巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性解题 www.czsx.com.cn 巧用反比例函数的对称性 反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙( 一、求代数式的值 6 例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于A， y,()xy、()xy、1122x 两点，那么的值为 ()()xxyy,,2121 6 方法一 设正比例函数的解析式是，与反比例函数y,联立方程，消去得yykx,x2到 kx,,60 6由韦达定理，可知 xxxx，,,0, 1212k 又 ykxykx,,.,1122 ? ()()xxyy,,2121 ,,,()()xxkxkx2121 2 ,,kxx()21 2，，,，,kxxxx()4 1212，， 6,, ,,k04 ,,,k,, =24 方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以， xx,,yy,, 且， 1212 ()()xxyy,, ? 2121 ,，，()()xxyy 2222 ,,424xy 22 这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的 www.czsx.com.cn 对称性不可忽视( 反比例函数的对称有两种(一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线的yx, 轴对称(其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个来 体验一下( k 二、求比例系数 k 例2 如图1，已知直线分别与轴轴交于A，B两点，与双曲线y,yxyx,,，2x k交于E，F两点，若AB=2EF，则的值是 k2 方法一 将直线与反比例函数联立方程，得到 y,,，,,xxk20yx,,，2x 由韦达定理，可知 xxxxk，,,2, 1212 1又EF= AB= = 22xx,122 2back,,444,,1得 a1 3k, 解得4 方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数都关于直线 yx,yx,,，2 对称，又AB=2EF，故有BF=FM=ME=AE( 而A(2，0)，B(0，2)， 133(,)k, 所以F，易得( 224 三、图形面积问题 kyk,,(0) 例3 如图2，过点O作直线与双曲线交于A，B两点，过点B作BC?xx 轴于点c，作BD?y轴于点D(在轴，y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直x ssss线上，且AE=AF设图中矩形OCBD的面积为，?EOF。的面积为，则，的数量1122关系是 ky,n解析 设A(m，一)，过点O的直线与双曲线交于A，B两点，则A，B两点关x于原点对称，则B(一m，n)( 矩形OCBD中，易得 n OD=，OC=m， www.czsx.com.cn 则=mn( s1 在Rt?EOF中，AE=AF， 故A为EF中点， OF=2，OE=2m， n 1 则=×OF×OE=2mn， s22 故2=( ss12 k例4如图3，反比例函数的图象与以原 yk,,(0)x 点(0，30)为圆心的圆交于A，B两点，且A(1，)， 图中阴影部分的面积等于 ((结果保留π) 解析 由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB的面 3积(再利用图形关于直线对称，可知B(，1)，所以， yx, ?BOX=30?，?AOX=60?， 2 302,,S, 易得( =扇形AOB3360 从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数或相 yxb,，yxb,,，结合的问题，利用轴对称比较方便;而当反比例函数与正比例函数y或圆相结合的时 ykx,候，中心对称必然能发挥作用(总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算(数形 结合)，这样会比直接代数运算方便很多(