稀疏表达简述

稀疏表达简述 Sparse and Redundant Representations 1.范数越趋向于0，得到的解越稀疏。 2.解在多么稀疏的情况下可以认为是唯一的全局最优解,足够稀疏就是。 3.如何找到这个解,两个方向:a.贪婪算法直接算。b.松弛成p范数。后者表现比前者好。 4.两种解法适用的条件，或者说什么样子的解能用这两种方法求出, 5.研究比Ax=b更松弛的方程，比如加入噪声。这章看得头大啊，不过最终结论是贪婪算法和1范数法都可以，还提出来一种Q计算方法。 6.计算Q的几种算法—迭代收缩算法，Q适用于维数较大的问题。 7.实际问题中非零数可与远多于理论结果。 8.2007年Candes和Tao提出的一种新的追踪算法DS。DS和BP哪个好,DS能否和BP结合得到更好的结果, 全书前8章理论知识的脉络就是: 第一第二章是基础，指出稀疏解就是求0范数，范数越趋向于0，得到的解越稀疏。 第三第六第八章是关于0范数的三种解法，分别是第三章的追踪算法，第六章的迭代收缩算法和第八章的Danzig-Selector算法。 主要讲了追踪算法。追踪算法又分为两种，一种是贪婪算法，直接求0范数问题，比如正交匹配追踪，OMP，和Thresholding算法(应该是这种算法表现最差);另一种是将0范数松弛成p范数，p大于0小于等于1，比如当p等于1时候的基追踪。 0范数也可以松弛成其他形式，比如第10章第189页，|x|-s*log(1+|x|/s)。p范数或者其他形式可以用迭代追踪算法算出。 第四章是追踪算法的条件，理想解在多么稀疏的情况下能用追踪算法算出或接近,OMP以及MP，和Thresholding算法在实际解满足什么条件的情况下适用。笼统来说，这一章开头就说了，只要是解满足“足够稀疏”，这些算法就能满足。 第五章是实际应用中算法的延伸。() 第七章是概率统计意义下的算法，能以多大概率接近或者收敛到解。() 最近在看sparse and redundant representations这本书，进度比较慢，不过力争看过的都懂，不把时间浪费掉。才看完了不到3页吧，书上基本给出了稀疏表达的概念以及传统的求法。我也用书中的例子来引入吧。 1:矩阵A(n*m)，其中n远远小于m，一副图片经过缩小或者模糊处理导致该图片所占用的空间变小了，此时用向量b来表示，A表示图片所经过的处理，X代表原图片，那么这个就可以表示成为: Ax=b 2:因为A是欠定的，一般情况下x的解有很多种，而我们要的是那种最稀疏的x。个人理解这个就是稀疏表达吧。 3:接下来文章引入了如何求x的方法，假定j(x)是求x最稀疏的函数，并且前提条件是Ax=b。用数学表达也就是 Min j(x) s.t. Ax=b 4:为了求出这个j(x)，一般情况下这个j(x)对应的是x的范数||x||右下角2的平方最小值，为了求出||x||右下角2的平方最小值，我们引入了拉格朗日乘数。关于拉格朗日乘数，我在下面补充，省的再去找资料看了。 拉格朗日乘数:它是专门为某变量在其他约束条件下求极值的问题解决，当m个变量在K个约束条件下求极值的话，它把变成k+m个数来求变量的极值，给约束条件加一个乘子即可。也就是我们上面的列出来的。 为了求出x的最小值，对x求偏导(当导数为0的地方时极值点)最终得到结果如下: 那么X的最优化的解就是(是让上式为0得到的): 把该值代入最初的Ax=b中可以求得拉姆达的值，然后就得到X最优化的解为: 补充:个人对稀疏表达的理解是，如果输入为一个很复杂的A，为了得到稀疏的表达b，那么经过一系列的操作x得到b，我觉得目的是为了得到稀疏表达的b，但是书中给出的例子是这样，也可能我 对信号处理这些地方从没有过接触，导致的不太理解。。目前看了3页书，实在觉得太难看下去了， 看到一个点都要去复习几天的书，才能够连贯起来。。