人口增长模型

人口增长模型 2006-2015年城镇化人口水平预测 中国人口预测模型 摘要 本文针对人口增长预测问题，以出生率、死亡率、初生婴儿性别比、老龄化指标、城镇化指标为研究因素，根据灰色理论、布朗运动理论，采用回归拟合等预测方法，分别建立模型，进行解答。 首先，对数据的预处理，我们发现中国人口增长有如下特点:老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化。然后对于城镇化过程，本文利用Logistic曲线，建立了一个城镇化模型。通过拟合回归，得出不同饱和人口数条件下Logistic曲线的相应参数，用于预测城镇化水平。对于出生婴儿的性别差异，借用分子动力学中的布朗运动理论，构造性别比函数，建立初生婴儿性别比预测模型，对初生婴儿性别比进行中短期和长期预测，经长期发展，性别比趋于1:1，不再存在性别选择。建立为了预测老龄化过程，本文对已知年份的老龄化指数进行灰色预测，建立基于GM的人口老龄化预测模型。综合考虑人口自然增长率、迁徙率，建立系统增长模型，预测出2050年市、镇、乡人口比例趋于稳定，为 。 最后，对模型的优缺点进行评价，指出了人口预测模型中的不足，并提出了更加合理预测方法。 一、问题重述 中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素一。根据已有数据，关于人口发展出中国是现了一些新的特点，例如，老龄化进程加之速、出生人口性别比持续升运用建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据)，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测;特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 二、问题分析 2006-2015年城镇化人口水平预测 中短期是指 长期是指 人口结构是指将人口以不同的标准划分而得到的结果。其反映一定地区、一定时点人口总体 内部各种不同质的规定性的数量比例关系，主要有性别结构和年龄结构。 人口地域结构是形成人口出生率、死亡率差异重要因素 育龄妇女生育率可分为一般生育率、分年龄生育率等。一般生育率是指每1000妇女的全年活产婴儿数。分年龄生育率是指一定年龄组中每1000妇女的全年活产婴儿数。人口自然增长率由出生率与死亡率共同决定。 三、模型假设 1、所有统计数据真实可信且抽样能够完全反映总体的特征。 2、中短期不考率逆城市化现象。 3、人口自然增长，不发生重大灾害、疾病、大规模人口迁徙。 4、 四、符号系统 t 第年全国人口总数 St()i,1,2,3; t第年市、镇、乡的人口总数 t,1,2,？;i,1,2,3; St()i t年市、镇、乡的出生率; 第bt()i t年市、镇、乡的死亡率; 第 dt()i t第年市、镇、乡的自然增长率; rt()i t年市、镇、乡的婴儿性别比; 第 g()ti h()tti第年市、镇、乡的65岁(包括65岁)以上人口占总人口比例; ft()t年不同年龄组市、镇、乡的女性比率; 第ki t年不同年龄组市、镇、乡的育龄妇女生育率; 第,()t ki t第年不同年龄组市、镇、乡的男性比率; m()t ki 1t年不同年龄组市、镇、乡的女性死亡率; 第dt() ki 2006-2015年城镇化人口水平预测 2t年不同年龄组市、镇、乡的男性死亡率; 第 dt()ki 五、模型的建立与求解 5、1模型一:Logistic城镇化模型 5、1、1模型的建立 城镇的主要标志是城镇人口规模的逐渐扩大，其本质是乡村人口向市镇人口转变的过程。 dStSt()()11 (5、1-1) ,,,St()(1)idtM() 5、1、2模型的求解 按照城镇化理论，一般将城镇化进程分为3个阶段:30%以下为城镇化初级阶段，30%~70%为城镇化中期阶段，70%以上为城镇化的后期阶段。 M (5、1-2) St(),1,1exp()，,at 对上式进行对数运算得到如下结果: (5、1-3) ln(())ln(())lnMStStat，,,,,11 对上式化简成一个一元参数方程: Yat,,,ln(514),、 根据附表中的数据，求得各年城镇化水平(见表一)，即可通过普通最小二乘法估计模型中的待定参数a, 2006-2015年城镇化人口水平预测 表一 城镇人口比例抽样值 年份 2001 2002 2003 2004 2005 城镇化 0.371655 0.3870969 0.412354 0.411789 0.4484 根据样本中2001年至2005年的城镇人口数量与乡村人口数量可以求出城镇化水平，进而用MATLAB对5、1、4 式进行最小二乘法的参数估计，求出城镇化水平拟合函数中的可决系数 ，残差平方和(见表 二 )。 RS 根据上述参数估计结果，对2006年至2013年中国人口城镇化水平预测(见表三 )。 5、2模型二:基于GM的性别比预测模型 结合各年婴儿性别比作图拟合、分析，用几何布朗运动对其进行描述和预测，建立婴儿性别比预测模型 5、2、1数据预处理，设时间序列为 (0)(0)(0)(0)(0) (5、2-1) gggggn,((1),(2),(3),...,())iiiii (1)(0)称为的一阶累加生成，即 ggii j(1)(0) (5、2-2) gjgz()(),,ii,1z 5、2、2模型的建立 通过累加生成削弱原始数据的随机干扰，突出系统蕴含的内在规律。对生成数 (1)据列建立 gi ,,,t,(1)(0)221gtge(1)((1))-，,,，(5、23)ii ,,11 5、2、3模型的求解 即上解述微分方程得时间显影模型为 (1)dg(1)i，,,,g,,、(式中为参数) (5、2-4) 12i12dt TTT,1()()A,,,BBB设方程的参数向量: (5、2-5) 1,2j 2006-2015年城镇化人口水平预测 为累加生成矩阵，为向量，二者的构造分别为ABj 1，，(1)(1),，((2)(1))1ggii,,2,,1(1)(1),,(0)(0)(0)T,，((3)(2))1ggAgggj,((2),(3),...,())iijiii,,B, 2,, ,, ,,1(1)(1),，,(()(1))1gjgj,,ii，，2 (0)为第天的一次累加生成值。令可求得式中，tj,,1,2,...,1,gz()zi (0)(1)(1)(1)(1) gt(1)，gggj(2),(3),...,(),gt(1)，，即 从而有序列是一次累加量，还需求出iiiii (0) gt(1)，i还原值 ，即 (0)(1)(1) gtgtgt(1)(1)()，,，,。 (5、2-6) iii 随着时间的推移，某一阶段的婴儿性别比会影响未来育龄妇女比率进而影响出 生率。 5、3模型三:基于GM的老龄化人口预测模， 根据各年各地区老年人口占人口总数的比例预测人 口老龄化发展趋势 5、4四:系统增长模型 人口增长速率与人口基数、自然增长率有关。出生率与育龄妇女占总人口的比例、 生育率有关，死亡率与老龄化指数有关。 12dtftdmtdt()()()(),，,ikikikikik 2006-2015年城镇化人口水平预测 49 bttft()()(),,,ikiki,k15 r()()()tbtdt,,iii 再考虑市镇乡人口迁移率，对上述模型改进，得到系统增长模型。 StStrtSt(1)()()()，,,，,(,)，,(,),,,,,,,,,,,,, , StStrtSt(1)()()()，,,,,(,)，,(,),,,,,,,,,,,,, ,StStrtSt(1)()()()，,,,,(,),,(,),,,,,,,,,,,,, 3 StSt()(),,i i,1 六、模型的求解 6、1模型一:Logistic城镇化模型的求解 表二Logistic模型参数估计值 参数 M=1 M=0.3 M=0.8 , , 年份 2006 K=1 K=0.3 K=0.8 2007 2008 2009 2006-2015年城镇化人口水平预测 2010 2011 2012 2013 2014 6、2模型二:基于GM的性别比预测模型的求解 表三 各年初生婴儿性别比 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 初生 婴儿 性别 比 6、3模型三:基于GM的老龄化人口预测模型的求解 年份 2001 2002 2003 2004 2005 老龄化比例 6、4模型四:系统增长模型的求解 2006-2015年城镇化人口水平预测 近几年人口出生率变化图 3500 3000 2500 2000乡1500镇1000市出生率(1/100000)500 0 20012002200320042005 出生率 地点 市 镇 乡 年份 2001 907.1304 1070.334 1232.749 2002 831.9672 990.419 1228.342 2003 776.754 1033.262 1202.791 2004 871.5267 1026.254 1151.718 2005 796.4607 917.3285 1013.21 近几年人口死亡率图像 800 700 600 500市400 镇300 乡200死亡率(1/100000)100 0 2000200120022003200420052006 死亡率 地点 市 镇 乡 年份 2001 482.9383 467.0273 662.0517 2002 462.834 498.7258 719.0228 2003 506.6032 475.4763 690.2572 2004 454.8341 522.0627 722.0157 2005 449.478 529.5755 730.9105 性别比 地点 市 镇 乡 2006-2015年城镇化人口水平预测 年份 111.9 113.5 2001 115.5 2002 112.8 121.7 117.5 2003 111.1 114.6 120 2004 114.6 128.2 123.5 2005 115 116.7 120.3 近几年我国老龄化状况图 25 20 15市 镇10 乡5 0 2000200120022003200420052006老年人(65岁以上0所占人口比例(%) 近几年婴儿性别比例图 130 125 120 115 110 105 19921994199619982000200220042006 市男女出生比例(女100计)镇男女出生比例(女100计) 乡男女出生比例(女100计) 性别比 地点 市 镇 乡 年代 1994 114.52 124.33 116.15 1995 111.92 115.62 117.75 1996 111.68 111.68 117.7 1997 108.81 125.9 118.85 1998 110.68 108.73 119.98 1999 110.27 118.4 122.03 2000 113 116.3 119.3 2001 109.28 116.02 117.59 2006-2015年城镇化人口水平预测 2002 111.37 123.12 122.11 2003 112.06 110.97 120.9 2004 114.44 126.9 122.21 2005 113.92 117.21 121.21 各年人口出生率死亡率自然增长率见表一 2001 2002 2003 2004 2005 出生率 死亡率 自然增长率 七、模型的检测与评价 7、1、模型一中预测至 年，人口总数将达到 亿，与实际情况较为吻合 7、2、基于GM的性别比模型的检验 7、2、1残差检验 根据初生婴儿性别比原始序列和预测模型计算出的模拟序列，计算出残差序列 (1)(1)(1)(0)(0)(0)(0) ,,,,,,,,,((1),(1),...,())((1)(1),(2)(2),...,()())ngggggngniiiiii 相对误差序列 ,,,(1)(2)()n,,()(,,...,)1,2,...,zzn ,(0)(0)(0)gggn(1)(2)()iii n1,,,z(),平均相对误差。 n,1z max,max(),,,,z当给定,，成立时，称模型为残差合格模型。 ,,00 7、2、2关联度检验 , 设为原始序列和模拟序列的绝对关联度 1，，,,01 ， ,,1，，，,,,,,0110 nn,,1111(0)(0)(1)(1),,,，,，gzgngzgn()(),()(),,01iiii其中， 22zz,,22 2006-2015年城镇化人口水平预测 若对于给定的有，则称模型为关联度合格模型。 ,,0,,,,00 7.2.3后验差检验 nn11(0)2(0)2ggzSgzg,,,(),(()),,ii1nn,,zz11 设 nn1122,,,,,,(),(())zSz,,2nn,,zz11 模型二分析、预测婴儿性别比，进而影响未来时间内出生率，对人口控制提供理论依据 2006-2015年城镇化人口水平预测 3、模型三预测老龄化指标对于分析人口年龄结构具有借鉴 2006-2015年城镇化人口水平预测 参考文献 [1] 飞思科技产品研发中心，MATLAB 7.0基础与提高，电子工业出版社，北京，2006 [2] 徐流美等，MATLAB 6.5在科学计算中的应用，清华大学出版社，北京，2005 [3] 谭永基、蔡志杰等，数学建模，复旦大学出版社，上海，2005 [4] 韩中庚等，数学建模竞赛，科学出版社，北京，2007 附录