三角函数的积分

三角函数的积分 ?4. 三角函數積分(Trigonometric integrals) sinmxcosnxdxcosmxcosnxdxsinmxsinnxdxA. 型式I:,,. ,,, 此積分型式可利用下述三角函數積化和差公式計算, 1 sinmxcosnx,[sin(m，n)x，sin(m,n)x]2 1 cosnxsinmx,[sin(n，m)x,sin(n,m)x]2 1 cosmxcosnx,[cos(m，n)x，cos(m,n)x] 2 1 sinmxsinnx,,[cos(m，n)x,cos(m,n)x] 2 nnsinxdxcosxdxB. 型式?:,. ,, (1)sinxdx(,,dcosx)cosxdx(,dsinx) 當為正奇數時,在提出[或提出]後,利n 22sinx，cosx,1用三角恆等式,將被積分函數化為之多項式[或化為cosx sinx之多項式],以求積分。 (2) 當為正偶數時,利用半角公式 n 1cos2,x2sin x,2 1cos2，x2cos x,2 以降低被積分函數的次數,直到為一次多項式,再求積分。 mnsinxcosxdxC. 型式?:. , (1)sinxdx m,n中至少有一為正奇數,當為正奇數[或為正奇數]時,提出 mn 1 22(,,dcosx)cosxdx(,dsinx)sinx，cosx,1[或提出]後,利用三角恆等式,將被積分函數化為之多項式[或化為之多項式],以求積分。 sinxcosx min{m,n},m 【註】: 當正奇數時,若之最小值,則最好提出均為m,nm,n (,,dcosx)min{m,n},ncosxdx(,dsinx),若,則最好提出。 sinxdx (2) 均為正偶數,利用半角公式 m,n 1cos2,x2 sin x,2 1cos2，x2 cos x,2 以降低被積分函數的次數,直到為一次多項式,再求積分。 nntanxdxcotxdxD. 型式?:,. ,, 22cotxtanx 當n,2時,不論其為奇數或偶數,在提出[或提出]後,利用三角 恆 22221，tanx,secx1，cotx,cscx等式[或],以求積分。 nnsecxdxcscxdxE. 型式?:,. ,, 22(1) 當為正偶數時,在提出[或提出]後,secxdx(,dtanx)cscxdx(,,dcotx)n 22221，tanx,secx1，cotx,cscx利用三角恆等式[或],將被積分函數化為 之多項式[或化為之多項式],以求積分。 tanxcotx (2)n,3 當且為正奇數時,令 n,22u,secx,dv,secxdx(,dtanx) n,3du,(n,2)secxsecxtanxdx,v,tanx 或 2 n,22u,cscx,dv,cscxdx(,,dcotx) n,3du,(n,2)cscx(,cscxcotx)dx,v,,cotx 透過分部積分法進行積分。 mnmnsecxtanxdxcscxcotdxF. 型式?:,.,, 22(1) 當為正偶數時,在提出[或提出] secxdx(,dtanx)cscxdx(,,dcotx)m 22221，tanx,secx1，cotx,cscx後,利用三角恆等式[或],將被積分函數化為之多項式[或化為之多項式],以求積分。 tanxcotx (2)secxtanxdx(,dsecx) 當為正奇數時,在提出[或提出n 22(,,dcscx)1，tanx,secxcscxcotxdx] 後,利用三角恆等式[或 221，cotx,cscx],將被積分函數化為之多項式[或化為之多項secxcscx式],以求積分。 (1)(2) 【註】:當,兩種情形均滿足,亦即當為正偶數,且為正奇數時, 若mn 2min{m,n},m,則最好提出[或最好提出secxdx(,dtanx) 2min{m,n},n],若,則最好提出cscxdx(,,dcotx) secxtanxdx(,dsecx)(,,dcscx)cscxcotxdx[或最好提出]。 22(3)1，tanx,secx 當為正奇數,且為正偶數時, 利用三角恆等式[或mn kk22secxdxcscxdx1，cotx,cscx],原積分式可化為[或化為],其中k為,,正奇數,故可以透過分部積分法進行積分。 G. 問題 3 11sin3xcos5xdx1. 求. (Ans: ) ,cos8x，cos2x，C,164 11sin3xsin2xdx2. 求. (Ans: ) ,sin5x，sinx，C,102 11cos4xcos2xdx3..(Ans: ) 求 sin6x，sin2x，C,124 x12sinxdx4..(Ans: ) 求 ,sin2x，C,24 31133cosxdx5. 求. (Ans:,或 ) sinx,sinx，Csinx，sin3x，C,3412 3x114cosxdx6. 求. (Ans: ) ，sin2x，sin4x，C,8432 21535sinxdx7. 求. (Ans: ) ,cosx，cosx,cosx，C,35 5x13163sinxdx8. 求. (Ans: ) ,sin2x，sin4x，sin2x，C,1646448 33x3x229. 求(1，cos3x)dx.【提示:利用倍角公式,化為】 cos3x,cos2()2cos(),1,22 423x13x3[sin(),sin()]，C (Ans: ) 3232 113235sinxcosdx10.求. (Ans: ) ,cosx，cosx，C,35 x122sinxcosxdx11.求. (Ans: ) ,sin4x，C,832 12145579sinxcosdx12.求. (Ans: ) sinx,sinx，sinx，C,579 113568sin3xcos3xdx13.求. (Ans: ) ,cos3x，cos3x，C,1824 114375cos2xsin2xdx14.求. (Ans: ) cos2x,cos2x，C,14103xcos3333222dx15.求. (Ans: ) (sinx),sinx(sinx)，C,328sinx 5cosx113dx16.求. (Ans: ) ,,2sinx，sinx，C2,sinxsinx3 2233sinxcosxdx17.求. (Ans: ) ,cosxcosx，cosxcosx，C,3732ttsincos223518.求. (Ans: ) dt,cost，cost，C,35t 4 3xx1119.求. (Ans: ) sinsindx,sin2x，sinx，C,4222 sinx3sinx3cosxdx20.求. (Ans:，C ) ,ln3 3x114sin2xdx.(Ans: ) 21.求 ,sin4x，sin8x，C,8864 x11423sin3xcos3xdx22..(Ans: ) 求 ,sin12x,sin6x，C,16192144 1133sin5xdx23.求. (Ans: ) ,cos5x，cos5x，C,515 2tanxdx24.求. (Ans: ) tanx,x，C, 132tanxdx25.求. (Ans: ) tanx,lnsecx，C,2 143tanxdx26.求. (Ans: ) tanx,tanx，x，C,3 11542tanxdx27.求. (Ans: ) tanx,tanx，lnsecx，C,42 111653tan3xdx28.求. (Ans: ) tan3x,tan3x，tan3x,x，C,15932cotxdx29.求. (Ans: ) ,cotx,x，C, 132cotxdx30.求. (Ans: ) ,cotx，lncscx，C,2 41331.求cotxdx. (Ans: ) ,cotx，cotx，x，C,3 111542cot2xdx32.求. (Ans: ) ,cot2x，cot2x,lncsc2x，C,842 11653cotxdx33.求. (Ans: ) ,cotx，cotx,cotx,x，C,53 13secxdx34.求. (Ans: ) (secxtanx，lnsecx，tanx)，C,2 143secxdx35.求. (Ans: ) tanx，tanx，C,3 1353secxdx36.求. (Ans: ) secxtanx，(secxtanx，lnsecx，tanx)，C,48 121635sec3xdx37.求. (Ans: ) tan3x，tan3x，tan3x，C,3915 5 3cscxdx38.求. , 11(Ans:,或 ) (,cscxcotx，lncscx,cotx)，C,(cscxcotx，lncscx，cotx)，C 22 1143csc2xdx39.. (Ans: ) 求,cot2x,cot2x，C,26 1353cscxdx40..(Ans: , 求 或,cscxcotx，(,cscxcotx，lncscx,cotx)，C,48 133 ) ,cscxcotx,(cscxcotx，lncscx，cotx)，C48 21635cscxdx41.求. (Ans: ) ,cotx,cotx,cotx，C,35 111166246secxtanxdx42.求. (Ans:,或 ) secx，Ctanx，tanx，tanx，C,6226 1111346446tanxsecxdx43.求. (Ans:,或 ) tanx，tanx，Csecx,secx，C,4664 12126357tanxsecxdx44.求. (Ans: ) tanx，tanx，tanx，C,357 113797tan2xsec2xdx45.求. (Ans: ) sec2x,sec2x，C,1814 322332tanxsecxdx46.求. (Ans: ) secxsecx,secxsecx，C,73 12tanxsecxdx47.求. (Ans: ) (secxtanx,lnsecx，tanx)，C,2 2243tanxsecxdx48.求. (Ans: ) tanxtanx，tanxtanx，C,37 1114244cot3xcsc3xdx49.求. (Ans: ,或 ) ,csc3x，C,cot3x,cot3x，C,12612 113575cotxcscxdx50.求. (Ans: ) ,cscx，cscx，C,75 111041113cotxcscxdx51.求. (Ans: ) ,cotx,cotx，C,1113 1111346446cotxcscxdx52.求. (Ans: ,或 ) ,cscx，cscx，C,cotx,cotx，C,6446 111176246sinxsecxdx53.求. (Ans:,或 ) secx，Ctanx，tanx，tanx，C,6226 11222cosxcotxdx54.求. (Ans:,或 ,或,lncscx,sinx，C,lncscx，cosx，C,22 6 1 ) ,lncscx，cos2x，C4 dx55.求. (Ans: ) cscx，cotx，C,cosx,1 112322cosxtanxdx56.. (Ans:, ,求或或lnsecx,sinx，Clnsecx，cosx，C,22 1 ) lnsecx，cos2x，C4 1,sinx57.求. (Ans:,cotx,lncscx,cotx，cscx,lncscx，C,或dx,1，cosx ,cotx，lncscx，cotx，cscx,lncscx，C,或 ,cotx，cscx，ln1，cosx，C ) xx11cos，sin58.求. (Ans:,或 dxlncscx,cotx，lnsecx，tanx，C,22xsin2 11 ) ,lncscx，cotx，lnsecx，tanx，C22 21,tanx1dx59.求. (Ans: ) sin2x，C2,secx2 x5335,3sin260.求. (Ans: ) dxsin6x，cos8x,cos4x，C,6168xsec6 233522tanxsecxdxsecxdxsecxdxtanx,secx,161.求.【提示:先化,再利用分部積分法求及】 ,,,113(Ans: ) secxtanx,(secxtanx，lnsecx，tanx)，C48 43522tanxsecxdxsecxdxsecxdxtanx,secx,162.求.【提示:先化,再利用分部積分法求及】 ,,,1533 (Ans: ) secxtanx,secxtanx，lnsecx，tanx，C488 ,2263.求. (Ans:, ) sin2xcos3xdx,05 ,86564.求. (Ans: ) 3cos3xdx,015 ,43165.求. (Ans: ) 8cos2,sin2,d,,0 ,266.求. (Ans: ) ,1,cos2,d,2,0 2,1,cosxdx467.求. (Ans: ) ,02 7 ,4368.求. (Ans:2,2ln2 ) 4tanxdx,0 ,4,3cscd,69.求. (Ans: ) 82,,2 ,42216sinxcosxdx70.求. (Ans: ) ,,,,4 8