数学分析试题

数学分析试题 一、 叙述题:(第1小题3分，第2小题4分，共7分) 1、叙述函数fx()在区间一致连续的定义. I 2、叙述函数极限的海涅定理(归结原则). limf(x),Ax,x0 二、 填空题:(每小题3分，共15分) 2s,{y|y,x，1,x}1、数集为(0，1)内的无理数的上确界等于 ，下确界等于 . nn2，3lim2、求= . n，1n，1n,,2，3•• 3y,2x-x(-1,-1)3、曲线在点的切线方程是_________ _____. xe4、带Lagrange型余项的Maclaurinr公式是__________________. 1 fx(),5、,且,则=___ _______. f(0)lim,Af(0),0x,0x 三、 单项选择题:(每小题3分，共15分) 1、 是 f(x)在 x点连续的 ( ) limf(x),limf(x)0x,x,x,x，00 (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)无关 xy,f(x)0,x,0,y,f(x，,x),f(x),2、函数在处可微，当时 00 ( ) ,x,x(A)dy是的等价无穷小 (B)dy是的高价无穷小 ,x,x(C) ,y-dy是的高价无穷小 (D) ,y-dy是的同价无穷小. x,0x3、当时，是的 ( ) 1-cosx (A) 高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不是等阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)等阶无穷小. fxfxh(),(,)'00f(x)4、设存在，则等于 ( ) lim0h,0h ''''f(x)f(x)f(x)f(x)(A) ， (B)-， (C)2 ，(D)-2 . 0000 43f(x),x,2x，15、函数的严格凹区间是 ( ) (0,1)(-,,0)(1,，,)(-,,，,)(A) (B) (C) (D) . 四、 计算题:(每小题6分，共42分) sinx-xcosxlim1、求( 3x,0sinx 2 xyxx2、=+ (x 求 ( ,0)y' 2dyxlnt,,23、 求( ,3dxyt,, x,x,,01,'f(x)4、设求. fx(),x,e1,,x0,,0, 3 5、( 2,x6、求的最大值与最小值( f(x),xe,x,(,,,，,) 2',xef(x)xf(x)dx7、已知的一个原函数是，求. , 4 五、 证明题:(每小题7分，共21分) a,0, (1,i,k).1、 求证 i nnnn lima，a，？，a,max{ a,a,？,a}.12k12k,,n 1,21、证明当时，. x,[,1]arctanx,ln(1，x),,ln224 f(x)f(x)(0,1)(0,1)2、设在内二阶可导且lim,0,f(1),0.证明在内x,0x ''f(,),0,至少有一点,使得. 11n，，求极限 lim(1)2,,nnn 2x12,lim,6. 用定义证明 2x,132xx1,, xlimf(x)f(x)7. 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 0x,x0 则有 f(x).limf(x) =0x,x0 5 111nx,,n8.当时，与是同阶无穷小，求 ()sin xxx 1limsin证明极限 不存在9. x,0x 、若在区间I(有穷或无穷)中导函数有界，则在I中一3f(x)f(x) 致连续. 数学分析试题 一、 叙述题:(第1小题3分，第2小题4分，共7分) 1、叙述函数极限limf(x),A的海涅定理(归结原则). x,x0 f2、叙述函数列在区间上一致连续的定义. I 6 二、 填空题:(每小题3分，共15分) 2s,{y|y,x，1,x1、数集为(0，1)内的无理数}的上确界等于 ，下确界等于 . nn2，3lim2、求= . n，1n，1n,,2，3•• 3y,2x-x3、曲线在点的切线方程是_________ _____. (-1,-1) x4、带Lagrange型余项的Maclaurinr公式是__________________. e fx(),f(0)5、lim,A,且f(0),0,则=___ _______. x,0x 三、 单项选择题:(每小题3分，共15分) 1、limf(x),limf(x) 是 f(x)在 x点连续的 ( ) 0x,x,x,x，00 (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)无关 xy,f(x)0,x,0,y,f(x，,x),f(x),2、函数在处可微，当时 00 ( ) ,x,xdydy(A)是的等价无穷小 (B)是的高价无穷小 ,x,x ,y-dy ,y-dy(C)是的高价无穷小 (D)是的同价无穷小. x,0x3、当时，是的 ( ) 1-cosx 7 (A) 高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不是等阶无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)等阶无穷小. fxfxh(),(,)'00f(x)4、设存在，则等于 ( ) lim0h,0h ''''f(x)f(x)f(x)f(x)(A) ， (B)-， (C)2 ，(D)-2 . 0000 43f(x),x,2x，15、函数的严格凹区间是 ( )(A) (B)(0,1) (C) (D) . (-,,0)(1,，,)(-,,，,) 四、 计算题:(每小题6分，共42分) sinx-xcosxlim1、求( 3x,0sinx xyxx,0)y'2、=+ (x 求 ( 2dyxlnt,,23、 求( ,3dxyt,, 8 x,x,,01,'f(x)、设求. 4fx(),x,e1,,x0,,0, 11xedx5、求( 2,x 2,x6、求的最大值与最小值( f(x),xe,x,(,,,，,) 9 2',xe7、已知f(x)的一个原函数是，求. xf(x)dx, 五、 证明题:(每小题7分，共21分) 1,21、证明当x,[,1]时，. arctanx,ln(1，x),,ln224 f(x)f(x)(0,1)(0,1)lim,0,f(1),02、设在内二阶可导且.证明在内x,0x ''f(,),0,至少有一点,使得. 10 3、若在区间I(有穷或无穷)中导函数有界，则在I中一f(x)f(x)致连续. 数学分析试题 一、单项选择题(每小题4分，共16分) x,y22z,e(x,2y)1、函数有 ( ) ,2,2eeA:极小值4; B:极大值4; ,2,2eeC:极小值8; D:极大值8. 3xyz,a(a,0)2、曲面的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为 ( ) 393333 A:a; B:3a;; C:a ; D:6a. 22 f(x,y)3、设函数在区域内的一切方向的方向导数存在，则 D ( ) f(x,y)A:在区域内可导; D f(x,y)B:在区域内不一定可导; D f(x,y)C:在区域D内可微; 11 D:各方向的方向导数相等. yx,,、设L为一条无重点、分段光滑的有向连4P,,Q,2222x，yx，y 续的曲线，下列关于积分 ( ) Pdx，Qdy,L A、积分值与的路径无关; L B、若L为绕原点的闭曲线，则积分值与L的形状无关; C、若L为不绕原点的闭曲线，则积分值为0; D、左半平面(x<0)内，积分值与L的形状无关( 二、填空题(每小题4分，共24分) xysin()1、__________( ,limx,0xy,0 2、设z,f(x,y)可微，x,,(s,t),y,,(s,t)可微，则 ,z,z，,_______________( ,s,t21x3、交换积分次序后是___________________( dxf(x,y)dy,,,0x x,acost,y,asint,z,kt,0,t,2,4、螺旋线,的参数方程是:， 则 ,________________( xyzds,L (2,3)、=_________________ 5(x，y)dx，(x,y)dy,(0,1) 2z,x，y,1,x,1,0,y,16、设曲面S为 ,，求,yds,,S_________________________( 三、计算题:(每小题7分，共42分) ,(u,v)g(u)z,,[y,g(x,y)，x]1、已知 ，其中具有连续的二阶偏导数, 2,z为二阶可微函数，求. ,x,y 12 2222z,x,y2、求在,,的最大值和最小值. D,(x,y)x，y,4 ，，，，,1xyzuv,uv3、从方程组 求，. ,xx22222x，y，z，u，v,2, 2yxysin,4、含参积分=f(y),求f(y). ,yx 2x11yedxf(x)5、设 =，求. f(x)dx,,x0 2222333x，y，z,a6、设:外侧，则. ,xdydz，ydxdz，zdxdy,,, 四、证明题:(每小题9分，共18分) 1f(u)1、 证明 ，其中为连续函数，D为平面区域f(x，y)d,,f(u)du,,,,1D ( x，y,1 222x，y,t2、 设l是圆周 顺时针方向，证明 21,x22( lim(e,xy}dx，xydy,,,4lt,02t 数学分析试题 一、 单项选择题(每题4分，共20分) 1、下列说法错误的是: [ ] a,a,a,aa,a,a,aA:. B: . LimLimLimLimnnnn,,,,,,,,nnnn 13 C:. a,0,a,0LimLimnn,,nn,, 且. D:a,aa,aa,a,LimLimLim2nk2k，1,,,,nkk,, 2、下列说法错误的是: [ ] A:. f(x),A,f(x),f(x),ALimLimLimx,xx,x，x,x,000 1111xB:. C:. D:. xsin,1sinx,1x，,e(1)sinLimLimLimxxxxx,,x,,,,x 3、下列说法错误的是: [ ] 0U(x,,)A: 设f(x)在有定义， Limf(x),A,0x,x0 0U(x,,),{x},x,，且，极限. Limx,xLimf(x),A0nnnn,,,,nn 00U(x,,)U(x,,)x,f(x)B:设在有定义，时f(x),0，00 . Limf(x),AA,0,x,x0 a,aC:,,,0,存在自然数，对n,m,N时，有,N,Limn,,n a,a,,nm {a}a,aD: 数列是单调有界数列. ,Limnn,,n 4、下列说法错误的是: [ ] f(x，h),f(x,h)00,,f(x)limf(x),,A:存在. 00h,02h B:可导的偶函数的导数为奇函数，而可导的奇函数的导数为偶函数. x,xx,xy,f(x),y,f(x)C:在处可导在处左、右导数存在且相等. 00 x,xx,xy,f(x),y,f(x)D:在处不可导在处左或右导数不存在或00 左、右导数存在不相等. 5、下列说法错误的是: [ ] A:连续是可导的必要但非充分条件. B:可微是可导的充要条件. x,xy,f(x),y,dyC:函数在处可导,则是的高阶无穷小. ,x0 14 x,xD: 函数在连续，不一定存在. f(x)Limf(x)0x,x0二、 填空题(每题4分，共20分) x,xx,x,、设在处可导，则在处 . f(x)dy,00 ,,2y,x，(sinx),、曲线在处的切线方程(,1，)22是 . 13、数集的上确界 ，下确界 . {x|x,1,,n,N}，n2 111x,,4、与是的 无穷小. sinxxx 2,,,3xxaf(x)5、(),，在处可导，则= ，fxx,3,ax，b,x,3, . b, 三、计算:(每小题各6分，共30分) 111lim(，，？，)1、求. 222n,,n，1n，2n，n 1x1，xlim()2、求. ,x0x1, xxx3、求. lim{lim[coscoscoscos]}x？2n,,,,xn222 ,,222,22(e,e)4、求极坐标方程确定曲线在相应直交坐标系点处r,e22 切线方程. 2xsinx,yx5、设+求. y,e 三、 证明题:(每小题各6分，共30分) 23nn3，lim,1、用定义证明:. ,,N2n,,22n1, {a}2、用柯西收敛准则证明收敛，其中 n 15 sin1sin2sin3sinn. ,，，，？，an23n2222 a,x,x？,x,b3、若在连续,,则在中必有使得: [a,b][a,b],f(x)12n fxfxfx()，()，？，()12nf. ,(),n 14、证明在区间(0,1)内连续，但不一致连续. y,x '，，，，f(0),1x,x5、设f(x)对任意满足:f(x，x),fxfx，且，121212 'f(x),f(x)证明 四、 讨论题(8分) 2n1,xf(x),lim1、讨论函数的连续性，若有间断点，说明其类型. 2nn,,1，x 数学分析试题 一、叙述题:(每小题5分，共10分) bf(x)dx,a1、 叙述反常积分为奇点收敛的cauchy收敛原理 ,a f(x,y)2、 二元函数在区域D上的一致连续 二、计算题:(每小题8分，共40分) 1111、lim(，，？，) n,,n，1n，22n x,a(t,sint),2、求摆线与x轴围成的面积 t,[0,2,],y,a(1,cost), ，,1，x(cpv)dx3、求 2,,,1，x n,x(,1)4、求幂级数的收敛半径和收敛域 ,2nn1, 16 2x,uu,f(xy,)5、， 求 y,x,y 三、讨论与验证题:(每小题10分，共30分) 2x,y1、，求;是fxy,limlimf(x,y),limlimf(x,y)limf(x,y)(,)x,0y,0y,0x,0(x,y),(0,0)x，y 否存在,为什么, ，,arctanx2、讨论反常积分的敛散性。 dxp,0x 3nn,(2(1))n，,3、讨论的敛散性。 ,n3n1, 四、证明题:(每小题10分，共20分) b1、 设f(x)在[a,b]连续，但不恒为0，证明f(x)dx,0 f(x),0,a 2、 设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu 参考答案 a,,2,0,,,,,,,,,0.，,,0,一、1、使得，成立 f(x)dx,,12,a,,1 2mf:D,RD,R,,,0.，,,0,2、设为点集，为映射，使得 ，成立 ,x,x,,,xx,Df(x),f(x),,121,212 1二、1、由于在[0，1]可积，由定积分的定义知(2分) 1，x 111lim(，，？，)=n,,n，1n，22n 17 111111(6分) lim(，，？),dx,ln2,0n,,12nn1，x1，1，1，nnn 2,222、 、所求的面积为:(8分) a(1,cosx)dx,3,a,0 ，,A11，x，x()lim3、 解: (3分) cpvdx,dx,,22,,,,,AA,，,11，x，x 1n4、解:，r=1(4分) lim,12n,,x 由于x=0，x=2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2](4分) 2f,u,uxx25、解: =fx,f(3分)(5,f，，fxy,f1211122223,yy,x,yyy 分) 三、1、解、 222xyxxyy,,limlim,lim,1,limlim,lim,0(5分)由于沿y,kxx,y,x,y,x,y,000000xyxxyy，， 1趋于(0，0)极限为所以重极限不存在(5分) 1，k 1，,，,arctanxarctanxarctanx2、解:,，(2分)，对dxdxdxppp,,,001xxx11arctanxarctanxarctanxp,1，由于故p<2时收敛x,1(x,，0)dxdxppp,,00xxx ，,arctanxarctanx,p(4分);，由于x,(x,，,)(4分)故dxpp,12xx ，,arctanxp>1收敛，综上所述1