垂直平分线

垂直平分线 线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解: 1、线段垂直平分线的性质: (1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学示:如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD,BD，若点C在直线m上， 则AC,BC. 定理的作用:证明两条线段相等 C (2)线段关于它的垂直平分线对称. m课堂笔记: 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理: DAB 图1 (1)线段垂直平分线的逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD,BD，若AC,BC，则点C 在直线m上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. C课堂笔记: m3、关于三角形三边垂直平分线的定理 DAB (1)关于三角形三边垂直平分线的定理: 图2 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. ijk,,ijk,, 定理的数学表示:如图3，若直线分别是?ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线 相交于一点O，且OA,OB,OC.定理的作用:证明三角形内的线段相等. (2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系: 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形，则它 三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三 角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形;三角形三 边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在 三角形外部，则该三角形是钝角三角形. A ki O BC 图3j 经典例: 例1、如图1，在?ABC中，BC,8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，?BCE的周长等于 18cm，则AC的长等于( ) A(6cm B(8cm C(10cm D(12cm 课堂笔记: 针对性练习: 已知:(1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果?EBC的周长是24cm， 那么BC= (2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么?EBC 的周长是 (3)如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果?A=28度，那么 ?EBC是 A 例2. 已知: AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证:BE=CE。 课堂笔记: D E B C 针对性练习: 已知:在?ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC求证:点O在BC的垂直平分线。 B A N O B C 例3. 在?ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50?，?ABC的底角?B 的大小为_______________。 课堂笔记: 针对性练习: 1. 在?ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40?，则底角B的大小__。 例4、如图8，已知AD是?ABC的BC边上的高，且?C,2?B，求证:BD,AC，CD. 证明:在BD上取一点E，使DE,DC，连接AE，则AE,AC， B A课堂笔记: 图8DCB 课堂练习: 1.如图，AC=AD，BC=BD，则( ) A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分?ACB D.以上结论均不对 2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有( ) ?线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;?线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;? 经过线段中点的直线只有一条;?点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的 垂直平分线;?过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.?ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么?DBC的周长是( ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 5.已知如图，在?ABC中，AB=AC，O是?ABC内一点，且OB=OC，求证:AO?BC. 6.如图，在?ABC中，AB=AC，?A=120?，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证:CM=2BM. 课后作业: 1. 如图7，在?ABC中，AC,23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，?ACE的周长为50，求 A BC边的长. D E图7BC 2. 已知:如图所示，?ACB，?ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证:CP=DP。 B线段的垂直平分线与角平分线(2) D E知识要点详解 F4、角平分线的性质定理: O图4CA角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4，已知OE是?AOB的平分线，F是OE上一点，若CF?OA于点C，DF?OB于 点D，则CF,DF. 定理的作用:?证明两条线段相等;?用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 课堂笔记: 5、角平分线性质定理的逆定理: 角平分线性质定理的逆定理:在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5，已知点P在?AOB的内部，且PC?OA于C，PD? B D OB于D，若PC,PD，则点P在?AOB的平分线上. P定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 图5AOC注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 课堂笔记: A6、关于三角形三条角平分线的定理: F (1)关于三角形三条角平分线交点的定理: RQI 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. E 定理的数学表示:如图6，如果AP、BQ、CR分别是?ABC的内角?BAC、?ABC、 图6DPBC ?ACB的平分线，那么: ? AP、BQ、CR相交于一点I; IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI,EI,FI. ? 若ID、 定理的作用:?用于证明三角形内的线段相等;?用于实际中的几何作图问题. (2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系: 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图: (1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线; (3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 课堂笔记: 经典例题: 例1、 已知:如图，点B、C在?A的两边上，且AB=AC，P为?A内一点，PB=PC， PE?AB，PF?AC，垂足分别是E、F。求证:PE=PF 课堂笔记: F B P AEC 针对性练习: 已知: PA、PC分别是?ABC外角?MAC和?NCA平分线，它们交于P，PD?BM于D，PF?BN于F，求证: BP为?MBN的平分线。 例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB?CD，AB?BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分?ADC， DC 求证:AE平分?BAD. F课堂笔记: E 针对性练习: A图10B 如图所示，AB=AC，BD=CD，DE?AB于E，DF?AC于F，求证:DE=DF。 例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分?ABC，且?BAD与?BCD互补，求证:AD,CD. 课堂练习: 1. ?ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，?EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。 2. 如图所示，AB//CD，O为?A、?C的平分线的交点，OE?AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离 等于______________。 DC A B B E M O E C D BA 0 ,、已知:如图，?B=?C=90，DM平分?ADC，AM平分?DAB，求证:MB=MC E B D A C F 课后作业: 1.如右图，已知BE?AC于E，CF?AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证:AD平分?BAC. 2. 如图所示，直线表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公 lll，，123 路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 l l 31 l2 M中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用: 一、回顾: P1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理: 定理:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上. ACB2、 角平分线的性质定理及其逆定理: 定理:在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. N逆定理:在一个角的内部(包括顶点)且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上. BE 1CO2P DA 3、等腰三角形的性质: 等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。 三线合一:等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论: 等腰三角形的两底角的平分线相等; 两条腰上的中线相等; 两条腰上的高相等。 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 4、 等腰三角形的判定: 等角对等边:有两个角相等的三角形是等腰三角形 二、典型例题讲解: 1、已知:如图所示?ABC，?ACB=90?，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M 为垂足，DE交AC于F，求证:E在AF的垂直平分线上. A E F DBMC o 2、如图，已知:CD、CE分别是AB边上的高和中线，且。求证:，,ACB90 ，,，,，ACEECDDCB C EDBA oo 3、如图，已知:在，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD。 ,，,，,ABCCA中,90,30 求证:AF=FG=BG C D MN GBAEF 4、如图，已知:在?ABC，?ACB=90?，CD?AB于D，EF?AB于F，且CE=EF。求证:FG//AC C E G FDBA 5、如图，在，OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线，，，OBCOCB,的平分线相交于点I， ,ABC中 判断OI与BC的位置关系，并证明你的判断。 A EFO I CB ，，BACCBF与 6、如图，已知:的平分线相交于P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、 AB的延长线于E、F，G、H为垂足;求证:BF=CE E GCP H AFB 课堂随练: 1、如图14,73所示，在?ABC中，?C=90?，?BAC=60?，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E， 若CE=3cm，求BE的长. 2、如图14,74所示，在Rt?ABC中，?C=90?，?B=15?，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M， N.求证MB=2AC. 3、如图14,97所示，CE是?ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角?ACG的 平分线于点F.试证明DE=DF. 4、如图，C是线段AB上的一点，?ACD和?BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于 O，求证:(1)?AOB,120?; (2)CM,CN; (3)MN?AB