函数y=a^x与y＝logax的图像有几个交点

函数y=a^x与y＝logax的图像有几个交点 函数y=a^x与y,logax的图像有几个交点 38中学数学教学2006年第5期 函数Y一与Y—log.的图像有几个交点 安徽省灵壁中学侯立刚(邮编:234200) 1问 (1)当0<?<1时,函数Y:?与Y=log的 图像交点个数可能为() (A)1或3(B)1或2(C)1或4(D)2或3 (2)当口>1时,函数Y一与Y=log的图像 的交点个数不可能为() (A)3(B)2(C)1(D)0 2困惑 由于课本上给出函数Y一2与Y=log的图像 1 及Y=log+与Y=(1)的图像,如图 //l, 丁y 夕.l\\?=logl 容易使人认为口>1时,函数Y="与Y—logIT 的图像没有交点,0<口<1时,函数Y一与Y: log的图像有且只有一个交点.难道此题就无法 选择了?参考答案给出口一而1时,Y一(而1)与Y log~的图像除在直线Y=上有一交点外,还有(_1, 1) , (?,?)两个交点,这显得很神秘!这个是怎 么想到的?除此以外还有其它口的值吗?口>1时两函数 图像的交点情况如何判定?为此给出两个引理. 3引理 引理1函数Y:,()与它反函数Y=厂()图 像的交点或者在直线Y—上,或者关于直线Y=成 对出现.(证明略) 引理2如果函数Y=,()是单调增函数,那么Y = -,()与它的反函数Y:厂()的图像的交点必在 直线Y=上.(证明略) 4探求 (1)当">1时,由Y=口,得Y="lna.当固 定时,n越小,Y越小,从而Y一口的图像可以与直线Y = 相切,并且可以与直线Y—有两个交点.由互为 反函数的两个函数图像间的关系可知,当n>1时,函 数Y=与Y—log的图像可以有一个交点(相切), 可以有两个交点(相交),如图 y llog———一 /l r J . 对函数Y=口,若设它与Y=的切点为(o,Yo), 而zc:Y0=口,所以?一口, lna 结合引理2知,口>1时,Y一与Y:logj的图 像交点情况为: ?当">e?时,交点个数为0; ?口==e寺时,交点个数为1; ?当1<口<e?时,交点个数为2. (2)当0<口<1时,易知函数Y:与Y=log~x 的图像必有一交点在直线Y:上,由引理1可知,若 M(x,Y)(?Y)是两个图像的另一交点,则N(, )也是两个图像的交点,显然直线MN与直线Y—z 垂直,当动一Y时,函数Y一与Y=log的图像只 有一个交点即(.,.),此时函数Y=与Y—log的 图像只有一个交点即(XO,.),此时函数Y一与Y— logox的图像在(.,.)处的切线斜率都为一1. 设fl()一口,g()一logox,有 二xol— na=In( =一 l.:一 " n'_}((了1)0?0659),于是 ?当(一1)?口<1时,两图像只有一个交点; ?当0<口<(一1)时,两图像有3个交点. 2006年第5期中学数学教学39 2006年高考点列问题 北京师范大学良乡附属中学李舂雷(邮编:102488) "点列"问题能融函数,解析几何,数列,不等式以 及导数等知识于一题,综合性强,表述起来简单易懂. 以点列为载体考查数列知识的题目在2006年的高考题 中颇受青睐,共有7个省市11套文理科试卷均有以点 列为背景的题考查学生的能力.点列问题常以填空或 解答题的形式出现在试卷中,尤以全卷压轴题为多,共 有7套试卷的最后1题是点列题.点列试题的条件特点 是:点列在给出已或易求出解析式的函数图像或曲线 上;比较复杂的问题设问特点是:先求出或求证递推关 系,再求出或求证通项公式,最后是利用前面已解或证 明的结论解决数列求和,不等式,恒成立等问题,入口 容易,层层递进.处理点列问题的通法是:第一步是完 成由点列问题到数列问题的转化;第二步是在数列知 识这个层面解决问题.关于求通项公式不再赘述,在此 重点谈点列中的求和与不等式的证明两大问题. 1点列求和问题 共有5个省市7套文理科试卷均以点列为背景考 查学生数列求和的能力,其中有3套试卷的压轴题是与 点列求和有关的问题. (1)利用平面解析几何的性质 点列既然是曲线上的点,那么它就具有几何与数 列双重特征.充分利用几何性质,往往可以使求和问题 迅速获解. 例l(四川,理第15题)如图1, 把椭圆丢+一1的长轴AB分成 8等分,过每个分点作轴的垂线 交椭圆的上半部分于P,P.,…,P七图1 个点,F是椭圆的一个焦点,则『PF『+『P.F『+…+ lPFl一—— . 解左焦点F(--3,0),左准线方程为:一,离 心率为e一导.设点P(一1,2,…,7)的横坐标为, 则当一PJIF3+ 故『PF『+『P.F『+…+『PF『一 詈+...++7?等].易知+..? 4-一0,所以『PF『+『PzF『+…+『PF『一35. 评注本题实质上是在求数列{『PF『}的前7项 的和,注意到IFI是椭圆的焦半径,再利用椭圆的第 二定义,得『PF『一-詈.(+等),可以把问题转化求 为3214-3224-…4-327的和. (2)利用裂项相消法 为求数列{}的前"项和S,可以先求出数列{n} 的通项公式,再根据通项口的特点,将n,(i一1,2,…, ")转化为数列{b}相邻两项之差的形式,即n,一b一 b汁l,则n一n14-n24-…4-n一(61一b2)4-(62—63) +…+(6,一6)一b一6.这种求数列前"项和S 的方法就是裂项相消法.裂项相消法的难点是将n(i 一 1,2,…,")转化为数列{b}相邻两项之差的形式,即 n,一6一b,这需要考生具备敏锐的观察能力.今年高 考有4套试卷都考查了这种方法. (因为去?(o,(?)),当然两者图像有3个交点) 5结论 综上所述,函数Y=n与Y=log.(n>0且n? 】)的图像交点情况是: ?当0<n<()时,有3个交点; ?()?n<1时,有1个交点; ?当1<n<?时,有2个交点; ?当n=?时有一个交点; ?当.>?时没有交点. (由此结论可知,前问题(1),(2)两题答案都是A) (收稿日期:2006—07—10)