洛仑兹脉冲光束的复振幅包络解和复解析信号解的比较研究

洛仑兹脉冲光束的复振幅包络解和复解析信号解的比较研究 第 54 卷 第 6 期 2005 年 6 月 Vol . 54 ,No . 6 ,J une ,2005 物理学报 () 100023290Π2005Π54 06Π2680206 ACTA PHYSICA SINICA ν 2005 Chin. Phys. Soc . 洛仑兹脉冲光束的复振幅包络解和复解析信号解的 3 比较研究 † 彭润伍范滇元 ( )中国科学院上海光学精密机械研究所 ,上海 201800 () 2004 年 6 月 8 日收到 ;2004 年 8 月 27 日收到修改稿 使用复振幅包络示式和复解析信号表示式推导了洛仑兹脉冲光束的传输公式 . 通过具体数值计算对脉冲 光束的复振幅包络解和复解析信号解在不同带宽时的传输进行了对比研究 . 数值结果表明脉冲光束为窄带时 ,在 传输方向轴中心的一定范围内两种解是一致的 ,而对于宽带脉冲光束 ,复振幅包络解在轴中心较近的距离即表现 出奇异性 ,复解析信号解才是符合物理意义的表示式 . 由数值计算得出了选择脉冲光束研究方法的条件 ,并从所 得公式对复振幅包络解出现奇异性的现象进行了解释 . 关键词 : 复振幅包络 , 复解析信号 , 窄带脉冲 , 宽带脉冲 PACC : 4225B 何得到宽带脉冲光束正确的理论模型和对其相关特 1 —13 性的研究是近些年来受关注的内容. 其中令我11 引言 ωΔω们感兴趣的一个具体问题是 :究竟/ 取什么值 0 寻找脉冲光束合理的理论模型以及对其传输特 时可以 采 用 复 振 幅 包 络 表 示 式 来 研 究 脉 冲 光 束 , 1 —13 性的研究是长期以来一直受关注的研究课题.Δωω / 取什么值时又必须采用复解析信号表示式 ? 0 ( 在传 统 研 究 理 论 中 , 缓 变 包 络 近 似 slowly varying 另外相同带宽时复振幅包络解和复解析信号解的差 ) envelope approximation , SVEA下对于脉冲 光 束 可 以 异大小也是我们关心的内容.( 引 入 复 振 幅 包 络 complex amplitude envelope ,本文对不同带宽洛仑兹脉冲光束的复振幅包络 2 ,4 ) CAE,从而使研究过程简化 ,近似过程对结果产 解和复解析信号解进行了比较研究 . 首先我们得到 生的影响可以忽略 . 然而 ,缓变包络近似成立的条 了采用脉冲复振幅包络表示式和复解析信号表示式 Δωω( ) ωΔω 件是/ ν 1 ,其中是脉冲谱宽 FWHM, 0 0推出的脉冲光束传输公式 ,然后通过数值计算具体 是载波频率 . 对于由于激光技术迅速发展而出现的 比较了两者的差别 ,明确指出两种表示式的适用范 Δω超短脉冲光束而言 ,已经具有较大的频谱宽度 ,/ 围 ,得出在脉冲光束满足一定条件时两种解是一致 ων 1 条件不再成立. 如果仍然采用缓变包络近似 0 的 . 最后从得到的传输公式对复振幅包络解出现奇 理论研究这类有较大带宽的脉冲光束 ,得到的解会 ( 出现不符合物理意义的非光束行为 即出现空间奇 异性的现象进行了解释 . 2 ,4) 异 性 . 但 是 如 果 采 用 严 格 的 复 解 析 信 号 21 洛仑兹脉冲光束的传输公式 14 () complex analytic signal , CAS则可以避免非光束 4 行为的出现. 因此在脉冲光束的研究中 , 正确选 频率域近轴脉冲光束的传输满足近轴波动方程 择研究方法是必要的 . 参考文献 14 中指出多色光 2 9 () 宽带光的研究必须采用复解析信号 ,但该书研究 ( ω) ()1 + 2i k V r , z ,= 0 ,? 9 z (Δωω) 的多是单色光和准单色光 窄带光 ,/ ν 1. 如 0 2 2 2 2 2 其中 = 9 Π9 x + 9 Π9 y 为横向拉普拉斯算子 , r = ? 3 ( ) 国家 863 计划惯性约束聚变委员会项目 批准号 :2004AA845010资助的课题. † 联系作者 : E- mail : pengrunwu @siom. ac . cn 3 2 2 [ 4 ,15 ]ω ω ) 附近一小段取值 ,忽略 g - ,将下限从(- 项 0 ω() x+ y, k = Πc 是波数. 1式的解析解为 [ 4 ] 2 0 扩展到 - ? ,则 i z kr R ( ω) - i - i kz (ω) V r , z ,= exp P , ? ( )2 z - i z 1 z - iz R R ( ) (ω ω ) (ω) ωP t = g - exp it d0 CAE - ??π 2 ()2 2( ) (ω) = A texp it. ()12 0 kw 0 ( 其中 z= 为 高 斯 光 束 瑞 利 距 离 w为 束 腰 宽 R 0 2 φ ,则上式中振幅部分为复数 ,称如果没有略去相差 [ 4 ] ) (ω) ( ( ) 度, P 是仅与频率有关的频率域空间初始时 z为复振幅. 12式即复振幅包络表示式 , 是复解 () ωΔω( ) 析信号表示式 11式在窄带脉冲/ ν 1 条件下 ) = 0的轴上光强 . 空间域脉冲光束的解可由 2式 0 作傅里叶变换得到 ,即 ωΔω 的近似. 所以当/ ν 1 时 ,在缓变包络近似下 ,0 ? i z R (τ) () P 可以采用复振幅包络表示 12式 ,从而可以得 1 (ω)( )= V r , z , t P - ? z -i z ?R π2到 2 z ri z R2 - 1t - - ω ω×exp id. ( ) ( ωτ γ) r , z , t= [ 1 + a] V CAE 0 ( )2 c z - i zc R z - i z R ()3 ωτ) ()( 13 ×exp - i, 0 对于等衍射长度光束 , z与频率无关 ,并令 R 其中 ? Δω 1 1 (τ) ()(ω) (ωτ) ω P = γ 4 ()P exp id, = =14 ωωT 00 ?- ? π2 2 Δωω 表示带宽. 然 而 对 于 宽 带 脉 冲 光 束 ,/ ν 1 条 0 z r ()τ 5 = t - - , ( )2 c z - i z c R (τ) ( ) 件不成立 ,缓变包络近似失效 , P 必须采用 11 从而可以得到 式的复解析信号表示式而不能再使用复振幅包络表 i z () (ω) () R 示式 12式 . 11式中的 P 为 ( )(τ) ()V r , z , t P .6 = z - i z R()(ω) (ω)θ(ω) 15 P = 2 p , 对于洛仑兹脉冲 ω 1 , > 0 (ω) (ω) () θ= 其中 是阶跃函数 , p 由 9式 ( ) (ω) ()( )A tco s t, 7 = p t0 ω 0 , ?0 (τ) 其中给出 .因此宽带脉冲光束 , P 应该为 2 - 1 ? t 2 ( ) ()A t= 8 1 + a , (τ) (ω)θ(ω) ( ωτ) ω= p exp - id.P CAS T π- ? ? ()16 () 上式中 a = 22 - 1 . 为讨论方便 , 7式已略去令 () () 对 16式积分后代入 6式可以得到 φ其为与时间无关的相差 . 洛仑兹脉冲的傅里叶谱 i z 2 - 1 R 可由 ωτγ)( ( )1 + a Vr , z , t = 0CAS z - i z R? 1 ( ) ( ω) (ω)= p texp - itd t P 1 ?- ? π2ωτ) ωτγ( - . × exp - i- i aexp 00γ a 3 1 ()(ω ω ) ( ω ω ) 9 = [ g - + g - - ]0 0 ()17 2 () 得到. 9式中 ? 1 ( ) ( ω) ()A t exp - it d t . 10 (ω) g = 31 复 振 幅 包 络 解 与 复 解 析 信 号 解 的 - ??π 2 [ 4 ,11 ]比较 严格来说脉冲复数表示为复解析信号 ? 2 (ω) (ω) ω( ) P exp itd P t= γ( ) 图 1 是带宽 = 0132 T = 1177fs的脉冲光束传 ?0 π23 ? 输到 z = z= 2195 ×10mm 处的径向和时间波形 ,计 R 3 1 (ω ω ) ( ω ω ) = [ g - + g - - ] 0 0 - 1 2?0λ ( ω 算参数 w = 1mm ,= 1064nm ,即 = 1177fs T 0 0 0 0 ()ω) ω(11 ×exp itd. ) = 3155fs. 以下计算均取与图 1 相同的计算 参数. ω(ω ω) Δωω/ ν 1 , g - 对于窄带脉冲光束 仅在 ( ) 0 0 0从图中看出 ,沿传输方向的轴中心 r = 0及其较近 2682 物理学报54 卷 4 γ= 0104 脉冲光束在 z = 10 z = 2195 ×10mm 处的径向和 图 2 R 3 γ图 1 = 0132 脉冲光束在 z = z = 2195 ×10mm 处的径向和时 R () ( ) a复振幅包络解的光强分布 ; b复解析信号解的 时间波形 () ( ) 间波形 a复振幅包络解的光强分布 ; b复解析信号解的光 光强分布强分布 2 ( ) ( ) ( ) 的 Ir , z , tV r , z , t 与 Ir , z , t = | | = CAE CAE CAS 2 ( ) | V r , z , t 分 布 相 似 , 但 在 轴 外 一 定 距 离 处| CAS ( ) γ Ir , z , t出 现 奇 异 点 . 图 2 是 带 宽 = 0104CAE 4 ( ) T = 1412fs的脉冲光束传输到 z = 10 z= 2195 ×10 R mm 处的径向和时间波形. 可以看出在图示范围内 ( ) ( ) Ir , z , t与 Ir , z , t 的分布一致 . 结果表明 ,CAE CAS 较大带宽的脉冲光束的复振幅包络解由于存在奇异 点 ,与复解析信号解存在较大的差异 ,而带宽较小时 二者是一致的. 但值得注意的是较小带宽时脉冲光 束的复振幅包络解仍然存在奇异点 ,只是其位置在 ( ) 离传输方向的轴中心 r = 0较远的地方 ,这从图 3 可以看出 . 图 3 是复振幅包络解的奇异点径向位置 r随带宽的变化 . 从图 3看出奇异点随带宽的减小 s γ图 3 奇异点径向位置 r随脉冲带宽 的变化 s和传输距离的增大而远离轴中心 . 由图 3 可知带宽 γ( ) = 0104 T = 1412fs的脉冲光束在 z = 0 处的奇异 γ( 性的条件 ,则在传输距离 z = 0 处脉宽 ?0104 T ? γ 点到轴中心的距离约为 414mm ,而对于较大带宽 ) 1412fs的脉冲光束就可以认为其复振幅包络解与复 ( ) = 0132 T = 1177fs结果约为 116mm. 如果我们把奇 解析信号解是一致的 . 因此 ,参考文献 [ 2 ] 的研究方 异点出现的位置 r?414 w作为可以忽略光束奇异 s 0 法对于窄带脉冲光束是适用的. 从图 3 知道复振幅包络解肯定存在奇异点 ,只 是其位置 随 带 宽 不 同 而 有 变 化. 但 是 在 计 算 作 图 时 ,我们发现图形中奇异点的出现还与考察时的取 () γ 样间隔有关 . 如图 4 a是 z = 0 和 t = 0 处 = 0104 ( ) T = 1412fs的脉冲光束的光场分布 . 该图的取样间 隔为 100nm ,即约为波长的 011 ,这在研究光场的径 向分布时已是一个很小的间隔了 . 由图 3 可知此时 在 r = 414mm 处应该有奇异点 ,但图中没有出现. 然 ( ( ) ) 而当我们把取样间隔定为 10nm 时 如图 4 b,得 到同样条件下在 r = 414mm 处出现了奇异点 . 由此 可知 ,选取恰当的取样间隔也可以忽略脉冲光束的 奇异性. 如果我们把取样间隔为波长 011 时奇异点 没有出现作为可以忽略光束奇异性 的 另 外 一 个 条 γ( ) 件 ,则同样得出在 z = 0 处脉宽 ?0104 T ?1412fs 脉冲 光 束 的 复 振 幅 包 络 解 与 复 解 析 信 号 解 是 一 致的 . 从脉冲光束的光场分布可进一步看出复振幅包 络解与复解析信号解在一定范围内的差异 . 图 5 是 γ= 0132 脉冲光束复光场的实部在不同径向距离和 ( )不同传输距离时的时间波形. 图中表明轴上 r = 0 () 复振幅包络解的实部 虚线与复解析信号解的实部γ图 4 = 0104 脉冲光束的复振幅包络解在不同取样间隔时场 () 实线差异很小 ,在轴外二者的差异随径向距离增() ( ) 振幅的径向波形 a取样间隔 100nm 时的场分布 ; b取样间 隔 10nm 时的场分布 γ加而增大 .图 6 是 = 0104 脉冲光束复光场的实部 γ( )图 5 = 0132 脉冲光束复光场实部的时间波形 实线是复解析信号解 ,虚线是复振幅包络解 在不同径向距离和不同传输距离时的时间波形. 复,其结果与用复解析信号表示式得振幅包络表示式 ( ) 振幅包络解的实部 虚线与复解析信号解的实 部到的结果一致 ,较大带宽的脉冲光束则必须采用严 () 实线已趋于一致 , 其曲线已经重合在一起 . 图 5格的复解析信号表示式 . 和图 6 进一步说明较小带宽的脉冲光束可以使用复从图 1 和图 2 还可以看到轴外光强分布相对于 2684 物理学报54 卷 41 复振幅包络解奇异性的物理诠释 为解释奇异性的出现和带宽对奇异点位置的影 () 响 ,将 13式展开可得 i z R2 2 ωγ)( ( )1 + a V r , z , t = t 0CAE z - i zR 2 4- 1 t r r- + 2 2 ( )c z - i z ( ) R 4 cz - i z R ωτ) ( ()×exp - i, 19 04 其中 t = t - zΠc . 上式中包含 r的项是值得注意 () 的 . 在 z = 0 和 t = 0 时 19式中大括号内的表示式 为 22 4 - 1 γa r 1 - ()ξ 20 = 4 . w 0 ξξ图 7 表示的是 在径向的数值. 从图 7 可以看出 4 有奇异点 ,从而使包含 r的部分最终导致脉冲光束 () 的奇异性 . 由复解析信号表示式得出的 17式中的 后一复数部分使光束奇异性消失 ,从而复解析信号 解更符合物理意义 . 显然 ,复振幅包络解缺少这一 ( ) ( ) 复数部 分 是 因 为 从 11 式 简 化 到 12 式 时 忽 略3 ( ω ω) g - 项 的 缘 故. 这 种 处 理 方 法 对 窄 带 脉- 0 冲光束是可行的 ,而对宽带脉冲光束则是不合理的 . γ( 图 6 = 0104 脉冲光束复光场实部的时间波形 实线是复解析 () 同样从 20式可以解释带宽对奇异点位置的影响 . ) 信号解 ,虚线是复振幅包络解γ() 带宽越宽的脉冲光束 ,数值越大 ,从 20式中可知 ξ使 的值产生奇异性的径向距离 r 则越小 ,反之亦 然 . γ 值得注意的是 ,严格来说 = 0104 的脉冲光束 γ 不能称为窄带脉冲光束 . 本文把 = 0104 的脉冲光 束包括在窄带脉冲光束中是因为我们把在 z = 0 处 复包络解奇异点出现的位置 r?414 w作为可以忽 s 0 γ 略奇异性的条件 ,而且在考虑的范围内 = 0104 时 复包络解和复解析信号解已趋于一致. 很显然 ,在 γ 我们的条件下 ,对于 ?0104 的脉冲光束可以 使用缓变包络近似. (γ)图 7 奇异性的出现 = 0108 51 结论 ( ) 传输方向的轴中心 r = 0,复的光强存在时间延迟 振幅包络解和复解析信号解的这个时间延迟是一样 本文以洛仑兹脉冲光束为例对使用复振幅包络 () 的 . 从 5式可以得到这个复数时间移动为 表示式和复解析信号表示式得到的脉冲光束解进行 2 r ()18 t = , 了对比研究 . 对于脉冲光束 ,复解析信号表示式未 ( )2 c z - i z R 作任何近似 ,是适合所有带宽的研究方法 ,而复振幅 显然离轴中心越远的点时间延迟越多. 包络表示式是在缓变包络近似下引入的表示式 ,采 用该表示式得到的脉冲光束解会出现奇异性 . 对于 宽带脉冲光束 ,数值计算结果表明复振幅包络解的. 因而在脉冲光束的研究与复解析信号解是一致的 奇异点出现在传输方向轴中心较近的位置 ,这时复 中 ,究竟采用什么样的研究方法应根据具体情况确 振幅包络解不能正确描述脉冲光束 ,复解析信号解 定 ,本文中通过数值计算得出的条件对研究方 ωΔω才是符合物理意义的解. 但是对于窄带 / ν 1 法的选取具有指导意义 . 同时本文中两种解的比较 0 对宽带脉冲光束理论模型的建立以及对其相关特性 的脉冲光束 ,复振幅包络解的奇异点远离轴中心 ,对 的研究具有一定意义 . 光束的研究几乎没有影响 ,其轴中心附近的场分布 ( ) 1 ] Christov I P 1985 Opt . Commun . 53 364 10 ] et al 2003 Acta Phys . Sin . 52 1920 in Chinese[ 杨振 Yang Z J 2 ] Wang Z et al 1997 I EEE J . Quantum Electron . 33 566 军 等 2003 物理学报 52 1920 ] 3 ] Liu Z Y and Fan D Y 1998 J . Mod . Opt . 45 17 Lu D Q et al 2003 Opt . Commun . 228 217 11 ] Liu Z J and LüB D 2003 Chin . Phys . 12 879 4 ] Porras M A 1998 Phys . Rev . E 58 1086 12 ] () Lu D Q et al 2004 Acta Phys . 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E 65 056611 Co mp ari so n of Lo re ntz p ul s e d be a m s o bt aine d by u sing co mple x a mplit ude e nvelop e rep re s e nt atio n a nd co mple x 3a nalytic signal rep re s e nt atio n † Peng Run- WuFan Dian- Yuan ( ) S hanghai Institute of Optics and Fine Mechanics , Chinese Academy of Sciences , S hanghai 201800 , China ( )Received 8 J une 2004 ; revised manuscript received 27 August 2004 Abstract By using complex amplitude envelope representation and complex analytic signal representation , propagation expressions of Lorentz pulsed beams are derived. Propagation properties of them with different bandwidths are illustrated by numerical calculations. It is found that they are the same in the neighbourhood of z- axis for narrowband pulses , but in the case of broadband pulses , singularities emerge near z- axis for pulsed beams obtained by using complex amplitude envelope representation and only complex analytic signal representation is applicable . The conditions to decide what representation should be chosen to study pulsed beams are given. And the origin that results in the emergence of singularity is given. Key words : complex amplitude envelope , complex analytic signal , narrowband pulse , broadband pulse PACC : 4225B 3 ( Project supported by the National High Technology Research and Development Program for Inertial Confinement Fusion of China Grant No . ) 2004AA845010. †Correspondence author . E- mail : pengrunwu @siom. ac . cn