受迫振动的共振现象

受迫振动的共振现象 () 文章编号 :100826730 20000220019203 Ξ 受迫振动的共振现象 蔡红颖 ()金华教育学院 物理系 ,浙江 金华 321000 摘 要 : 对力学中遇到的受迫振动的各类共振现象进行了具体分析和深入讨论 ,给出了相应的共振频 率 ,指出了其结论可移植到对应的系统中去. 关键词 : 受迫振动 ; 共振 ; 共振频率 中图分类号 :O21 文献标识码 :A 受迫振动是指在连续的周期性外力作用下发生的一种振动状态 ,它具有广泛的应用背景. 关于受迫 振动的共振问题 ,一般的力学教材仅限于讨论位移共振时固有频率不共振频率的关系. 本文就力学中遇 到的几种共振现象进行深入的讨论. 1 受迫振动的动力学方程和稳定解 d X γ ω设质量为 m 的质点 , 在弹性力 - k X , 阻力 - 和强迫力 Fco st 作用下作受迫振动 , 其运动微 0d t 分方程为 2 dX d X 2 )( β ωω1 + 2X = hco st+ 0 2 d t d t Fγ k 02 β ω其中 = , 2= , h =0 m m m () 根据微分方程的理论 ,方程 1的解为 β- t 2 2 )( ( ωβα) (ωφ)2 X = A e co s - t + + X co s t + 0 0 稳定解为 (ωφ)( )X = X co s t + 3 0 其中 h ( )4 X = 0 2 2 2 22(ωω) βω - + 40 ωβ - 2φ ( )5 = arctan2 2 ωω - 0 2 共振分析 为了描述受迫振动的状态 ,可选择位移 、速度 、加速度为运动参量 ,也可选动能 、势能和总能量为动力学参量 ,研究它们随激扰频率的变化关系 ,可讨论位移共振 ,速度共振 ,加速度共振 ,能量共振等. 显 211 位移共振 () 发生位移共振时 , X 达到最大值. 利用求极值的方法 ,由 4求导 0 d h ( ) = 0 2 2 2 22ω d(ωω) βω- + 4 0 可求得共振频率为 2 2ωωβ= - 2 0 A 明发生位移共振时 ,其共振频率小于系统固有频率. 212 速度共振 () 从 3可求出质点的振动速度为 ω(ωφ) (ωφ) (ωv = - X sin t + = - v sin t + = v co s t + 0 0 0其中 ω h v = 0 2 2 2 22(ωω) βω- + 4 0 为受迫振动的最大速度. 发生速度共振时 , v 达到最大值 ,同样按照求极值的方法 ,令0 ω d h) ( = 0 2 2 2 22ω d(ωω) βω- + 4 0 () 对 10求解 ,可得速度共振频率 ωω= v0表明发生速度共振时 ,共振频率等于系统的固有频率. 213 加速度共振 () 由 3可求出质点的加速度为 2 ω(ωφ) (ωφ)a = - X co s t + = - aco s t + 00 π (ωφ = asin t + + ) 0 2 2 ωh 其中 a=为受迫振动的最大加速度. 0 2 2 2 22(ωω) βω- + 4 0 发生加速度共振时 , a达到最大值. 同样按照求极值的方法 , 令 0 2 ω hd ( ) = 0 2 2 2 22ω d(ωω) βω- + 4 0 () 对 13求解 ,可得加速度共振频率 2 ω0 2 2ωβω= ? + 2 0 a2 2 ωβ- 2 0 表明发生加速度共振时 ,其共振频率大于系统的固有频率. 214 能量共振 () () 利用 3和 8,可求得受迫振动质点的动能 、势能和总能量为 π 1 1 2 2 2 2 ω (ωφ m v = mX co s t + +)E = 0K 2 2 2 1 2 2ω( ωφ π) mX 〔1 + co s 2t + 2+ 〕 = 0 4 势能为 1 1 2 2 2 2 ω(ωφ)E= k X = mX co s t + p 0 0 2 2 1 2 2ω( ωφ) = mX 〔1 + co s 2t + 2〕 0 0 4 总能量为 1 1 2 2 2 2 2 2 ( )(ωω ) (ωω ) ( ωφ)17 m + X + m - X co s 2t + 2E = E+ E= 0 0 0 0k p 4 4 ω由上面动能 、势能和总能量的表达式可以看出 ,它们的大小是强迫力的力幅 F, 频率 以及系统所 0 βωβω受的阻尼系数 和系统的固有频率等因素的函数 , 对同一个阻尼振子在 F、、不变的情况下 , 能 量0 0 0 将随强迫力的频率而变 , 使系统的平均能量取得最大值 , 就产生能量共振. 受迫振动的平均能量分别为 T T π 1 1 1 1 2 2 2 2 ω (ωφ ) ω ( )X co s t + + d tmX mE d t18 = = E = 00K K ??TT2 2 4 00 T T 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( )ω(ωφ) ω19 d t KX = X co s t + d t =mX mE= 0 00 0p ??2 2 4 TT 00 1 2 2 2 ωω ) ( E = E + E= m + X ( ) 20 K p 0 04 d Ed E pd E Kωωω= 0 , 设 、、分别为使能量 E、 E、 E 共振的共振频率 , = 0 , = 0 可求得k p E k p ωω ω ddd ω( )ω21 = k0 2 2ωβω- 2 ( )= 22 0 p ωω)( )ω( ω23 = 2- E0 0 f 其中 2 2ωβω- ( )= 24 0 f 为阻尼振动的圆频率. 表明平均动能的共振频率不速度共振频率相同. 平均势能的共振频率不位移共振频率相同 ,而平均 能量共振频率却是一个特定的值 ,其定性分析可参见文献 2 . 3 结论 本文我们就受迫振动的各类共振现象和原子光谱的共振现象不力学系统的共振很相似 ,因此 ,上述 结论可移植到对应的系统中去. 参考文献 : 1 漆安慎 ,杜婵英. 力学基础. 北京 :高等教育出版社 ,1992 . () 2 孟现磊. 大学物理. 1996 , 8. Resonance of the Forced Vibrat ion CA I Ho ng2ying ()J inhua Educatio n College , J inhua Zhejiang 321000 ,China Abstract :In t his paper , t he various reso nances of t he forced vibratio n in mechanics are analysed and discussed. The reso nant f requency are given. It is p resented t hat result can be t ransplanted into t he correspo nding system. Key words :forced vibratio n ; reso nance ; reso nant f requency