极差法和贝塞尔公式的比较

标准不确定度的A类评定定义为:“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度”。国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中介绍了两种A类评定的方法，贝塞尔法和极差法。     1.贝塞尔法     当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若得到的测量结果分别为x1，x2，……，xn，n次测量的平均值为。于是用贝塞尔公式可以求出单次测量结果xi的实验方差s2(xi)和实验标准差s(xi)。          2.极差法       当在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立观测。若n个测量结果中最大值和最小值之差为R(称为极差)，在可以估计X接近正态分布的条件下，单次测量结果的实验标准差s(xiv)可近似地表示为:     s(xi)=R/C=u(xi)       式中系数C为极差系数。极差系数之值与测量次数n的大小有关。表1给出极差法的极差系数和自由度与测量次数的关系。              既然随机变量X的标准偏差可以用两种方法得到，就不可避免地会提出两种方法孰优孰劣的问题。无疑，极差法具有计算简单的优点。但在计算机应用已经十分普及的今天，用贝塞尔公式计算也已变得相当容易。因此关键问题还在于用何种方法估算得到的不确定度更为准确。     表面上看来，用贝塞尔公式进行计算时使用了全部n个测量结果，而极差法只用了一个极大值和一个极小值，其余数据均弃之不用，因此用贝塞尔法得到的实验标准差应该比极差法更为可靠。比较两种方法的自由度也可以看出，极差法的自由度比贝塞尔法小(贝塞尔法的自由度为n-1，而极差法的自由度10时，贝塞尔法优于极差法；当n<10时，极差法优于贝塞尔法。至于修正的贝塞尔公式，相比而言虽然最为准确，但因比较麻烦实际上很少使用。这就是为什么国家计量技术规范JJF1059-1999中在给出极差系数及自由度表后指出“一般在测量次数较小时采用该法”，以及国家计量技术法规统一宣贯教材《测量不确定度评定与表示指南》中同时还指出“测量次数以4～9次为宜”。         上面的分析，仅是针对实验标准差而言的。在大部分的测量不确定度评定中，测量不确定度A类评定仅是其中的一个或几个分量。他们还将与其他B类评定的分量合成，才能得到合成标准不确定度。合成的方法是方差相加。虽然实验标准差s并不是标准偏差的无偏估计量，但却可以证明实验方差s2是总体方差σ2的无偏估计量。因此，若A类评定需要和其他B类分量合成，且A类评定分量不占优势时，则无论测量次数的多少，贝塞尔法将优于极差法。     因此笔者认为结论应该是:     (1)当A类评定不确定度分量不是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则无论测量次数多少，贝塞尔法优于极差法。       (2)当A类评定不确定度分量是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则两种方法的优劣与测量次数有关。当测量次数n<10时，极差法优于贝塞尔法；当测量次数n≥10时，贝塞尔法优于极差法。