杨辉三角数阵的增宽
上海市奉贤中学 王志和 201400
杨辉三角是我国古代数学的卓越成就,它和谐对称,耐人寻味,本文将杨辉三角数阵的
横向增宽,得到一系列数阵,其性质与杨辉三角类似。
1 1 1 数阵(一)特点是:从第二行起,
1 2 3 2 1 每一个数都等于它的“头”上及
1 3 6 7 6 3 1 “两肩”上的三个数之和,
1 4 10 16 19 16 10 4 1 (空挡处以0计算,以下类同)
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 计算前几行,可以猜测,
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ n。 第n行的各数的和是3数阵(一)
数阵(二)特点是:
从第二行起,每一个数
都等于它的“挑起”的四个 1 1 1 1 数(左右各两个)之和,计 1 2 3 4 3 2 1 算前几行,可以猜测,第n 1 3 6 10 12 12 10 6 3 1
1 4 10 20 31 40 44 40 31 20 10 4 1 n行的各数的和是。 4„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
数阵(三) 数阵(二) 特点是从第二行
起,每一个数都
1 1 1 1 1 等于它“头”上
1 2 3 4 5 4 3 2 1 的数及它的“挑
1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1 起”的四个数
1 4 10 20 35 52 68 80 85 80 68 52 35 20 10 4 1 (左右各两个)
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 共五个数之和,
数阵(三) 计算前几行,
可以猜测,第
nn行的各数的和是。 5
一般地,按照以上的规则,当是奇数时,第一行有个1,从第二行起,每一个数mm
m,1m,1都等于它“头”上数的及“挑起”个数(左右各个数)的和;当是偶数时,m2
m从第二行起,每一个数都等于它“挑起”的个数(左右各个数)的和,可以猜测,第m2
nn行的各个数的和是。 m
我们只以数阵(一)的情形给出证明,其它的道理一样。
2n(1,x,x)考察的展开式,按次数从低到高排列。
2当n=1时,系数是 :1 1 1 1,x,x
22234(1,x,x),1,2x,3x,2x,x当n=2时,,系数是:1 2 3 2 1
22234即:(1,x,x),1,(1,1)x,(1,1,1)x,(1,1)x,x,
2323456当时,(1,x,x),1,3x,6x,7x,6x,3x,x; n,3
系数是:1 3 6 7 6 3 1
即
2323456(1,x,x),1,(1,2)x,(1,2,3)x,(2,3,2)x,(3,2,1)x,(2,1)x,x一般地:
2n232n,22n,12n设:(1,x,x)= a,ax,ax,ax,?,ax,ax,ax01232n,22n,12n
2n,122n(1,x,x),(1,x,x)(1,x,x)又设:=
232n,22n,12n2n,12n,2 b,bx,bx,bx,?,bx,bx,bx,bx,bx01232n,22n,12n2n,12n,2
„„„„„„„„„„„„„„„„(1)
22n(1,x,x)(1,x,x),另外:
2232n,22n,12n(1,x,x)() a,ax,ax,ax,?,ax,ax,ax01232n,22n,12n
23a,(a,a)x,(a,a,a)x,(a,a,a)x,?,= 001012123
2n2n,12n,2(a,a,a)x,(a,a)x,ax 2n,22n,12n2n,12n2n
„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 比较相等的(1)式和(2)式得:
,,,„, b,a,1b,a,ab,a,a,ab,a,a,a0010120123123
,, b,a,a,ab,a,ab,a,12n2n,22n,12n2n,12n,12n2n,22n
2n(1,x,x)即的展开式按的升幂排列的系数若是数阵(一)的第n行,则 x
2n,1(1,x,x)的展开式按的升幂排列的系数便是数阵(一)的第n+1行,由数学归纳法,x
2n2n(1,x,x)(1,x,x)得的展开式按的升幂排列的系数就是数阵(一)的第n行数,而x
nn的展开式系数和是,于是数阵(一)的第n行的数的和是。 33
2n(1,x,x)利用数阵(一)与的展开式的系数的对应关系,也可以求出数阵(一)的
2n3(1,x,x)第n行的各个数,例如求第n行的第4个数,便是的的系数,即是:x311n,5C,,C,C,,如时即第5行的第4个数是30等。对其它数阵的各行的各数亦可nnn,1
求出。