有理函数的积分

有理函数的积分 第四节 有理函数的积分 本节我们还要介绍一些比较简单的特殊类型函数的不定积分, 包括有理函数的积分以及可化为有理函数的积分, 如三角函数有理式、简单无理函数的积分等. 内容分布图示 ? 有理函数的积分 ? 例1 ? 例2 ? 例3 ? 例4 ? 例5 ? 例6 ? 例7 ? 例8 ? 例9 ? 例10 ? 有理函数的原函数 ? 三角函数有理式的积分 ? 例 11 ? 例 12 ? 例 13 ? 例 14 ? 简单无理函数的积分 ? 例 15 ? 例 16 ? 例 17 ? 例 18 ? 例 19 ? 例 20 ? 例 21 ? 内容小结 ? 课堂练习 ? 习题4-4 ? 返回 内容要点: 一、 有理函数的积分 1( 最简分式的积分 下列四类分式称为最简分式, 其中为大于等于2的正整数., 、、N、、、pqAMna 2均为常数, 且. p,4q,0 AA(1) ; (2) ; nx,a(x,a) Mx，NMx，N(3) ; (4) . 2n2(x，px，q)x，px，q 2( 有理分式化为最简分式的和 二、 可化为有理函数的积分 1( 三角函数有理式的积分: 由sinx、和常数经过有限次四则运算构成的函数称cosx R(sinx,cosx).为三角有理函数, 记为 2(简单无理函数的积分 求简单无理函数的积分, 其基本思想是利用适当的变换将其有理化, 转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明. 三、总结 本章我们介绍了不定积分的概念及计算方法. 必须指出的是:初等函数在它有定义的区间上的不定积分一定存在, 但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事. 事实上, 有很多初等函数, 它的不定积分是存在的, 但它们的不定积分却无法用初等函数表示出来, 如 2sinxdx,xdx ,,. edx,,,3x1，x 同时我们还应了解, 求函数的不定积分与求函数的导数的区别, 求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做, 而求一个函数的不定积分并无统一的规则可循, 需要具体问题具体分析, 灵活应用各类积分方法和技巧. 例题选讲: 有理式的分解 x，3例1(讲义例1)分解有理分式. 2x,5x，6 4例2 分解有理式 .42x，x2 1例3(讲义例2)分解有理分式. 2x(x,1) 1例4(讲义例3)分解有理分式. 2(1，2x)(1，x) 2x，2x,1例5 将分解为部分分式. 2(x,1)(x,x，1) 有理式的积分 1例6(讲义例4)求不定积分dx. 2,x(x,1) 1例7(讲义例5)求不定积分dx. 2,(1，2x)(1，x) 2，,x2x1例8 求不定积分 dx.2,,,，(x1)(xx1) 322x，2x，5x，5例9(讲义例6)求不定积分. 42,x，5x，4 1例10 求不定积分 dx.x/2x/3x/6,，，，1eee 注:本例表明, 求有理分式的不定积分时, 应先注意观察函数的特征, 看是否有比较简便的方法将有理分式化简. 在光盘中, 我们还给出了本例的另外两种解法, 供读者比较. 三角有理式的积分 xsindx.例11(讲义例7)求不定积分 ,，x，x1sincos 1dx例12(讲义例8)求不定积分. 4,sinx ，1sinxdx.例13 求不定积分 ,，sin3xsinx dx.例14 求不定积分 ,x，x3sin4cos x例15 求不定积分 dx.,，，，3x12x1 简单无理函数的积分 x例16(讲义例9)求不定积分dx. ,33x，1 1例17(讲义例10)求不定积分 dx,3(1，)xx 1例18 求不定积分 dx.,3，，，x1x1 1x，1例19 求不定积分. dx,xx 1x，1dx例20(讲义例11)求不定积分. ,xx,1 dx例21 求不定积分. ,2x，x，x，1 积分表的使用举例说明 课堂练习 求下列不定积分 4x，dx1dx(1);(2). 22,,x,x，x,(1)(1)5cos4