牛顿一莱布尼茨公式

????? 2 :熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式的使用 :重点为牛顿一莱布尼茨公式的使用,难点为牛顿一莱布尼茨公式的证明 :讲练结合 从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的．下面要 介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积 分与不定积分联系了起来． 91 若函数,,,,,，，，，f在a,b上连续，且存在原函数，即Fx,fx,x,a,b，F b则，，，，，，,,fxdx,Fb,Fa.f在a,b上可积，且 这称为，它也常,a bb写成 ，，，，fxdx,Fx.a,a 由定积分定义，任给，要证存在，当时，有T,,,,0,,0n ． ，，，，，，,,f,,x,Fa,Fb,,,iii,1 事实上，对于,,,,T,,,a,x,x,？,x,bx,xa,b的任一分割，在每个小区间01ni,1i ,,，，x,x,i,1,2,？,n，，Fx上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使得 ii,1i n ,,，，，，，，，，Fb,Fa,FxFx,ii,1i,1 nn , （2） ，，，，,F,,x,f,,x,,iiii i,1i,1 因为,,,fa,b在上连续，从而一致连续，所以对上述，存在，当、x,,0,,0,,,,,时，有 ,,x,a,b且x,x,, , ,,,，，，，fx,fx, b,a 于是，当,,,,x,x时，任取，便有，这就证得 ,x,T,,,,,,,ii,1iiii n ，，，，，，,,f,,x,Fa,Fb,iii,1 n = ，，，，,,f,,f,,x,iiii,1 第九章第二节第1页 n，，，，,f,,f,,x ,iiii,1 n, ,,,x,,. ,ib,ai,1 所以,,f在a,b上可积，且有公式(1)成立． 1 在应用牛顿一莱布尼茨公式时，，，Fx可由积分法求得． 2 定理条件尚可适当减弱，例如： 1)对，，,,的要求可减弱为：在a,b上连续，在a,b内可导，且F ,，，，，，，Fx,fx,x,a,b．这不影响定理的证明． 2)对,,,,a,ba,bf的要求可减弱为：在上可积(不一定连续)．这时(2)式仍成立，且由f在 b，，上可积，(2)式右边当时的极限就是fxdx，而左边恒为一常数． T,0,a 1 利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： bn 1)，，xdxn为正整数； ,a bbdxx 2)，，edx； 3)； 0,a,b,2,aax ,22 4)sinxdxx4,xdx； 5)． ,,00 解 其中1)一3)即为?1中的例题和习题，现在用牛顿—莱布尼茨公式来计算就十分方 便： n，1bx1nbn，1n，11），，xdx,,b,a. a,an，1n，1 bxxbba2）edx,e,e,e. a,a bdx111b3）,,,,. a2,axabx ,,4）sinxdx,,cosx,2 0,0 25)先用不定积分法求出的任一原函，，fx,x4,x 数，然后完成定积分计算： 3112222 ，，，，x4,xdx,,4,xd4,x,,4,x，C ,,23 2318222 ，，x4,xdx,,4,x, 0,033 第九章第二节第2页 2 利用定积分求极限： 111,, ，，，,J lim？,,n,,n，n，n122,, : 把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分．为此作如下变形: n11 ,,Jlim,n,,in,1i，1n 1不难看出,其中的和式是函数,,，，在区间0,1上的一个积分和(这里所取的是等分fx,1，x 1ii,1i，，分割，,x,,,,,,,i,1,2,？,n)所以 ii,,nnnn，， 1dx1 ，， J,,ln1，x,ln20,01，x 1 当然,也可把,,，，1,2看作在上的定积分,同样有 fx,Jx 23dxdx J,,,？,ln2,,12xx,1 :1(2),(7),2(2) 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安 全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站， 将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆 丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和 账务服务。 第九章第二节第3页