如何破解绝对值问题

如何破解绝对值问 2012年第1期数学中的思想和《数理天地》高中版 ? 数学中的思想和方法? 如何破解绝值问题 李富成(湖北省当阳市第二高级中学444100) 绝对值问题历来是高考命题者的"宠儿", 但学生在解决这一类型题目时,由于对构造形 式缺乏本质认识,导致错误率居高不下.笔者对 近年高考中的绝对值问题进行了较为系统的整 理,归纳为五种形式,如能融会贯通,则可见题 知招,快速解题,消灭错误于无形之中. 1.孤立式 例1下列区间中,函数厂()一 IIn(2一z)l在其上为增函数的是() (A)(一?,1]. cc小专). (B)『-一1,41.Lu一 (D)[1,2). (2011年重庆卷) 分析解决孤立式绝对 值问题,可借助图象,以形助 数,直观简捷.可先作出函数 Y=:=ln(2一z)的图象,进而 利用整体加绝对值图象的变 换(即把-z轴下方的图象对称翻 图1 折到z轴上方),得函数()一fln(2一z)I的图 象,如图1,由图象知,选(D). 2.并列式 例2不等式Jz+1l—lz一3l?0的解 集是.(2Ol1年广东卷) 分析原式变形为loZ.+1l?lz一3l, 两边平方,得(-z十1)?(-z一3)., 即z.+2x+1?z.一6x+9, 解得z?1, 因此,不等式lz+1l—lz一3l?0的解集是 {zl?1}. 例3设变量z,Y满足ll+lYI?1,则 z+2y的最大值和最小值分别为() (A)1,一1.(B)2,一2. (C)1,一2.(D)2,一1.(2011年安徽卷) 分析并列式是通过多个绝对值的并列出 现,加大思维的抽象性,增加了的趣味性. 解决这类题的有效武器就是去掉绝对值符号, 变为分段函数问题来解决. 将两个绝对值同时去掉,分类可得 fz?0,rz?0, JY?0,或JY?0, lz+Y?1lz—Y?1 rz?0,rz?0, 或Y?0,或J?0, l—+Y?1{一z—Y?1, 所表示的线性区域如图2阴 影部分. 设z—z+2y,则过点 (O,1)时取得最大值2,过点 (0,一1)时取得最小值一2, 选(B). 3.隐性式 , ,,,_ , , , 图2 解决这类题的关键是加上绝对值,将隐性 的变成显性的,这样的题型比较固定,同学们在 平时练习时一定要让这类题在大脑中生根,再 次遇到就会慧眼识隐,化隐为显,轻松突围. 例4直线Y:==1与曲线Y=lz一llz}+ n有四个交点,则a的取值范围是. (2010年全国卷) 分析加绝对值后,Y一.z.一IX{+变为 === lzl一ll+a,函数图 象如图3所示,要使它与直 线Y一1有四个交点,只需 r口>1, 1n一{<, 解得1<口<寺? l 1 i/一\i 川一 .. W一… y=a-寺 例5设偶函数f(x) 满足厂(z)一z.一8(x?o),则 {zlf(x一2)>0}一() (A){.27l<一2或z>4}. (B){lziz<0或z>4}. 图3 ?7. 《数理天地》高中版数学中的思想和方法2012年第1期 (C){Iz<0或-z>6}. (D){z【z<一2或.z>2}. (2010年新课程全国卷) 分析-厂(2)一0且厂(一2)一0,f~x一2) >0等价于f(x一2)>f(2),又/(Lz)是偶函 数,且在[0,+..)上是增函数,去"_厂"可得 lz一2l>l2l, 解得z<0或z>4,选(B). 4.嵌入式 嵌入式对学生的思维要求较高,稍不注意 就会出错,遇到这类问题时,如能充分利用复合 函数的性质,结合函数的图象,化整为零,然后 各个击破,大功便可告成. 例6已知函数 厂(z)一glz一}l,z?, 10,z===J. 关于oZ.的方程-厂.(z)+bf(z)+C一0有7个不 同的根的充要条件是() (A)b<0,C>0.(B)b<0,C一0. (C)b>0,c<0.(D)b?0,C一0. 分析函数厂(z)的 图象如图4所示,包括 (1,0)点,关于z的方程 厂(z)+bf(z)+C一0有7 个不同的根,则关于_厂(z) 的二次方程的两个根一个 (2005年上海卷) 一o12 ,.)'/// 图4 是0,另一个大于0,即b<0,C=0,选(B). 5.意义式 绝对值的意义可以从两个方面来理解,一 是数轴上到某点的距离,二是向量中的模. 例7不等式l三二f【>=三的解集1.r)n l工【 是() (A)(0,2). (B)(一cx3,0). (C)(一..,0)U(O,+Cx3). (D)(2,+C×.).(2010年江西卷) 分析由绝对值不等式的意义知,绝对值 大于它本身,则其值为负数,即<0,解得 0<z<2,选(A). 例8设点M是线段BC的中点,点A在 直线BC外, BC=16,lAB+AC}一lAB—ACI, 则lAMI==:() (A)8.(B)4. (C)2.(D)1.B (2010年四川卷) ——— + 分析由BC一16,得 lBCl一4,图5 而JAB+ACl与}AB—ACI的几何意义表 ———?—-—— ? 示以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线,如 图5, ——— +———+———+———+ 因为fAB+ACf===fAB—AC{, ———— '?———+ 所以对角线lADl与lCBI相等, ——— +———'— 即lAD1:==lBC{一2lAMl一4, ————— 所以lAMl===2,选(C). (上接9页) f一2,+t?0, \2+t.?0, 解得t?一2或t一0或t?2. 故实数t的取值范围为 (一O<3,一2]U{0}U[2,+oo). 注本题是双参数不等式的恒成立问题, 求解"t一2at?0对于任意的aE[一1,1]恒 成立"的t的范围时,没有直接探寻函数g(n) 的最小值,而是利用其几何意义,故过程简洁. 例4设定义在[一2,2]上的偶函数-厂(z) 在区间[0,2]上单调递减,若厂(1一)< 厂(),求实数m的取值范围. ?8. 解因为厂(z)是偶函数, 所以厂(一z)一-厂(z)一厂(11), ,(1一)<-厂(m) 等价于厂(11一m1)<_厂(1mI). 又_厂(z)在区问[0,2]上单调递减. r一2?1一m?2, 所以一2??2, l11一l>Iml, 1 解得一1?m<寺. 厶 注根据函数的定义域,则有m,1一mE [一2,2],有四种可能,解法中利用函数的对称 性,避免了一场"大规模"的分类讨论.