二次函数在实际生活中的应用本科毕业论文

二次函数在实际生活中的应用本科毕业论文 二次函数在实际生活中的应用 摘 要:介绍二次函数在实际生活中的应用，将数学与实际生活中 的不同问题相联系起来。而二次函数的应用过程就是数学思想得到充 分体现的过程，分类讨论、数形结合、规划与转化、函数与方程的思 想都在二次函数中得到了充分的体现。所以，研究二次函数在实际生 活中的应用问题同时也是在培养学生严谨的数学思维、培养学生的运 算能力、分析能力和解决问题的能力。 关键词:二次函数;数形结合;最优化;转化思想 Abstract:Introduces the application of quadratic function in real life, different problems of mathematics and real life together. The application process of quadratic functions of the mathematics thought process is obtained fully reflected, fully reflected to discuss the classification, combination of number and shape, planning and transformation, function and equation thought in quadratic function. Therefore,research on the application of quadratic function in real life but also in the ability of mathematical thinking, rigorous training students operation ability, analysis and the ability of students to solve problems. Key words:quadratic function;symbolic-graphic combination; optimization;transformation of ideas 1页(共17页) 第 二次函数在中学数学中占据重要的地位，同时也是进行数学研究的一个重要的工具，它贯穿整个中学数学的数与学。从最浅显的直观的利用图象解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题，再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不体现二次函数的重要性和它独特的魅力。在中考中，二次函数的实际应用同样是一个考察的重难点，而很多学生在考试中暴露出一个问题:用数学解决实际问题的能力不足。所以，我们需要进一步研究二次函数在实际生活中的应用和对实际生活的影响，从而 [1-8]培养学生解决实际问题的能力。 2一般地，我们把形如的函数叫做二次函数，二y,ax，bx，c，，a,0 次函数的图像是一条抛物线，且a,0决定函数图象的开口方向，时，a aa,0开口方向向上，时，开口方向向下;还可以决定开口大小，越a大开口就越小，越小开口就越大。而抛物线是轴对称图形，对称轴a bPx,-为直线。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点，其坐标2a 2,b4ac,b,,b为P,-,。一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位a,,2a4a,, bbab,0y置，当与号时(即)，对称轴在轴左侧;当与异号时(即aa ab,0y)，对称轴在轴右侧。抛物线与轴交点个数由一元二次方程x 22,根的个数决定，即由的符号决定。当时，,,b,4ac,0ax，bx，c,0 2抛物线与轴有2个交点;当时，抛物线与轴只有1个xx,,b,4ac,0 [1-2] 2交点;当时，抛物线与轴没有交点。x,,b,4ac,0 2页(共17页) 第 1 在桥梁建筑方面的应用 抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。在实际生活中，由于各种不同的需要，大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质，将其形状设计为抛物线的形式。所以，我们在现实生活中能够找到很多具有抛物线特征的建筑物，如下图所示: 图1-1 图1-2 同时，在现实生活中也存在许多与建筑、设计有关的二次函数的 数学问题。下面，我们用以下几个例子来进行说明。 [3] 例1.1 一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的 PAB8m2m6m长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图1-3所示的坐标系。 (1)求抛物线的解析式; 4m2m(2)一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么, 3页(共17页) 第 (3)如果隧道内设双行道如图1-4所示，那么这辆货车是否可以顺利 通过，为什么, 图1-3 图1-4 ，，。 解 (1)由题意可知抛物线经过点，，，，，，A0,2P4,6B8,2 2APD设抛物线的方程为，将、、三点的坐标代入抛y,ax，bx，c 物线方程。解得抛物线方程为: 12y,,x，2x，2. 4 (2)令，则有 y,4 12-x，2x，2,4, 4 解得 , x,4，22，x,4,2212 而 x,x,42,2, 21 所以货车可以通过。 1x,x,22,2(3)由(2)可知, 212 所以货车可以通过。 4页(共17页) 第 [3] 例1.2有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。 (1)在如图1-5所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式; (2)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度，，hm dh为，求出将表示为的函数表达式; ，，dm 2m(3)设正常水位时桥下的水深为，为保证过往船只顺利航行， 18m桥下水面宽度不得小于，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行。 图1-5 2解 (1)设抛物线的解析式为y,ax，且过点， ，，10,,4所以 12-410,,a，a,,， 25 12y,,x故. 25 d,,(2)设水位上升时，水面与抛物线交于点， ，，hm,h,4,,2,,则 21dh4,,,，， 254 5页(共17页) 第 所以. d,104,h (3)当时，有 解得， d,1818,104-h,h,0.76 所以. 0.76，2,2.76 故当水深超过时会影响过往船只在桥下顺利航行。 2.76m 在生活中，除了桥梁的建设上运用了二次函数的相关知识，还有大量其他的建筑如花坛、喷水池、隧道等等都有涉及到二次函数的地 [5-6]方。所以，由此可以看出二次函数是真的融入了我们的生活中。 2 在经济生活中的应用 二次函数在经济生活中的应用，主要分为投资策略、销售定价、货物存放、消费住宿等不同方面，而这几个不同方面的问题有一个共通点，那就是利润的最大化问题。不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。针对不同类型的问题，从保证最大利润为入手 [4-7] 点，建立函数关系，运用二次函数的性质来解决实际问题。2.1 投资策略问题 在经济投资问题中，不同的投资会带来不同的风险，同时获得的利益也会相对的有所差别。那么针对不同的投资方案，选择正确的营销策略以求获得经营的最大利润就是我们必须要解决的问题。而在现实生活中，此类问题是层出不穷，如下列例题所示。 [3-5] A400例2.1某服装经销商甲，库存有进价每套元的品牌服装 6001001200套，正常销售时每套元，每月可买出套，一年内刚好卖完， 6页(共17页) 第 B现在市场上流行品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套(两套服装的市场行情互不影响)。目前有一 B可进品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可 A是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格(元/套)与转让数量(套)有如下关系: 表2-1转让价格与转让数量关系 数120110100900 800 700 600 500 400 300 200 100 量 0 0 0 价240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 格 AB 方案1:不转让品牌服装，也不经销品牌服装; AB 方案2:全部转让品牌服装，用转让来的资金购品牌服装后， B经销品牌服装; AB 方案3:部份转让品牌服装，用转让来的资金购品牌服装后， BA经销品牌服装，同时经销品牌服装。 问: ?经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元, ?经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润,若选 A用方案3，请问他转让给经销商乙的品牌服装的数量是多少(精确到百套),此时他在一年内共得利润多少元, A 解 经销商甲对品牌服装的进货成本是 7页(共17页) 第 (元), 1200，400,480000 ?若选方案1，则获利 (元), 1200，600,480000,240000 B若选方案2，得转让款元，可进购品牌服装1200，240,288000 288000(套)，一年内刚好卖空可获利: ,1440200 (元)。 1440，500,480000,240000 xAB360-?设转让品牌服装套，则转让价格是每套 元，可进购x10 xx5xx,,,,B品牌服装 套，全部售出品牌服装后得款 360,360,,,,,20010210,,,, AA元，此时还剩品牌服装套，全部售出品牌服装后得款，，1200,x 2x-600，，x,600元，共获利，故当套时，可的最大，，6001200,x-，3300004 330000利润元。 投资利润最大化的问题在生活中随处可见，如购买股票、基金，商品销售、策划或者是公司生产力的变动、设备的更换等等一系列的问题都涉及经济投资上的最大利润问题。而经营者为了获得最大利润， [7]产品的销售定价也是必须思考的问题。 2.2 销售定价问题 在产品销售过程中，产品的单价影响销售量，从而影响着销售所获得的利润。而经营者为了获得最大利润，产品的销售定价和销售量、产品成本等不同因素之间的影响是我们必须要探究、解决的。因此，此类问题的解决我们同样需要运用二次函数的相关知识。 [3]例2.2 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示 8页(共17页) 第 精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克。市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销w售价(元/千克)有如下关系:。设这种产品每天的销售利润xw,,2x，80 y为(元)。 y (1)求与之间的函数关系式。 x (2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大,最大利润是多少, 28 (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/千克，该 150农户想要每天获得元的销售利润，销售价应定为多少元, 分析 利润=(单价-成本)*销售数量，这是问题解答的关键。 解 (1)与的函数关系式为: yx 2, ，，，，，，y,x,20,w,x,20,2x，80,,2x，120x,1600 y所以，与的函数关系式为: x 2 ， y,,2x，120x,1600 (2)由(1)可知: 22，，， y,,2x，120x,1600,,2x,30，200 a,,2,0因为， 所以函数有最大值， y200x,30当时，函数有最大值，最大值为， y200x,30所以，当时，有最大值， 30200因此，当销售价定为元/千克时,每天可获最大销售利润元。 9页(共17页) 第 (3)当时，可得方程 y,150 2， ，，-2x,30，200,150 解这个方程，得， x,25,x,3512 根据题意，不合题意,应舍去， x,352 所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元。 销售定价问题的根本就是保证利润的最大化，利润=(单价-成本)*销售数量，而产品的成本是固定，所以单价越大，利润越高;销售量越大，利润也越高。而当销售单价越来越大时，销售数量往往逐渐减少，所以我们需要在这个变化过程中找到使得利润最大化的最优销售单价。 2.3 货物存放问题 产品销售获得利润除了扣除产品本身的成本外，还包括各种各样的外在消费，比如产品销售期间货物的存放、运输和货物本身的损坏费用。而对于不能长期存放的产品的销售利润就受到货物存放时间的限制。若此类产品在未来的某一段时间内的市场价格将上升，产品存放一段时间会支出一定的费用，且产品的存放时间影响着产品的销售数量，而产品的销售数量又制约着产品的销售定价。所以对于这一类的产品销售，要保证销售利润的最大化，就必须探讨货物存放时间和销售数量和销售单价之间的函数关系，从而利用二次函数解决实际问[5-7]题。 [3] 例2.3 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地。上市时，外商李经理按市场 10页(共17页) 第 价格10元/千克在我州收购了千克香菇存放入冷库中。据预测，香2000 菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时， 6平均每天有千克的香菇损坏不能出售。 (1)若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售x 总金额为y元，试写出y与之间的函数关系式。 x (2)李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售,(利润,销售总金额,收购成本,各种费用) (3)将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润,最大利润是多少, y解 (1)由题意得与之间的函数关系式为: x 2 ，，，，y,10，0.5x2000,6x,,3x，940x，20000(1,x,100，且为整数). (2)由题意得: x 2,3x，940x，20000,10，2000,340x,22500， 解方程得: (不合题意，舍去)， xx,50,x,150212 5022500所以李经理想获得利润元需将这批香菇存放天后出售。 W(2)设最大利润为，由题意得: 22，，， W,,3x，940x，20000,10，2000,340x,,3x,100，30000 x,100所以当时， W,30000， 最大 而 11页(共17页) 第 ， 100天,110天 所以存放100天后出售这批香菇可获得最大利润元。 30000 2.4 消费住宿问题 在经济生活中，除了投资和销售外，还有消费、住宿等问题也在不同程度上运用了二次函数的性质。对于宾馆的住宿问题，客人订购的房间数受房价单价的影响，而房间订购的数量又影响着宾馆的销售盈利。 [2]60 例2.4 某宾馆客房部有个房间供游客居住，当每个房间的定 20010价为每天元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间 20每天支出元的各种费用。设每个房间每天的定价增加元。求: x y(1)房间每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式。 x (2)该宾馆每天的房间收费(元)关于(元)的函数关系式。 zx (3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系xw 式;当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值,最大值是多少, w 10分析 因为每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间 10x1010x空闲， 现在增加元，折合个元，所以，有个房间空闲; 空x ,60房间数+入住房间数，这样第一问就解决了;房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了;在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。 xy,60, 解 (1). 10 12页(共17页) 第 12 (2). z,,x，40x，1200010 xx1,,,,2，，，，w,200，x60,,2060,,,x,210，15210(3)， ,,,,101010,,,, 所以，当时，有最大值， x,210w 此时， ， x，200,410 410所以当每个房间的定价为每天元时，有最大值，且最大值为15210w 元。 3 在日常生活中的应用 二次函数除了在建筑设计、经济生活中的应用外，在日常生活的应用也是十分广泛的。我们在日常生活中所参加的各种体育运动如篮球、排球、羽毛球等，其球体的运动路径就是一个抛物线。在运动过程中，对于运动员的成绩和球体命中的准确性的估计都离不开二次函[5-8]数。 [3]例3.1 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这 AB个男同学的出手处点的坐标，铅球路线的最高处点的坐标为，，0,2 。 ，，6,5 (1)求这个二次函数的解析式; 0.01 (2)该男同学把铅球推出去多远,(精确到米， ) 15,3.873 13页(共17页) 第 图3-1 2解 (1) 设二次函数的解析式为 ，顶点坐标为， ，，y,ax,h，k，，6,5 2所以，而点在抛物线上， ，，y,ax,6，5，，A0,2 所以 12265,， ,,a，a,,12 则 1122 . ，，y,,x,6，5,y,,x，x，21212 12(2) 当时，-x，x，2,0， y,012 解得 (不合题意，舍去)， x,6，215,x,6,215x122 所以(米)。 x,6，215,13.75 图3-1 4 在政策补贴上的应用 对于社会上城乡居民的生活补助，对城市规划的建设，对公共设 施的建设要求等都有涉及到二次函数的应用。下面就以其中一个方面 进行举例说明。 14页(共17页) 第 [3]例4.1 某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口。为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元。经调查，种植亩数y(亩)与补贴数额(元)之间大致满足如图(1)所示的一次函数关系。随着补贴数额的xx不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益(元)会相应降低，z 与之间也大致满足如图(2)所示的一次函数关系。 且zx (1) (2) 图4-1 (1)在政府未出台补贴前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少, y(2)分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式; zx (3)要使全市这种蔬菜的总收益(元)最大，政府应将每亩补w 贴数额定为多少,并求出总收益的最大值。 xw 分析 惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。 解 (1)政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为: 15页(共17页) 第 30008002400000，,(元)。 (2)由题意可设与的函数关系为 yx ， y,kx，800 将代入上式得 ，，50,1200 ， 1200,50k，800 得 k,800， 所以种植亩数与政府补贴的函数关系为 ， y,8x，800 同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z,,3x，3000. (3)由题意，得: uyzxx,,，,，(8800)(33000) 2,,，，24216002400000xx 2,,,，24(450)7260000x 450x,450 所以，当，即政府每亩补贴元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元。 5 结束语 二次函数在实际生活中的应用是非常广泛的，这里也就不一一举例了。但是通过上述几个具有代表性的示例，我们能够发现只要灵活 16页(共17页) 第 应用所学的二次函数的相关知识，在解决实际生活当中的问题时，能够达到事半功倍的效果。 参考文献: [1] 杨世明, 王雪琴.数学发现的艺术[M].青岛:中国海洋大学出版社, 1998. [2] 储一平. 二次函数——数学高考中永恒的话题[J]. 高中数学教与学, 2003,02:30-33. [3] 《全国中考试题精选》编写组. 全国中考试题精选,数学[M]. 拉萨: 西藏人民出版社, 2003. [4] 张菊平, 郑云初.充分认识差别, 实现二次函数“升级”——浅谈二次函数的初高中教学衔 接[J]. 数学教学研究, 2005,03:22-25. [5] 李丁群.高中阶段应注意加强区间内二次函数, 二次方程二次, 不等式的专题教学[J]. 数 学通讯, 1997,07:11-13. [6] 陈云烽. 二次函数式的灵活应用[J]. 中学数学教学参考, 2004,10:19-21. [7] 杨浦斌. 解二次函数总和问题的思想[J]. 高中数学教与学, 2003,02:28-30. [8] 李盛, 杨樟松, 李世杰. 函数的性态及应用[M]. 杭州:浙江大学出版社, 2012. 17页(共17页) 第