32 向量组的秩和最大无关组

32 向量组的秩和最大无关组 ?3.2 向量组的秩和最大无关组1(向量组的秩和最大无关组 设 A 为一 n 维向量组 A 0 ，由?3.1 节例 1.8 知， A 的任一线性无关部分组所含向量个数不多于 n 个。因此，必存在一正整数 r ，使得 A 中有 r 个向量线性无关，而 A 中任意多于 r 个向量若存在的话线性相关。也就是说， A 的线性无关部分组所含向量个数的最大值为 r 。 定义 2.1 设 A 为一向量组， A 的线性无关部分组所含向量个数的最大值 r ，称为向量组 A 的秩，记作 R A 。若 a1 ar 为 A 的一个线性无关部分组，则称 a1 ar 为 A 的一个最大线性无关组。规定 0 的秩为 0 。 最大无关组的性质 设 A 为一向量组，则 A 的部分组 a1 ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是 (1) a1 ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1 ar 线性表示。 证明 充分性由?3.1 节定理 1.4 即得。必要性由?3.1 节定理 1.2 即得。 以下介绍求有限向量组的秩和最大无关组的一个算法。 定理 2.1 设 n m 矩阵 A a1 am 的行最简形为 IrB ， O O则 r 为 A 的列向量组 a1 am 的秩， a1 ar 为 A 的列向量组 a1 am 的一个最大无关组，且有 ar j b1 j a1 brj ar ， j 1 m r ， j 列元素。 证明 记 b j b1 j brj ，由所给条件其中 b1 j brj 为矩阵 B 的第 知 T I a1 ar r ， r 2.1 O I bj a1 ar ar j r r ， j 1 m r 。 2.2 O 0由2.1知 R a1 ar r ，所以向量组 a1 ar 线性无关。由2.2知方程组 a1 ar x ar j 的解为 x b j ，即 ar j b1 j a1 brj ar ， j 1 m r 。由最大无关组的性质知， a1 ar 为 A 的列向量组的一个最大无关组， r 为A 的列向量组的秩。 例 2.1 设 1 2 1 0 2 1 0 2 3 1 1 1 8 1求 a1 a2 a3 a4 a5 的秩2 a1 a2 a3 a4 a5 1 2 1 3 3 ， 和一个最大无关组，并求其余向量在此最大无关组下的线性表示。 解 由?2.1 节例 1.3 知，矩阵 a1 a2 a3 a4 a5 的行最简形为 1 0 1 0 16 3 9 2 0 1 0 1 3 9 ， 0 0 0 1 1 3 0 0 0 0 0从而矩阵 a1 a2 a4 a3 a5 的行最简形为 1 0 0 1 16 3 9 2 0 1 0 1 3 9 。 0 0 1 0 1 3 0 0 0 0 0由定理 2.1 知， a1 a2 a3 a4 a5 的秩为 3，一个最大无关组为 a1 a2 a4 ，且有 1 2 16 1 1 a3 a1 a2 ， a5 a1 a2 a4 。 3 3 9 9 3 a1 am 的行最简形可能不是标准形式 Ir B ， O O但适当改换 a1 am 的次序化为 b1 bm 后， b1 bm 的行最简形是标准 形式。由定理 2.1 可知，矩阵 A 的列向量组的秩称列秩等于矩阵 A 的秩。而矩阵 A 的行向量组的秩称行秩等于矩阵 AT 的列秩，从而等于 R AT ，也就等于 R A 。因此有 定理 2.2 矩阵的行秩与列秩相等，等于矩阵的秩。2(等价向量组 设 A a1 am ， B b1 bl 。矩阵方程 AX B 有解 k11 k1l X K ， km1 kml即 k11 k1l a1 am b1 bl ， km1 kml也即 b j k1 j a1 k2 j a2 kmj am ， j 1 l 。由此可得 矩阵方程 AX B 有解的充分必要条件是矩阵 B 的任一列向量都可由矩阵 A 的列向量组线性表示。 定义 2.2 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 的部分组线性表示，就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示;若向量组 A 也可由向量组 B 线性表示，就称向量组 B 与向量组 A 等价。 向量组的等价具有如下性质: 1反身性 向量组 A 与向量组 A 等价; 2对称性 若向量组 A 与向量组 B 等价，则向量组 B 与向量组 A 等价; 3传递性 若向量组 A 与向量组 B 等价，向量组 B 与向量组 C 等价，则向量组 A 与向量组 C 等价。 向量组的线性表示也具有传递性。 显然向量组 A 的任一部分组可由向量组 A 线性表示，而由最大无关组的性质知，向量组 A 可由其任一最大无关组线性表示，因此 向量组与其任一最大无关组等价。 定理 2.3 若向量组 B 可由向量组 A 线性表示，则 R B R A 。 证明 设 a1 ar 为向量组 A 的一个 最大无关组。由向量组线性表示的传递性，向量组 B 可由 a1 ar 线性表示。由?3.1 节定理 1.4 知，向量组 B中任意多于 r 个向量线性相关，于是 R B R A 。 由定理 2.3 即得 定理 2.4 等价的向量组秩相等。 定理 2.5 向量组 B : b1 bl 可由向量组 A : a1 am 线性表示的充分必要条件是 Ra1 am Ra1 am b1 bl 。 证明 记向量组 C : a1 am b1 bl 。 必要性: 显然向量组 A 可由向量组 C 线性表示。若向量组 B 可由向量组A 线性表示，则向量组 C 也可由向量组 A 线性表示，所以向量组 A 与向量组 C 等价，由定理 2.4 即得 R A R C 。 充分性: 不妨设向量组 D 为向量组 A 的一个最大无关组， 则向量组 D 与向量组 A 等价，且 R D R A 。若 R A R C ，则 R D R C ，从而向量组 D 也为向量组 C 的一个最大无关组，于是向量组 C 与向量组 D 等价。由向量组等价的传递性知，向量组 C 与向量组 A 等价，当然向量组 C 的部分组 B 可由向量组 A 线性表示。 由定理 2.5 即得以下定理 2.5和定理 2.6。 定理 2.5 矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R A R A B 。 定理 2.6 向量组 b1 bl 与向量组 a1 am 等价的充分必要条件是 Ra1 am Rb1 bl Ra1 am b1 bl 。 在定理 2.5、2.6 中，记号 R a1 am 既可理解为向量组的秩，也可理解为矩阵的秩。 例 2.2 设 1 3 2 1 3 a1 1 ， a 1 ， b 0 ， b 1 ， b 1 ， 2 1 2 3 1 1 1 0 2证明向量组 a1 a2 与向量组 b1 b2 b3 等价。 证明 记 A a1 a2 ， B b1 b2 b3 。把矩阵 A B 化为行阶梯形: 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 A B 1 1 0 1 1 0 4 2 2 可见， R A R A B 2 。易2 r 1 1 1 0 2 0 2 1 1 1 1 3 2 1 3 0 2 1 1 1 。 r 0 0 0 0 0 知 b1 b2 线性无关，故 R B 2 ，又 R B R A B 2 ，于是知 R B 2 。因此， R A R B R A B ，由定理 2.6 知向量组 a1 a2 与向量组 b1 b2 b3 等价。 习 题 3.2 1(求下列向量组的秩，并求一个最大无关组，再把其余向量用该最大无关组线性表示。 2 3 8 2 (1) a1 a2 a3 a4 2 12 2 12 ; 1 3 1 4 1 2 1 0 2 2 4 2 6 6 (2) a1 a2 a3 a4 a5 。 2 1 0 2 3 3 3 3 3 4 2(已知向量组 A : a1 01 23 a2 3 01 2 a3 23 01 ; B : b1 211 2 b2 0 211 b3 4 413 。证明 B 组能由 A 组线性表示，但 A 组不能由 B 组线性表示。 3(已知向量组 A : a1 011 a2 11 0 ; B : b1 1 01 b2 1 21 b3 3 2 1 。证明 A 组与 B 组等价。 4(已知 R a1 a2 a3 2 ， R a2 a3 a4 3 ，证明 (1) a1 能由 a2 a3 线性表示; (2) a4 不能由 a1 a2 a3 线性表示。 5(已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 x 满足 A x 3 Ax A x ，且向量组 3 2x Ax A2 x 线性无关。 (1)记 P x Ax A2 x ，求 3 阶矩阵 B ，使 AP PB ; (2)求 A 。 6( b1 a1 ，b2 a1 a2 ， ，br a1 ar 。 设 试证向量组 a1 ar与 b1 br 等价。 7(设向量组 B : b1 br 能由向量组 A : a1 a s 线性表示为 b1 br a1 as K ，其中 K 为 s r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 R K r 。 8(设 a1 an 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是:任一 n 维向量都可由它们线性表示。 9(设向量组 A 与向量组 B 的秩相等，且 A 组可由 B 组线性表示。证明A 组与 B 组等价。 10(设 A 为 m n 矩阵，证明 (1)方程 AX I m 有解的充分必要条件是 R A m ; (2)方程 YA I n 有解的充分必要条件是 R A n 。