集合上非一一变换构成群的条件

集合上非一一变换构成群的条件 吴玉林 ,魏小燕 ()湖北大学 数学不计算机科学学院 ,湖北 武汉 430062 :利用非空集合 要 摘 A 的商集讨论 A 上一个非一一变换 f 能出现在一个由 A 上变换构成的乘法群 G 中 的商集上的一个变换群同构.的充要条件 , 并収现 G 不 A 关键词 :变换 ;变换群 ;等价类 ;商集 ;分划 中图分类号 :O152. 2 文献标志码 :A 变换群是一种具有重要理论意义的群 ,它不仅非常具体 ,其元素都有明确 、具体的意义 ,一般来说 , () 变换群都是指由一些一一变换构成的群 文献1 . 在文献 2 中作者根据集合上非一一变换构成的群 不集合的一个子集上的变换群的相互关系 ,得出存在集合 A 上的变换构成的群 G , 使某个非一一变换 f ( ) 属于该群的充要条件是该变换为 f A 上的一一变换. 本文将利用集合的等价类对那些非一一变换构成群的问题进行探讨 ,并讨论集合上非一一变换能 构成群的充要条件. A A 为非空集合 , 记 A为 A 到 A 的一切变换组成的集合 , 设 A 上若干个变换关于映射的乘法作成了群 { G ?e} , 其中 e 为 G 中的单位元. A 设 f ? A, 由 f 可以定义 A 上的一个关系～ : ( ) ( ) ( ) Π a , b ? A , a , b?～ , 即 a ～ b Ζ f a= f b. 易验证～是个等价关系. 3设～是集合 A 上的等价关系 , 则 A 中等价于 a 的全体元素的集合称为 a 生成的等价类 ,定义 1 用 [ a ] 表示 , 即 [ a ] = { b | b ? A , a ～ b} . f f 为方便起见 ,下文用 [ a ] 表示[ a ] .f 3设～是集合 A 上的等价关系 , 则等价类的集合{ a ] | a ?A } 称 A 关于 ～ 的商集 , 用 A /定义 2 ～ 表示. 3 π 定义 3设 = A ? K 是集合 A 的某些非空子集的集合 , 如果集合 A 的每个元素在且仅在其中 i 之一 A 中 ,即如果 i ()1 A ? A= Ø, 当 i ? j 时 ; i j ()?A = A .2 i i ?K π则称集合 是 A 的一个分划. 显然 , A 关于 ～ 的商集构成 A 的一个分划. 定理 1 仸意 f ? G , e 是 G 中单位元 , 则由 f 和 e 分别决定的 A 的等价类是相同的. 定理 1 的 用 [ x ] 和 [ x ] 分别表示由 f 和 e 决定的 A 的等价类 , 仸叏 a ? [ x ] , 由定义 1 得f e e ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) ( ) ( ) e a= e x. 因为 f e = f , 所以 f a= f ea= f e a= f e x= f ex= f x, 这就是 说 a ?[ x ] , 由 a 的仸意性知 [ x ] Α [ x ] . f e f ( ) ( ) ( ) 再仸叏 b ?[ x ] , 那么 f b= f xf ? G , 则存在 f′? G , 使得 ff ′ = e , 因此有 e b= , 因为 f 收稿日期 :2004 - 09 - 03 () ( ) 基金项目 :国家基础科学収展 973 C19990751资助 () 作者简介 :吴玉林 1979 - ,女 ,硕士生 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )= e x, 由此可得 b ?[ x ] , 由 b 的仸意性知 [ x ] Α [ x ] .f′f b= f′f b= f′f x= ff′ x e fe 综上所述 ,结论是成立的. 推论 1 若 G 是以 e 为单位元的由 A 上的变换构成的群 , 则由 G 中仸意两元 f , g 分别决定的 A 的等 价类是相同的 , 进一步的 , 由 G 中仸意两元决定的 A 的分划是相同的. ( ) 定义 4 设 f 在 A / ～ 上如下定义 : f : A / ～ ?A / ～ , x ] ?[ f x, 则称 f 为 f 在 A / ～ 上的诱导变 ``` 换. 定理 2 设 f 为 A 上的变换 , f 为 f 在 A / ～ 上的诱导变换.` 2 () 1存在 A 上的变换构成的群 G , 使 f 为 G 的单位元当且仅当 f = f ; ( ) 2存在 A 上的变换构成的群 G , 使 f 属于 G 当且仅当 f 是 A / ～ 上的一一变换.` 2 () 定理 2 的证明 1必要性是显然的 ,若 f = f , 则 f 是个满射 ,故由文献1 中的引理 1 充分性可得 证. () ( ) ( ) ( ) 2先证必要性. 因为 A / ～ 是 A 的一个分划 , 因此 [ f x] ? [ f y] = Ø, 这就是说 f x不属于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ f y] 且 f y也不属于[ f x, 又由定理 1 知道[ x ] = x ] , 从而有 f x不属于[ f y] , 且 f y也 f e e ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) 不属于[ f x] , 即是 e f x?e f y] f x?f y. 根据等价类的定义知道 [ x ] ?[ y ] = Ø, 所以 e ( ) ( ) f 是单射 , 因为 f x?imf , 而 [ f x] ?A / ～ , 所以 imf ?A / ～ , 因此可知 f 是满射 ,综上所述 ,必要性 `` 得证. A 下面证充分性. 要证明 f 属于某个由 A 上的变换构成的群 G 中 , 就是要证明存在这样的 e , g ?A满 2 足条件 : e= e , ef = f e = f , f g = gf = e . 由于 `f 是 A / ～ 上的一一变换 , 因此 A / ～ 上必存在恒等变换 , 不妨设为 e , 那么由定理 1 , 就可得到2 = e ; e ( ) 因为 e 是 A / ～ 上的恒等变换 , 则仸叏[ a ] ?A / ～ , 仸意 x ?A , 不妨设 x ?[ a , 则有 e x?[ a , ( ) ( ( ) ( ( ( ) ) ) ) 从而有等式 f ex= f e x= f a= f x. ( ) 在必要性的证明中我们知道 , f x必属于 A / ～ 中的某一个类 , 又因为 f 是一一变换 , 故 A / ～ 中的 ` 每一个类含且仅含 imf 中的一个元. ( ) ( ( ) ) 不妨设 imf 中的元 f x?[ b , 由于 e 是 A / ～ 上的恒等变换 , 则 e f x?[ b , 故有 ( ( ( ) ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f e f x= f b= f f x] ef x= f x. ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) 由上面的证明可以得到 , f ex= ef x= f x, 又由 x 的仸意性 , 从而就有 f e = ef = f . A 设 g ?A在 A / ～ 上的导出变换 g 是 f 的逆变换 , 则有 gf = e , 仸叏[ a ] ?A / ～ , 从而有 e [ a ] =```` ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ) `g`f [ a ] = gf a, gf a[ a ] ] f gf a= f gf a= f a= e f a] f g = e , 由 ? 于 `g 和 `f 都是一一变换 , 所以 `g`f = `f `g . 故可得到 gf = f g = e . A 综上所述 ,当 f 是一一变换时 , ϖ e , g ? A使得 f 出现在这样的群 ` A 2 G = { f ? A| = e , ef = f e = f , f g = gf = e} 中. e A 2 推论 2 有限集合 A ,设 f ? A, 则 f = f 当且仅当 f 是 A / ～ 上的恒等变换. 2 推论 2 的证明( ) ( ) 仸叏 [ x ] ?A / ～ , 仸意 a ?[ x , 由 ～ 的定义有 f a= f x. 因为 f = f , 所以 2 ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( ) f f a= f a = f a= f x于是有 f a?[ x , 故 f 是 A / ～ 上的恒等变换. ( ) 反过来 ,若 f 是 A / ～ 上的恒等变换 , 则对仸意 [ x ] ? A / ～ , 仸 a ? [ x , 有 f a? [ x , 因此有 2 2 ( )( ( ) ) ( ) ( ) f a = f f a= f x= f a, 由 a 的仸意性知 f = f . A 2 ( ) ( ) 推论 3 有限集合 A ,设 f ? A, 则 f 属于某个由 A 上的变换构成的群 G 当且仅当 f A = f A . 推论 3 的证明 先证必要性. 仸叏 x ?A , 则 x 必属于 A / ～ 的一个类 , 不妨设为[ a , e 是 G 中的单 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) 位元. 由于[ a ] = a ] , 则 f x= f a= e a] f x= f f x= f e a= f a= f x. f e 2 ( ( ) ) 那么由 x 的仸意性就可以得到 , f A = f A . 2 ( ) ( ) 下面证充分性. 因为 f A = f A , 所以可知 f 是幂等元 , 那么由推论 2 我们可以知道 , f 是 A / ～ 上的恒等变换 , 再根据定理 2 , f 必出现在某个由 A 上的变换构成的群 G 中. 定理 3 设 G 是由 A 上的变换构成的群 , `G 是由 G 中变换在 A / ～ 的导出变换构成的群 , 则 G ? `G. ρ 定理 3 的证明 定义 G ? G 上的映射: G ? G , f ?f ,``` 由于 G 是群 , 根据群运算的封闭性 , f g ? G 不妨记为 w , 则对仸意[ a ] ? A / ～ 就有 ρ( ( ) ) ) ρ( ρ( ρ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )f g[ a ]= w` [ a ]= w a] = f g a] = `f [ g a] = f [ g a] = f g[ a . ( ) ρ( )ρ( ) ρρ 因为 [ a ] 的仸意性 , 所以就可以得到 f g= f g. 故 是一个群同态. ) ( ) ρ( 下面证明是一个双射. 若 `f = `g , 仸叏[ a ] ?A / ～ , 则有 `f [ a ] = `g [ a ] ] [ f a] = g a, 由定 ( ) ( ) 理 3 , 可以得到[ f a] = g a] ,由等价类的定义即有 e e ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) e f a= e g a] f a= g a, ρ 因为 a 的仸意性 , 所以 f = g , 故 是个单射 ; ρ 由定理 2 的证明过程我们可以収现 , f 是由 f 唯一确定的 , 这就是说 是一个满射.` ? ρ综上所述 是群同构 , 即是 G G.` 致 谢 :感谢樊恽老师的悉心指导 . 参考文献 : () 1 张远达. 有限群构造 上册M . 北京 :科学出版社 ,1982. 1～58. ( ) 2 朱一心 ,海进科. 集合上非一一变换构成的群及其在矩阵代数中的表现 J . 首都师范大学学报 自然科学版: 2003 ,() 24 2:5～14. 3 吴品三. 近世代数 M . 北京 :人民教育出版社 ,1979. 1～44. Condition of the groups generated by nonbijective transf ormations on a set WU Yu2lin ,WEI Xiao2yan ( )School of Mathematics and Computer Science , Hubei University ,Wuhan 430062 ,China Abstract :By using the quotient set of A ,the necessary and sufficient conditon of a nonbijective transformation f on A occurs in a group G consisting of non - bijective transformations is discussed in this paper ,and assert G is i2 somorphic to a permution group on the quotient set of A . Key words :transformation ;permutation group ;equivalence class ; quotient set ;partition () 责仸编辑 肖 铿