正比例和反比例

正比例和反比例 中小学1对1课外辅导专家 龙文教育学科老师个性化 教师 孙世静 学生姓名 上课日期 学科 数学 年级 教材版本 浙教版 第()课时 类型 本人课时统计 知识讲解?: 考讲解?: 共()课时 课时数量 学案主题 知识强化 第( )课时 授课时段 (全程或具体时间) 教学内容 正比例和反比例 教学目标 个性化学习问题解决 举一反三、反复强化 教学重点、正比例与反比例理解与辨析 难点 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值 (也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。 如果用字母,和,分别示两种相关联的量，用,表示它们的比值，正比例关系可以用这样的 y式子来表示: = K(一定)。 x 2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值， 考点 估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定， 这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母,和,分别表示两种相关联的量，用,表示它们的积，反比例关系可以用这样的式 子来表示:,, = K(一定)。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例;两个变量的积一定，这两个变量成反比例;没有上述 两种关系，这两个变量不成比例。 学生活动 典型例题 例1、(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系, 时间/时 1 2 3 4 5 6 „„ 路程/千米 120 240 360 480 600 720 „„ 教学过程 教师活动 分析与解:(1)从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 (2)从左往右看，时间扩大，路程也扩大;从右往左看，时间缩小， 路程也缩小。所以它们是两种相关联的量。 360240120(3)路程和时间的比值始终不变， = 120， = 120， = 123 120„„这个比值就是火车的行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现:第一点路程 和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化;第二 点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的，有这样的 1 中小学1对1课外辅导专家 路程 = 速度(一定)。 关系:时间 具备了这两个条件，我们就可以得到结论:行驶的路程和时间成正比 例关系;行驶的路程和时间成正比例的量。 点评:判断两种量是不是成正比例，分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母,和,分别表示两种相关联的量，用,表 y示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示: = K(一定)。 x 例2、(判断是否成正比例) 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例,为什么, 分析与解:根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比 值一定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系: 买练习本的总价 = 练习本的单价(一定) 数量 所以练习本的数量和总价成正比例。 例3、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间/分 1 2 3 4 5 6 7 „„ 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 „„ (1)图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试 着描出其他各点。 (2)连接各点，它们在一条直线上吗, (3)根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米,行驶30千米大约需要几分钟, 路程/千米 42 35 28 21 14 7 ?A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分 分析与解:根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和 时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例， 图像是一条直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也 可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。 2 中小学1对1课外辅导专家 (1)描点、连线如图。 路程/千米 42 ? 35 ? 28 ? 21 ? 14 ? 7 ?A 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分 (2)在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 (3)根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大 约需要4.3分钟。 例4、(辨析)圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例, 分析与解:圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径/cm 1 2 3 4 5 6 „„ 直径/cm 2 4 6 8 10 12 „„ 周长/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 „„ 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 „„ 面积/cm? 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。 例5、(反比例的意义) 下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种 量有什么关系, 每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60 80 „„ 加工的时间/时 12 8 6 4 3 „„ 分析与解:(1)从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两 种量。(2)从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时 间反而缩小;从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的 时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。(3)每小时加工零 件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240„„而这个积就是这批零件 的总个数。 通过观察和计算，我们发现:每小时加工零件的个数和加工 3 中小学1对1课外辅导专家 的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时 间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有 这样的关系:每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的 总个数(一定)。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之 间的关系叫做反比例关系。 点评:判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母,和,分别表示两种相关联的量，用,表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示:,, = K(一定)。 例6、(判断是否成反比例) 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例,为什么, 分析与解:根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积 一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系: 每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量(一定) 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。 例7、(辨析)和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解:判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很 明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评:有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不 是积一定，也 不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有:人 的跳高高度和身高;减数一定，被减数和差等。 例8、(综合题1) (1)长方形的面积一定，长和宽成反比例吗,为什么, (2)长方形的周长一定，长和宽成反比例吗,为什么, 分析与解:判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。 (1)因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积(一定)，所以长和宽成反比例。 (2)长方形的周长 = (长+宽)× 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和 一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。 例9、(综合题2) 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 (1)大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数; (2)每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数; (3)天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解:在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量 一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根 据数量关系式来判断。 (1)因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数(一定)，所以大米的总千 4 中小学1对1课外辅导专家 克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。 大米的总千克数 = 每天吃的千克数(一定)，所以每天吃的千克数(2)因为天数 一定时，大米的总千克数和天数成正比例。 大米的总千克数(3)因为 = 天数(一定)，所以天数一定时，大米的总千克每天吃的千克数 数和每天吃的千克数成正比例。 【复习专题训练与巩固】 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗,有什么关系,为什么, 表格1 数量/本 1 3 6 8 10 20 „„ 总价/元 4 12 24 32 40 80 „„ 表格2 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 „„ 总价/元 6 8 12 16 20 24 „„ 表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表: 单价/元 1.5 2 3 4 5 6 „„ 数量/本 40 30 20 15 12 10 „„ 2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。 题中( )量一定，关系式:( )?( ),( )(一定)，( ) 和( )成( )比例。 3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米 的正方形地砖，需要Y块。 题中( )量一定，关系式:( )?( ),( )(一定)， ( )和( )成( )比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，( )与( )成( )比例; 当高一定时，( )与( )成( )比例; 当侧面积一定时，( )与( )成( )比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当( )一定时，( )与( )成正比例; 当( )一定时，( )与( )成反比例; 6、当 a × b , c( a、b、c 为三种量，且均不为0)。 ( )一定，( )与( )成( )比例; ( )一定，( )与( )成( )比例; ( )一定，( )与( )成( )比例; 5 中小学1对1课外辅导专家 7、判断。 (1)、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。( ) (2)、图上距离和实际距离成正比例。( ) (3)、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X,7Y,0，X和Y不成比例。( ) (4)、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 ( ) (5)、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 ( ) (6)、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 ( ) (7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( ) (8)在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( ) (9)工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) (10)正方体的棱长和体积成正比例。 ( ) (11)被除数一定，除数和商成反比例。 ( ) (12)圆的周长和它的直径成正比例。 ( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 (1)、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数( )。 (2)、正方形的边长和周长( )。 (3)、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间( )。 (4)、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数( )。 (5)、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数( )。 (6)、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数( )。 9、思考:明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说:“明明的 体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗,为什么, 10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时??各造纸多少吨, (1)把下表填写完整。 造纸时间/时 1 2 3 4 „„ 造纸吨数/吨 1.5 „„ (2)根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起 吨数/吨 来。 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时 (3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗,为什么, (4)根据图像判断， 5小时造纸多少吨, 6 中小学1对1课外辅导专家 154×3.5+5.5×80%+0.8 (8.8-23.4×)? 539 313522158[，×(,0.375)]? ?(+×) 1863833363 求体积: 9cm 8cm 12cm 有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱和第二个圆柱高的比是4:7，第一个圆柱的体积是2.4立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个多多少立方厘米, 一个正方体的木料，棱长6厘米，把它削成一个最大的圆锥，要削去木料多少立方厘米, 7 中小学1对1课外辅导专家 学生活动 教师活动 题目虽然简 单～也要 仔细呦: 教学过程 课堂练习 课后作业 ? 提前完成? 延后完成? ____________________________ 本节课教学完成情况:照常完成 学生的接受程度: 5 4 3 2 1 ______________________________ 学生的课堂表现:很积极? 比较积极? 一般积极? 不积极? ___________________________ 学生上次作业完成情况: 优? 良? 中? 差? 存在问题 _____________________________ 学管师( 班主任)_______________________________________________________________ 学生成长 记录 备 注 签字时间 班主任审批 教学主任审批 8