1-2 概率的定义与性质[精华]

1-2 概率的定义与性质[精华] 1-2 二、概率的定义与性质 概率三、小结 的定 义与 性质 一、频率的定 义与性质 一、频率的定义与性质 1. 定义 在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 n 成 f n ( A). 称为事件 A 发生的 频率 ,并记 2. 频率性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 (1) 0 , f n ( A) , 1; 非负性 规范性 (2) f ( S ) , 1, f ( ) , 0; , A (3) 若 A1 2 , L, Ak 是两两互不相容的事件 ,则 f ( A1 U A2 U L U Ak ) , f n ( A1 ) ， f n ( A2 ) ， L ， f n ( Ak ). 有限可加性 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 频率的特点分析 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. 1 f ( H ) n的增大 2 . 验证频率稳定性的经典实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放 入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样 的. 重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小( 请同学们思考 医生在检查完病人的时候摇摇头:“你的病 很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说:“ 但你是幸运的(因为你找到了我，我已经看过九 个病人了，他们都死于此病.” 医生的说法对吗? 二、概率的定义与性质 1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅速的发展. 柯尔莫哥洛夫资料 柯尔莫哥洛夫资料 1. 概率的定义 设 E 是随机试验 , S 是它的样本空间.对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 ,记为 P( A) ,称为事 件 A的概率,如果集合函数 P( , )满足下列条件 : (1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P( A) , 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S ,有 P( S ) , 1; , A 事件 ,即对于 i , j , Ai A j , , i , j , 1, 2,L,则有 P( A U A2 UL , P( A ) ， P( A2) ，L 概率的可列可加性 是两两互不相容的设: ,(3) L1 2A可列可加 性 1 ) 1 2. 性质 (1) P( ) , 0. 证明 An , (n , 1,2,L), , ., A A i jA , i jn ,且则, n,1 U 由概率的可列可加性得 , , P P An ( ) U ( )nP n,1 n,1 A , ( )P , n,1 ( ) 0., ,, P P( ) , 0 , , A 则有是两两互不相容的事件若 1 2 ,( 2) , , nA AL P(A1 U A2 ULU An) , P(A1) ， P( A2) ，L， P(An). 概率的有限可加性 证明 令 An，1 , An， 2 , L , , , Ai A j , , i , j, i , j , 1,2,L. 由概率的可列可加性得 AU )( 1 2 AAPn ULU( )kP A, U , k( )P A , ，( ) 0 n ,1k 1,k kP A k ,1 , P( A1) ， P( A2) ，L， P(An). (3) 设 A, B 为两个事件 ,且 A B,则 P( A) , P( B), P ( B A) , P( B) P ( A). 证明 因为 A B, B 所以 B , A U ( B A). A 又 ( B A) I A , , 得P ( B) , P( A) ， P ( B A) . 于是P( B A) , P( B) P( A). 又因 P(B A) , 0, 故 P( A) , P(B). (4) 对于任一事件 A, P( A) , 1. 证明A S , P( A) , P ( S ) , 1, 故 P ( A) , 1. (5) 设 A 是 A 的对立事件 , 则 P( A) , 1 P( A). 证明 因为 A U A , S , A I A , , P ( S ) , 1, 所以 1 , P ( S ) , P( A U A) , P( A) ， P( A) . , P( A) , 1 P( A). (6) (加法公式 ) 对于任意两事件 A, B 有 P( A U B) , P( A) ， P( B) P( AB). 证明 由图可得 A U B , A ， ( B AB), BA AB 且 A I ( B AB) , , 故 P( A U B) , P( A) ， P( B AB). 又由性质 3 得 P( B AB) , P( B) P( AB), 因此得P ( A U B) , P( A) ， P( B) P( AB). 推广 三个事件和的情况(“奇加偶减”) P ( A1 U A2 U A3 ) , P( A1 ) ， P( A2 ) ， P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 ) P( A1 A3 ) ， P ( A1 A2 A3 ). n 个事件和的情况 n U A ,i1, j,Pn ( Ai i ,1 jA ) ， n 1 A A A P( A1 2 U L U An ), P( Ai ) P( A1 2 L An ). ji1, , , kP, n( Ai j k ) ， L ， ( 1) 11 例1 设事件 A, B 的概率分别为 2 3 三种情况下 P( B A)的值. 1 8 解 (1)由图示得 P( B A) , P( B), 1 2 AB (2)由图示得 S P( B A) , P( B) P( A) 2361 1 1 BA S 和 , 求在下列 (1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) , . 故 P( B A) , P ( B) , . , , . (3) 由图示得 A U B , A U B A, 且 A I B A , , 又 P( AU B) , P(A) ， P(B) P( AB), P ( A U B A) , P ( A) ， P ( B A), 1 1 3 因而P( B A ) , P( B) P( AB) , , . 2 8 8 A ABB S 三、小结 1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质 (1) 0 , P(A) , 1, P(S) , 1, P( ) , 0; (2) P ( A) , 1 P( A); (3) P( AU B) , P( A) ， P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件 ,且 A B,则 P( A) , P( B), P( A B) , P( A) P( B). 作业 ? 习题一 – 4 – 5* – 6* – 7* 柯尔莫哥洛夫资料 Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia