c是三角形的边长

c是三角形的边长 22B3,041 设a、b、c是三角形的边长，证明:ab(a,b)+bc 2(b,c)+ca(c,a)?0，并说明等号何时成立( 【题说】第二十四届(1983年)国际数学奥林匹克题6(本题由美国提供( 【证】设a是最大边， 2原式左边=a(b,c)(b+c,a)+b(a,b)(a,c)(a+b,c) 显然上式是非负的，从而原式成立，当且仅当a=b=c，即这三角形为正三角形时等号成立( B3,043 设x，x，…，x都是正整，求证: 12n 【题说】1984年全国联赛二试题5(本题可用柯西不等式、数学归纳法等多 种方法证明( 将以上各式相加，即得所要证的不等式( kB3,044 设P(x)=a+ax+…+ax为整系数多项式，其中奇01k i系数的个数由W(P)来示，设Q(x)=(1+x)，i=0，1，…，i n(如果i，i，…，i是整数，且0?i,i,…,i，证明: 12n12n 【题说】第二十六届(1985年)国际数学奥林匹克题3(本题由荷兰提供( 当i=1时，命题显然成立( n mm+1设i,1并且命题在i换为较小的数时成立(令k=2,i,2， nnn k(1)i,k(设i,k，i,k，Q=R+(1+x)S，其中 1rr+1 kk的次数均小于K，由(1)(1+x)?1+x(mod2)，故 kW(Q)=W(R+S+xS) =W(R+S)+W(S) ?W(R) 的次数均小于K( kW(Q)=W(S+xS) =2W(S) ?2W(R) k=W(R+xR) k=W((1+x)R) 045 证明:对于任意的正数a，a，…，a不等式 12n 成立( 【题说】第二十届(1986年)全苏数学奥林匹克十年级题2( 【证】不妨设a?a?…?a( 12n 因为 当2?k?(n+1)/2时 【注】原不等式可加强为 B3,046 正数a，b，c，A，B，C满足条件 a+A=b+B=c+C=k 2证明: aB+bC+cA,k 【题说】第二十一届(1987年)全苏数学奥林匹克八年级题5( 【证】由题设 3k=(a+A)(b+B)(c+C) =abc+ABC+aB(c+C)+bC(a+A)+cA(b+B) =abc+ABC+k(aB+bC+cA) ,k(aB+bC+cA) 2即 aB+bC+cA,k B3,048 证明:对于任意的正整数n，不等式 nnn(2n+1)?(2n)+(2n,1) 成立( 【题说】第二十一届(1987年)全苏数学奥林匹克十年级题8( 【证】只须证明 由恒等式 所以(1)式成立( B3,049 已知a、b为正实数，且1/a+1/b=1(试证:对每一个n?N，有(a+b) n2nn+1nn,a,b?2,2 【题说】1988年全国联赛一试题5( 【证】用数学归纳法证( (1)当n=1时，左边=0=右边，命题成立( (2)假设n=k时，不等式成立，即 kkk2kk+1(a+b)-a-b?2-2 当n=k+1时， k+1k+lk+1左边=(a+b)-a-b kkkkk=(a+b)[(a+b)-a-b]+ab+ab 从而有 k+1k+2?2?2=2 2kk+1k+22(k+1)k+2所以，左边?4(2-2)+2=2-2=右边 由(1)及(2)，对一切n?N，不等式成立( B3-050 已知a5-a3+a=2(证明:3,a6,4( 【题说】第十四届(1988年)全俄数学奥林匹克八年级题3( 53【证】由a-a+a=2，变形 为 (1) 222a[(a-1)+a]=2 (2) 由(2)知 a,0且a?1 (1)?a 42得 a-a+1=2/a (3) 642(1)×a得 a-a+a,2a (4) 6(3)+(4)得 a+1=2(a+1/a),4 (5) 53又由(1)知 2=(a+a)-a 333,2a-a=a 3故 a,2 (6) 6由(5)和(6)得3,a,4(