向量的数量积

向量的数量积1对1个性化辅导教师:杨剑伟学生:上课时间2013年5月11日阶段:基础()提高(?)强化()课时共次课第次课教学课题:向量的数量积教学目标:教学重难点:平面向量的数量积,1～一(课题:二(教学目标:1.理解平面向量数量积的概念;2.掌握两向量夹角的概念及其取值范围;[0,],3.掌握两向量共线及垂直的充要条件;4.掌握向量数量积的性质。三(教学重、难点:向量数量积及其重要性质。四(教学过程:F,(一)引入:s物理课中，物体所做的功的计算方法:WFs,||||cos,,(其中是与的夹角)(Fs(图1)B(二)新课讲解:1(向量的夹角:已知两个向量和(如图2)，作，，则abOAa,OBb,b教，,AOB,()叫做向量与的夹角。ab0180,,,(图2),当时，与同向;ab,,0学OAa当时，与反向;ab,,180过,当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作(ababab,,90902(向量数量积的定义:程||||cosab,,,,已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作abababab,,,,||||cos,，即(ab,说明:?两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关;?实数与向量的积与向量数量积的本质区别:两个向量的数量积是一个数量;实数与向量的积是一个向量;0?规定，零向量与任一向量的数量积是(3(数量积的几何意义:(1)投影的概念:1轻松学习，快速提分BOAOBb,||cos,如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则(BBBOAa,111BBBbbb,,,aaOABBOAO()B11A1||cosb,,,叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值;当为钝角时，它是一负值;当ba,,900||b,||b时，它是;当时，它是;当时，它是(,,0,,180||a||cosb,(2)的几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。ab,ab,aba,10||5a,||4b,【练习】:?已知，，与的夹角，则;abab,,,,1201||b||4b,?已知，在上的投影是，则8;abab,,2,||5a,||4b,,?已知，，，则与的夹角(ab,,,32ab135(3)数量积的性质:,设、都是非零向量，是与的夹角，则ababab,?;cos,,||||ababab,,||||abab,,,||||?当与同向时，;当与反向时，;abab2aaa,,||特别地:或;||aaa,,||||||abab,,?;?;ab,,,,ab0若是与方向相同的单位向量，则ebeaaea,,,,||cos,?((1)平面向量数量积的坐标表示a,b?若a=(x,y),b=(x,y)则=xx+yy1122121222222?若a=(x,y),则|a|=a.a=x+y,a,x，y22?若A(x,y),B(x,y),则，，，，AB,x,x，y,y11222121a//b?若a=(x,y),b=(x,y)则(呢)a,b,xx，yy,011221212xx，yy1212cos,,ab若=(x,y),=(x,y)则11222222x，yx，y11224(例题分析:2,ABC例1(已知正的边长为，设，，，求(BCa,CAb,ABc,abbcca,，,，,解:如图，与、与、与夹角为，abbcac120A,,,，,,，,,||||cos120||||cos120||||cos120abbcac?原式1,，，,，,,22()36(2BC||3a,||3b,||23c,例2(已知，，，且abc，，,0，求abbcca,，,，,(C解:作ABc,，BCa,，?abc，，,0，?CAb,，2AB1对1个性化辅导222||||||||||||abcab,,,，||||||cab,，?且，3,ABC?中，，?，?，，tanA,C,90，,A30，,B603所以，(abbcca,，,，,,，，，,,,,,323cos150323cos1209312例1:判断下列各命题正确与否:(1);(2);0,a,00,a,0(3)若，则;b,ca,0,a,b,a,c(2)若，则当且仅当时成立;a,b,a,cb,ca,0(5)对任意向量都成立;(a,b),c,a,(b,c)a,b,c22(6)对任意向量，有。aa,a0cd例2:已知两单位向量a与b的夹角为，若，试求与的夹角。120c,2a,b,d,3b,a100a,b,abcos120,,解:由题意，，且与的夹角为，所以，，ab120a,b,12222，，同理可得而？c,c,c,？c,7？d,13(2a,b),(2a,b),4a,4a,b，b,72217(2)(3)732a,b,b,a,a,b,b,a,,,c,d,，设为c与d的夹角，则21791171791cos,,,,？,,arccos,,1821822713点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。,n,2a，b例3(已知，，，按下列条件求实数的值。，，，，a,4,3b,,1,2m,a,,b,m,n(1);(2)m//n;(3)m,n解:，，，，m,a,,b,4，,,3,2,,n,2a，b,7,852,,,,m,n，，，，(1),4，,，7，3,2,，8,0;？91,,,,m//n，，，，(2),4，,，8,3,2,，7,0;222222，，，，,4，,，3,2,,7，8,5,,4,,88,0(3)m,n2,211,,,。5点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。例4:平面内有向量点X为直线OP上的一个动点。OA,(1,7),OB,(5,1),OP,(2,1),XA,XBOX(1)当取最小值时，求的坐标;cos，AXB(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求的值。3轻松学习，快速提分解答过程请参考课本。例5:已知向量满足，OP,OP,OPOP，OP，OP,0,OP,OP,OP,1123123123求证:是正三角形。,PPP123例6:已知,,40，,10，,8，求与的夹角θ(例7在?ABC中,=(2,3),=(1,k),且?ABC的一个内角为直角，求k的值.ABAC1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是()2A.60?B.30?C.135?D.45?,2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,则向量m=a-4b的模为()3A.2B.2C.6D.1232223.a,b是两个非零向量,(a+b)=a+b是a?b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件24.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|-4a?b等于()A.23B.57C.63D.835.已知a=(λ,2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()10101010课A.λ>B.λ?C.λ<D.λ?33336.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于()后34434334,,,,,,,,,,,,,,A.或B或,,,,,,,,55555555,,,,,,,,作43343434,,,,,,,,,,,,,,,,C或D或,,,,,,,,55555555,,,,,,,,业7.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为()556513,A.B.C.D.5551318.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB中垂线上,则x为()277A.-B.C.2D.-2443,9.已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的夹角为,则k的值为()4A.-4B.4C.5D.-510.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x?a=9与x?b=-4的向量x为()A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)二、思维激活211.已知a?b、c与a,b的夹角均为60?,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)=.12.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若c?a,则c=.41对1个性化辅导,b=,则a与b的夹角为.13.已知点A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=BCCA三、能力提高14.设=(3,1),=(-1,2),?,?,O是原点，求满足+=时的坐标.OAOBOCOBBCOAODOAOCOD15.已知两单位向量a与b的夹角为120?,若c=2a-b,d=3b-a,试求:c与d的夹角.2,,31k，t2,,16.已知a=(,-1),b=,,且存在实数k和t,使得x=a+(t-3)?b,y=-ka+t?b,且x?y,试求的3,,t22,,最小值.家长建家长签名:议审核:教务主管签字:5