2014高考数学（理）黄金配套练习9—6

2014高考数学（理）黄金配套练习9—6 第九章 9.6第6课时 2014高考数学(理)黄金配套练习 一、选择 22225xyyx22221(给定四条曲线:?x，y,;?，,1.其，,1;?x,1;?，y29444 中与直线x，y,5,0仅有一个交点的曲线是( ) A(??? B(??? C(??? D(??? 答案 D 22xy(直线y,kx,k，1与椭圆2，,1的位置关系为( ) 94 A(相交 B(相切 C(相离 D(不确定 答案 A 解析 ?直线方程可化为y,1,k(x,1)( 恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，选A. 13(如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为，F为椭圆左焦点，直线AB与2 FC交于D点，则?BDC的正切值是( ) A(,33 B(3,3 C(33 D(3，3 答案 A 1解析 ?e,?a,2c 2 3222?a,b，c ?b,3c,a 2 b3?tan?ABO,, a2 btan?DFB,tan?CFO,,3 c ?tan?BDC,,tan(?ABO，?DFB) 3，32,,,,33，选A. 31,?32 4(椭圆的焦点为F，F，过F的最短弦PQ的长为10，?PFQ的周长为36，1212 则此椭圆的离心率为( ) 3126A. B. C. D. 3333答案 C 解析 PQ为过F垂直于x轴的弦， 1 2b则Q(,c，Q的周长为36， )，?PF2a ?4a,36，a,9， 222,cab由已知,5，即,5， aa 又a,9，解得c,6， c22解得,，即e,. a332y25(设直线l:2x，y，2,0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x，,1的4 1交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使?PAB的面积为的点P的个数为( ) 2 A(1 B(2 C(3 D(4 答案 B 解析 由已知求得l′:2x，y,2,0与椭圆两交点分别为长、短轴端点，其中 A(0,2)，B(1,0)，?|AB|,5. S5?ABP?顶点P到底边AB的距离h,,. 15|AB|2 5设与直线l′平行且距离为的直线l″: 5 2x，y，c,0(c?,2)( 由两平行直线间距离公式，得 |c,(,2)|c，2|5d,,,. 22552，1 ?c,,1或c,,3. 两平行线为2x，y,1,0,2x，y,3,0. 2x，y,1,0，,,2,联立? y2x，,1， ,4, 2x，y,3,0，,,2,? y2x，,1. ,4, 对于方程组?，Δ>0，直线与椭圆有两个交点(对于方程组?，Δ<0，直线12与椭圆无交点( 综合知，满足题意的点P有2个，如图所示( 22xy6(若AB是过椭圆，,1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且22ab AM、BM与坐标轴不平行，k、k分别示直线AM、BM的斜率，则k?kAMBMAMBM ,( ) 2222cbcaA(, B(, C(, D(, 2222aabb 答案 B 解析 解法一(直接法):设A(x，y)，M(x，y)， 1100 则B(,x，,y)， 1122,y，y,yyyy011010则k?k,?, AMBM22x,xx，xx,x01010122bb2222(,x，b),(,x，b)2201aa, 22x,x012b,,. 2a 解法二(特值法):因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(,a,0)，M(0，b)，可2b得k?k,,. 2AMBMa 二、填空题 22xy17(过椭圆，,1(a>b>0)的焦点F作弦AB，若|AF|,d，|FB|,d，那么，2212abd1 1的值为________( d2 2a答案 2b 解析 法一(特殊值法):令弦AB与x轴垂直 2b112ad,d,，,. ，?212addb12 法二:设AB的方程为y,k(x,c) 2222222?bx，ak(x,c),ab,0 22222222222?(ak，b)x,2akcx，akc,ab,0 2222222kc,abakc2a?x，x,，x?x, 1212222222ak，bak，b ，x)2a，e(x1112?，, dd(a，ex)(a，ex)121222c2akc2a，?222aak，b2a,,. 22bc2a，c(x，x)，?x?x22121a22xy8(若直线y,kx，1(k?R)与焦点在x轴上的椭圆，,1恒有公共点，则t5t 的范围为__________( 答案 [1,5) 22xy9(以椭圆，,1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是________( 164 答案 x，4y,5,0 411解析 ?由点差法知，从M(1,1)为中点弦的斜率k,,?,,. 1614 1?弦的直线方程为y,1,,(x,1)( 4 10. 22xy已知椭圆，,1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的22ab 长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则 椭圆的离心率为____( 2答案 2 解析 如图，因为四边形PAOB为正方形，且PA、PB为圆O的切线，所以 c2?OAP是等腰直角三角形，故a,2b，所以e,,. a22211(椭圆mx，ny,1与直线y,1,x交于M、N两点，原点O与线段MN的 2m连线的斜率为，则的值是________( 中点P2n 2答案 2 y,1,x，,,解析 由消去y， 22 mx，ny,1., 2得(m，n)x,2nx，n,1,0， nm则MN的中点P的坐标为(，)， m，nm，n m2?k,,. OPn2 三、解答题 2x212(已知椭圆,1及点B(0，,2)，过左焦点F与B的直线交椭圆于C、，y12 D两点，F为其右焦点，求?CDF的面积( 22 ?F,(,1,0) 解析1 ?直线CD方程为y,,2x,2， y,,2x,2,,2,由 x2,1，y ,2, 2得9x，16x，6,0，而Δ>0， 设C(x，y)，D(x，y)， 1122 16x，x,,,12,9 则 ,2 x?x,12,,3 22|CD|,1，k(x，x),4xx， 1212 162102?|CD|,5(),4×,2. 939 45F到直线DC的距离d,， 25 14故S?CDF,|CD|?d,10. 2292x13(在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆，22y,1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围; (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k， ???使得向量OP，OQ与AB共线,如果存在，求k值;如果不存在，请说明理由( 解析 (1)由已知条件，直线l的方程为 y,kx，2， 代入椭圆方程得 2x2,1， ，(kx，2)2 122整理得(，k)x，22kx，1,0? 2 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 1222Δ,8k,4(，k),4k,2>0， 2 22解得k<,或k>.即k的取值范围为 22 22(,?，,)?(，，?)( 22 ??(2)设P(x，y)，Q(x，y)，则OP，OQ,(x，x，y，y)，由方程?， 11221212 ,42k,? x，x1222k1， 又y，y,k(x，x)，22? 1212 ??所以OP，OQ与AB共线等价于 x，x,,2(y，y)， 1212 2将??代入上式，解得k,. 2 22由(1)知k<,或k>，故没有符合题意的常数k. 22 114(已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过A(0,2)、B(，2)( 2(1)求椭圆C的方程; ??(2)设过E(1,0)的直线l与C交于两个不同点M、N，求EM?EN的取值范围( 22解析 (1)设椭圆C的方程为mx，ny,1， 1由椭圆C过A(0,2)、B(，2)得: 2 1m,2,,2,,m()，2n,12,,?. 1n, ,,4n,14,, 22?椭圆C的方程为:8x，y,4. (2)当过E(1,0)的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意， ?设直线l的方程为:y,k(x,1)，l与曲线C交于M(x，y)、N(x，y)， 1122 y,k(x,),2222,由)x,2kx，k,4,0， ?(8，k22 8x，y,4, 4222Δ,4k,(8，k)(k,)>0?k<8 2,2k,x，x,1228，k? ,2,4k ,xx,122,8，k ??EM,(x,1，y)，EN,(x,1，y)， 1122 ???EM?EN,(x,1，y)?(x,1，y),xx,x,x，1，yy,xx,x,x，1，11221212121212222,4)k(1，k2k2822k(xx,x,x，1),(1，k)(,，1),,4,. 12122222k，8k，8k，8k，8 19??2?0?k<8，?EM?EN的取值范围是[，)( 242215(设A、B是椭圆3x，y,λ上的两点，点N(1,3)是弦AB的中点，弦AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点( (1)求弦AB所在直线的方程，并确定λ的取值范围; (2)求以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程( 解 (1)设A(x，y)，B(x，y)，则有 1122 223x，y,λ,11,,x)(x，x)，(y,y)(y，y),0. ，整理得3(x1212121222 3x，y,λ,22 ,y，x)y3(x1212由题意知，x?x，?k,,,. 12ABx,xy，y1212?N(1,3)是弦AB的中点， ?x，x,2，y，y,6，?k,,1，?弦AB所在直线的方程为y,3,,(x1212AB ,1)，即x，y,4,0. 22又N(1,3)在椭圆内，?λ>3×1，3,12， ?λ的取值范围是(12，，?)( (2)?弦CD垂直平分弦AB，?弦CD所在直线的方程为y,3,x,1，即x,y ，2,0， 2将其代入椭圆的方程，整理得4x，4x，4,λ,0.? 设C(x，y)，D(x，y)，弦CD的中点为M(x，y)，则x、x是方程?的两33440034根， 11313?x，x,,1，?x,(x，x),,，y,x，2,，即M(,，)( 340340022222 13|,，,4|2232?点M到直线AB的距离d,,，?以弦CD的中点M为圆心2221，1 13922且与直线AB相切的圆的方程为(x，)，(y,),. 222 拓展练习?自助餐 22xyxy1(直线，,1与椭圆，,1相交于A、B两点，椭圆上的点P使?ABP43169 的面积等于12，这样的点P共有( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 答案 B 解析 可求出|AB|,5，设P(4cosθ，3sinθ)， 所以P点到AB的距离 (cosθ，sinθ),12|24d,, 55 3π?θ,π或，所以这样的点P有两个( 222xy2(椭圆，,1(a,b,0)与直线x，y,1交于P、Q两点，且OP?OQ，其22ab 中O为坐标原点( 11(1)求，的值; 22ab 32(2)若椭圆的离心率e满足?e?，求椭圆长轴的取值范围( 32 解析 (1)设P(x，y)，Q(x，y)，由OP?OQ?xx，yy,0，?y,1,x，1122121211y,1,x，代入上式得:2xx,(x，x)，1,0? 22121222xy又将y,1,x代入，,1 22ab222222?(a，b)x,2ax，a(1,b),0， 22a?Δ,0，?x，x,， 1222a，b 22(1,b)a11xx,代入?代简得，,2. 221222aba，b22222cb1b11b2a22(2)?e,,1,??1,??? ?，又由(1)知b, 22222aa3a22a3,12a 11253562?????a?， ??? a22222342a,1 ?长轴2a?[5，6]( 3(在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，,3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y,kx，1与C交于A，B两点( (?)写出C的方程; ??(?)若OA?OB，求k的值( 解析 (?)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，,3)，(0， 223)为焦点，长半轴为2的椭圆(它的短半轴b,2,(3),1. 2y2故曲线C的方程为x，,1. 4 (?)设A(x，y)，B(x，y)，其坐标满足 11222y,2,x，,1，4, ,y,kx，1., 22消去y并整理得(k，4)x，2kx,3,0. 2k3故x，x,,x,,，x. 121222k，4k，4 ??若OA?OB，即xx，yy,0. 12122而yy,kxx，k(x，x)，1. 1212122233k2k于是xx，yy,,,,，1,0. 1212222k，4k，4k，4 12化简得,4k，1,0.所以k,? 2 22xy64(已知椭圆C:，,1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的22ab3 距离为3. (1)求椭圆C的方程; 3(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求2?AOB面积的最大值( 解析 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意 c62,,，x2a3，?b,1，?所求椭圆方程为,1. ，y,3 ,a,3 (2)设A(x，y)，B(x，y)( 1122 ?当AB?x轴时，|AB|,3. ?当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y,kx，m. |m|33222由已知,，得m,(k，1)(把y,kx，m代入椭圆方程，整理得(3k2241，k 22，1)x，6kmx，3m,3,0， 2,),6km(m?x，x,x,，x. 1212223k，13k，1 222?|AB|,(1，k)(x,x) 21222,)(mm36k，，2,,,(1，k), 222(3k，)3k，1，，2222212(k，)(3k，1,m)，)(9k，1)(k,, 2222(3k，1)(3k，)212k12,3，,3，(k?0) 4219k，6k，129k，，62k 12?3，,4. 2×3，6 132当且仅当9k,，即k,?时等号成立( 2k3 当k,0时，|AB|,3，综上所述|AB|,2. max?当|AB|最大时，?AOB面积取最大值( 133S,×|AB|×, max222