曲柄摇块机构动力学仿真

基于Matlab/SimulinkMatlab/SimulinkMatlab/SimulinkMatlab/Simulink的曲柄摇块机构动力学仿真 1.1.1.1.曲柄摇块机构介绍 本文以 Matlab/Simulink为研究平台，以曲柄摇块机构为研究对象，进行机械传动机构 的运动学特性分析。曲柄摇块机构（如图 1所示）有输入曲轴 1，连杆 2，滑块 3，导杆 4 和摆杆 5组成。输入曲轴是一个相位差为 120°的三相曲柄，连杆与滑块组成移动副，导杆 与滑块组成移动副，滑座与滑块组成转动副，并控制滑块的位置。导杆的右端与摆杆胶接。 曲柄回转时，导杆既绕着摇块的中心 C转动又做相对滑动，从而使摇杆绕输出轴的轴心线 摆动，通过摆杆式输出轴做单向脉动旋转而将动力输出。通过丝杆改变滑块座 6的位置，便 可改变摇杆的摆动角度，从而实现无级变速。 2.2.2.2.运动学的建模与仿真 如图 2所示的机构运动矢量图。规定个构件的转角θ1 ，θ2，θ5均以 X轴为起始线， 图 1 曲柄摇块机构示意图 图 2 曲柄摇块机构的运动矢量图 1 沿逆时针旋转为正向。曲柄长 lAB、摆杆长 lDE 、机架长（输入输出轴中心距）lAE均为常矢 量，当调速点 C沿 X轴移动到某一位置时，机架长 lAC、lCE也变成已知常矢量，曲柄转动 时 lBC、lCD为变长矢量，且 lBC，lCD始终共线。可列出以下矢量方程 0sinsinl 21 =+ θθ BCAB l CEDECD =+ 在 X轴和 Y轴上的投影为： 0sinsin 21 =+ θθ BCAB ll （3） ACBCAB lll =+ 21 coscos θθ （4） 方程（3）、（4）对时间 t求导得到： 0sincoscos 22211 =++ θωθωθ BCBCAB lll & 0cossinsin 22211 =+−− θωθωθ BCBCAB lll & 列为线性方程组为： ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞− =⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ − 11 112 22 22 sin cos cossin sincos ωθ ωθω θθ θθ AB AB BCBC BC l l ll l & 可从中求得 BC l &，2ω 。 其中： 2ω —为杆 BC的角速度 BCl& —BC杆长度的速度 对（3），（4）式求二阶导得到： 22 2 22 2 1111222 cos2ssincossincos ωθωθωθαθθαθ BCBCABABBCBC linlllll &&& +++−=+ 22 2 22 2 1111222 sin2coscoscoscossin ωθωθωθαθθαθ BCBCABABBCBC llllll +++=+− && 列为线性方程组为： ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −++ −++− =⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ − 22 2 22 2 1111 22 2 12 2 11112 22 22 sin2coscossin cos2sinsincos cossin sincos ωθωθωθαθ ωθωθωθαθ α θθ θθ BCBCABAB BCBCABAB BCBC BC llll llll ll l & & && 从中求得 2α 和 BCl&& 。 期中： 2α —为杆 BC的角加速度 BC l && —BC杆长度变化的加速度 同理根据 CEDECD =+ 可以求出 5ω 、 CDl& 和 5α 、 CDl&& 5ω 、 5α —为杆 BC的角速度和角加速度 CD l & 、 CD l && —CD杆长度变化的线速度和线加速度。列为线性方程组为： ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞− =⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ − 22 225 25 25 sin cos cossin sincos ωθ ωθω θθ θθ CD CD CDDE DE l l ll l & 从中可求得 5ω 和 CDl& 。 2 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 r a d 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 75 80 85 90 95 100 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 -6 -4 -2 0 2 4 6 x 104 ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −++ −++− =⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ − 22 2 55 2 2222 22 2 55 2 22225 25 25 sin2coscossin cos2sinsincos cossin sincos ωθωθωθαθ ωθωθωθαθ α θθ θθ CDDECDCD CDDECDCD CDDE DE llll llll ll l & & && 从中求得 5α 和 CDl&& SIMULINK主要利用加速度关系的矢量方程进行积分求解速度、位移。设 AB l =25mm， AC l =100mm， DE l =70mm， AE l =265mm， 1571 =ω rad/s, 01 =α 。利用前面的运动学方程可 计算出 t=0特殊时刻其他杆件的位置和速度分解为 01 =θ ， 02 =θ ， 05 =θ ； BCl =75mm， CD l =95mm； 333.352-2 =ω rad/s， 5ω =71.0238rad/s， BCv =0， 0=CDv 。将计算出的值代 入Matlab来求解加速度的运动方程，设定仿真的时间为 0.08秒（大约曲柄的两个工作 循环），可获得速度、加速度的运动仿真分析图（如图 3所示）。 图 3 角速度，角度，位置，角加速度随时间变化曲线 3 从图 3可以看出 452.0 1 max5 = ω ω ， 271.0 1 min5 −= ω ω ，摆杆角速度的正负值不对称， 即该机构为非对称机构。摆杆由最大位置摆向最小位置时，曲柄应转过 209°；摆杆由最小 位置摆向最大位置时，曲柄相应转过 151°。若取输出轴逆时针方向转动为工作输出（即角 速度为负时），则行程速比系数 1k =151°/209°=0.723；若输出轴顺时针方向转动为工作输 出（即角速度为负时），则行程速比系数 1k =209°/151°=1.384,此时机构具有机会运动。 3333 动力学建模与仿真 建立质心处的运动矢量图 （如图 4所示）以求出曲柄任意 转角时各构件质心处的加速度。 可以列出以下矢量方程： AR BC AB =+ 2 AS CD BCAB =++ 2 AT DE CDBCAB =+++ 2 对上式分别进行求导： 2 2222 2 22222 cos5.0sin5.0cossina ωθαθωθαθ BCBCABABx llll −−−−= 2 2222 2 22222y sin5.0cos5.0coscosa ωθαθωθαθ BCBCABAB llll −−−−= 2 2224 cos5.0sin5.0a ωθθ BCCDx ll −−= 2 222y4 sin5.0cos5.0a ωθθ BCCD ll −−= 2 5252 2 52525 cos5.0sin5.0sinsin ωθαθωθαθ DEDECDCDx lllla +−−−= 2 5252 2 52525 sin5.0cos5.0sincos ωθαθωθαθ DEDECDCDx lllla ++−−= 根据前面的机构运动分析，已经得到曲柄转角为 1θ 时连杆BC和连杆CD、摆杆DE的角速度 和角加速度分别为 5522 αωαω 、、、 ，设重力加速度为 g=9.8067。杆AB的质量为1kg；杆 BC的质量为1kg，杆CD的质量为1.4kg，杆DE的质量为1.5kg。BC、CD、DE的转动惯量分 别为0.01；0.02；0.03；杆DE上的扭矩为T等于0.5。根据图5各杆件受力分析列出下面的方程， 将这些方程与运动学方程和质心矢量方程联立，得出要求的矩阵方程。. 图 4 质心处的运动矢量图 4 图5 各杆件受力分析图 111212 1 ax 5.0cossincos 0 rgmFrF gmFF FF bxby byay bx ⋅=⋅−⋅⋅ =+ =+ θθθ 222222 221 22cx 5.0coscossin αθθθ IlgmlFlF amgmFF amFF BCBCbyBCbx ybycy xbx =⋅+⋅⋅+⋅⋅ =−− =+ 44422 444 44dx 5.0cossin αθθ IlgmlFlF amgmFF amFF CDCDdyCDdx ybycy xcx =⋅+⋅⋅+⋅⋅ =−− =+ 555555 555 55ex 5.0coscossin αθθθ IlgmTlFlF amgmFF amFF DEDEdyDEdx ydyey xdx =⋅++⋅⋅+⋅⋅− =−− =− 将前面的 22个方程转化成矩阵形式，求未知量： CDBCyxyxyxexdydxcycxbybxayax llaaaaaaTFeyFFFFFFFFF &&&& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 554422542 ααα 5 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −+ −+ −+ −+ −− −− − − − −− = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −− − +− + − −− + −− −− −− − − − − −− − − 22 2 55 2 22 22 2 55 2 22 22 2 22 2 11 22 2 22 2 11 2 52 2 52 2 52 2 52 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 55 5 24 4 22 2 111 1 5 5 4 4 2 2 5 4 2 252 252 22 22 22 22 2 2 22 22 555 5 5 422 4 4 222 2 1111 2 2 2 2 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 m 0 15.0 5.0 5.0 15.0 15.0 15.0 11 11 11 11 11 11 11 11 ωωω ωωω ωωω ωωω ωω ωω ω ω ω ωω α α α slclcl clslsl slclcl clslsl slsl clcl sl cl cl slcl lgcm gm lgcm gm lgcm gm rgcm g l l a a a a a a T F F F F F F F F F F cslsl sclcl csl scl clcl slsl cl sl clcl slsl ITclsl m m Iclsl m m Iclsl m crsr CDDECD CDDECD BCBCAB BCBCAB DECD DECD BC BC BC BCBC DE CD BC CD BC y x y x y x ey ex dy dx cy cx by bx ay ax DECD DECD BC BC CDCD CDCD CD CD BCAB BCAB DEDE CDCD BCBC & & & & && && 建立此矩阵的 m文件并在 simulink中将其添加到函数中，最后仿真得到的图形如图 6 和 7，图中给出了个铰接处受力的大小和方向随时间的变化关系。 通过对曲柄摇块机构进行运动和动力分析，推导出各构件加速度关系的闭环矢量方程和 所受力与力矩的齐次线性方程组，并利用 Simulink仿真工具建立运动和动力学仿真模型， 可求各构件所受的支座反力和输出转矩，最终获得曲柄摇块机构的运动和动力仿真分析图。 6 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 105 图 7 各铰接点受力方向 图 6 各铰接点受力大小