =VAR(3,5,6,4,6,7,5) 则得到这组数据的样本方差1.81. 输入 =VAR(E3:E12) 则得到位于E3至E12的这组数据的样本方差. 152 2. 区间估计 2(1估计均值 2(1(1 已知方差, 估计均值时, 使用函数CONFIDENCE, 它的格式是: CONFIDENCE (显著性水平, 总体标准差, 样本容量) , ,计算结果是. 再用样本均值加减这个值, 即得总体均值的置信区间. ,1,,/2n 如果已知方差, 则先用函数SQRT计算平方根, 得标准差, 再代入. 如果已知一组样本值, 则还要用函数AVERAGE计算样本均值, 然后才能计算置信区间. X,950例1 已知样本容量, 总体的标准差, 样本均值.取n,25,,100 . 求均值的置信区间. ,,0.05 解 在Excel的一个单元 (例如A1) 内输入 =CONFIDENCE(0.05, 100, 25) ,用鼠标点击其它任意单元, 则所在单元显示39.19922. 这就是的值. ,1,,/2n然后,在另一个单元格中输入 =950-A1 则显示910.8008. 这是置信区间的左端点. 同样方法可计算置信区间的右端点, 即得均值的置信区间. 例2 对某种钢材的抗剪强度进行了10次测试，测得结果如下(单位: MPa) 578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 596, 584, 572. 若已知抗剪强度服从正态分 22,,25布，且,求的95,的置信区间. ,N(,,,) 解 打开Excel的一个新工作表. 在单元格B2，C2，…，K2内分别输入数据:578，572，570，…，572. 在单元格B3内输入 =AVERAGE(B2: K2) X,575.2得到输出. 在单元格B4内输入 =STDEV(B2: K2) 得到输出S,8.702. 在单元格B5内输入 =CONFIDENCE(0.05, 5, 10) ,得到输出=3.099. 在单元格B6内输入 ,1,,/2n =B3-B5 得到置信下限为572.101，在单元格B7内输入 =B3+B5 得到置信上限为578.299. 因此置信区间为 (572.101, 578.299) 2(1(2 未知方差, 估计均值时, 没有这样的可以直接计算的函数, 需要一步一步计算. X,503.75n,16例3 设总体服从正态分布. 已知样本容量, 样本均值，样 S,6.2022,,0.05本标准差. 取. 求均值,的区间估计. 解 打开Excel的一个新工作表. 先用函数TINV求T分布的分位点, 它的格式是 n,1,TINV(显著性水平,自由度) , 在单元格B2内输入 153 =TINV(0.05, 15) 则这个单元将显示2.131451. 这就是的值. 在单元格B3内t(n,1),t(15)1,,/20.975 输入 =B2*6.2022/SQRT(16) St(n1),显示3.304921. 这是的值.在单元格B4内输入 1,,/2n =503.75-B3 得到置信下限为500.4451, 在单元格B3内输入 =503.75+B3 得到置信上限为507.0549.因此置信区间为 (500.4451, 507.0549) 例4 在例2中，设方差未知，求的95,的置信区间. , 解 在例2中已经算得, .而样本容量为10. 沿用例2中x,575.2S,8.702 的工作表. 在单元格E4中输入 =TINV(0.05, 9) 得到=2.26216, 在单元格E5中输入 t(n,1),t(9)1,,/20.975 =E4*B4/SQRT(10) St(n1),得到=6.22539, 在单元格E6中输入 1,,/2n =B3-E5 得到置信下限为568.975，在单元格E7中输入 =B3+E5 得到置信上限为581.425.因此置信区间为 (568.975, 581.425). 注意: TINV()给出的是T分布的1-,/2分位点. ,,n 2(2估计方差 22 估计方差时，要用到分布或F分布 求分布的上分位点的函数为,,,CHIINV, 它的格式为 =CHIINV(,/2或者1,,/2,自由度n,1) 例5 设总体服从正态分布. 已知样本容量n,9. 样本标准差S,0.007. 取,,0.05. 求总体方差的区间估计. 解 打开Excel的一个新工作表，在单元格B2中输入 =CHIINV(0.025,8) 2显示17.53454(,,(8)). 在单元格C2中输入 0.975 =CHIINV(0.975,8) 22,,(n1)S(n1)S,,2,,显示2.179725(,,(8)). 然后用公式,计算置信区间. 0.02522,,,(n1),(n1),,,,,1/2/2,,在单元格B3中输入 =8*0.007^2/B2 显示0.00002236,在单元格C3中输入 =8*0.007^2/C2 显示0.0001798,因此总体方差的置信区间为 154 (0.00002236,0.0001798). 此外, 函数FINV可以计算F分布的上分位点, 从而求方差比的置信区, 间. 3. 假设检验 3.1单个正态总体方差未知时均值的t检验 由于没有一个函数一次完成单个正态总体方差未知时均值的检验，需要分几步计算.所用的检验统计量为 ,X,0T, S/n 可以用一般统计中介绍的方法计算检验统计量T的观察值，再用区间估计中介绍的方法得到T分布的上分位点(双边检验时)，比较统计量T的观察值t和T分布的上分位点,/2,/2(拒绝域为:),便可得到检验结果. |t|,t(n,1)1,,/2 例6 设某一引擎制造商新生产某一种引擎，将生产的引擎装入汽车内进行速度测试，得到行使速度如下: 250 238 265 242 248 258 255 236 245 261 254 256 246 242 247 256 258 259 262 263 该引擎制造商宣称引擎的平均速度每小时高于250km，请问样本数据在显著性水平为0.05时是否和他的声明相抵触, 解 (1) 打开Excel的一个新工作表. 在单元格B3:F6输入样本数据，如下表 A B C D E F G 1 引擎速度测试 2 3 250 238 265 242 248 4 258 255 236 245 261 5 254 256 246 242 247 6 256 258 259 262 263 7 8 平均速度 252.05 9 标准差 8.64185 10 样本数 20 11 12 t值 1.06087 13 2.093 值 t1,,/2 (2)计算样本平均速度，在单元格D8中输入公式: ,AVERAGE(B3:F6) 得到平均速度252.05. (3)计算标准差，在单元格D9中输入公式: ,STDEV(B3:F6) 得到标准差8.64185. (4)在单元格D10中输入样本数20. (5)在单元格D12中输入T检验值的: ,(D8-250)/(D9/SQRT(D10)) 得到t的值为1.06087. (6)在单元格D13中输入公式 ,TINV(0.05,19) 155 得到的值为2.093. t0.975 现在的检验问是: ; . H:,,250H:,,25001 拒绝域为,由上面的计算得到,因此检验的结果是不拒t,1.06087,t,2.093t,t0.9750.975 绝原假设. 即无充分证据显示支持引擎制造商声明. 3.2两个正态总体方差相等时均值差的t检验 为检验两个正态总体方差相等(但未知)时均值之差的假设: H:,,,,d0120 H:,,,,da120 所用的检验统计量为 ,,(xx)d120,(自由度为-2的t分布) tn，n1211，Swnn12 Excel在计算时，使用“工具”，“数据分析”，“t-检验:双样本等方差假设”，就得到输出结果. 0070C80C例7 某化工试验中要考虑温度对产品断裂韧度的影响，在，条件下分别 2作了8次重复试验，侧得断裂韧度的数据如下:(单位:Mpa/m) 070C时 20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2 080C时 17.7 2.03 20.0 18.8 19.0 20.1 20.2 19.1 断裂韧度可以认为服从正态分布. 若已知两种温度的方差相等， 1( 问数学期望是否可以认为相等(,,0.05), 2( 求两种温度时的数学期望差的置信区间(). ,,0.05o解 1.(1) 打开Excel的一个新工作表. 在单元格A1中输入标记“70C”，在单元格oooB1中输入标记“80C”. 从A2到A9输入70C时的数据，从B2到B9输入80C时的数 据. (2) 选定“工具”、“数据分析„”. (3) 选定“t-检验:双样本等方差假设”. (4) 选择“确定”，显示一个对话框. (5) 在“变量1区域”输入A1:A9. (6) 在“变量2区域”输入B1:B9. (7) 选中“输出区域”，并在框内输入D2，表示输出结果将放置于D2右下方的单元格 中. (8) 打开“标志”复选框. 如果在“变量1区域”输入A2:A9，在“变量2区域”输 入B2:B9，则不打开“标志”复选框. (9) 在“”内填临界值为0.05. ,(A), (10) 在“假设平均差”内填0. (11) 选择“确定”，得到结果如下表所示: A B C D E F G 1 70度C 80度C 2 20.5 17.7 t-检验: 双样本等方差假设 3 18.8 20.3 4 19.8 20 变量 1 变量 2 5 20.9 18.8 平均 20.4 17.1275 6 21.5 19 方差 0.8857143 0.828571 7 19.5 20.1 观测值 8 8 8 21 2.02 合并方差 0.8571429 156 9 21.2 19.1 假设平均差 0 10 df 14 11 t Stat 2.1602469 12 P(T<=t) 单尾 0.0242901 13 t 单尾临界 1.7613092 14 P(T<=t) 双尾 0.0485803 15 t 双尾临界 2.1447886 16 在单元格E11中，显示统计量t的值为2.160247，而在单元格E15中显示了临界值为2.14479，由于2.160247>2.14479，表示拒绝原假设: 认为两种温度下的数学期望不相等. 2.利用上图所示的结果，也可以得到两个正态总体方差未知(但相等)时均值差的区间估计. XYX,Y11,由于检验统计量,现在已知的值，因此. T,ST,X,Y，,wnnT1112S，wnn12 在单元格H5中输入 =(E5-F5)/E11 11显示0.46291(=)，再在单元格H6中输入 ，Swnn12 =H5*E15 11显示0.9928442(=),再在单元格H8中输入 S，,t(n，n,2)w1,,/212nn12 =E5-F5-H6 显示0.0071558(置信下限)，再在单元格H9中输入 =E5-F5，H6 显示1.9928442(置信上限)，因此得到均值差的置信区间为(0.0071558,1.9928442). 注解 在本例的Excel输出表中，单元格E12给出了单边检验时的p值:0.0242901，单元格E14给出了双边检验时的p值:0.0485803. P-值的定义是:在原假设成立的条件下，检验统计量取其观察值及比观察值更极端的值(沿着对立假设方向)的概率. P-值也称作“观察”到的显著性水平. P-值越小，反对原假设的证据越强. 通常若P低于5,，称此结果为统计显著;若P低于1,，称此结果为高度显著. 3.3两个正态总体方差是否相等的F检验 假设两总体服从正态分布，在均值未知时作两样本方差是否相等的检验: 22H:,,, 012 22H:,,, 012 检验统计量为 2s1(自由度为()的F分布) n,1,n,1F(n,1,n,1),12122s2 Excel在计算时，使用“工具”，“数据分析”，“F-检验:双样本方差”，就得到输出结果. 例8 由一台自动机床加工某型号零件，现在分别从同一月份上旬和下旬的产品中随意各取若干件，测定其直径，得如下数据(单位:mm) 上旬产品:20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9 下旬产品:19.7 20.8 20.5 19.8 19.4 20.6 19.2 假设刀具磨损是引起变化的唯一原因. 问检验结果是否表明加工精度显著降低了 157 (0.05)? ,, 解 (1) 打开Excel的一个新工作表. 在单元格A1输入“上旬产品”，在单元格B1输入“下旬产品”. 从单元格A2至A9输入上旬产品的数据，从单元格B2至B8输入下旬产品的数据. 选取“工具”、“数据分析„” (2) (3) 选取“F-检验:双样本方差”，选择“确定”. (4) “在变量1的区域”输入A1:A9. (5) “在变量2的区域”输入B1:B8. (6) 选中“输出区域”，并在框内输入D2，表示输出结果将放置于D2右下方的单元格 . 中 (7) 打开“标志”复选框. 如果在“变量1区域”输入A2:A9，在“变量2区域”输入B2:B8，则不打开“标志”复选框. (8) 在“”内填临界值为0.05. ,(A), (9) 选择“确定”，得到结果如下表: A B C D E F G 1 上旬产品 下旬产品 2 20.5 19.7 F-检验 双样本方差分析 3 19.8 20.8 4 19.7 20.5 上旬产品 下旬产品 5 20.4 19.8 平均 19.925 20 6 20.1 19.4 方差 0.216429 0.396667 7 20 20.6 观测值 8 7 8 19 19.2 df 7 6 9 19.9 F 0.545618 10 P(F<=f) 单尾 0.223098 11 F 单尾临界 0.258668 12 22计算出的F值为0.455618(=),注意单元格E11中给出的“F单尾临界”值为S/S12 0.258668,它是的查表值. 因为0.455618>0.258668，所以不拒绝原假设F(7,6)0.95 22. 因此检验结果认为下旬产品的加工精度未显著降低. H:,,,012 158