论文_高考中求最值问题方法探究

论文_高考中求最值问题方法探究 存档编号——— 赣南师范学院科技学院学士学位论文 系 别 数学与信息科学系 届 别 2015届 专 业 数学与应用数学 学 号 1120151124 姓 名 邵 鸿 飞 指导老师 刘 育 星 完成日期 2014.12.25 1 目录 内容摘要….………………………….……………………………………3 关键词………………………………..……………………………………3 英文摘要…………………………….…………………….………………3 1. 引言…………………………………………………………………….4 2. 国内研究现状及评价…………………………………………………4 提出问题………………………………………………………………4 3. 4. 高中数学常见的最值问题及解题策略………………………………4 4.1三角函数的最值问题…………………………………………………4 4.2函数的最值问题………………………………………………………6 4.3数列的最值问题………………………………………………………7 4.4平面向量的最值问题………………….………………………………8 4.5圆锥曲线的最值问题…………………………………………………10 5.结论………………………………………………………………………11 5.1结论本文……………………………………………………………….11 5.2启示…………………………………………………………………….11 5.3局限性………………………………………………………………….12 5.4今后努力方向………………………………………………………….12 参考文献……………………………………………………………………13 致谢…………………………………………………………………………13 2 内容摘要 最值问题是高中数学中的重点问题，它贯穿了高中数学各个知识点，最值问题在 高考中的地位较为突出。在高考中各个知识可以通过最值问题为背景来进行考 查，它涉及了高中数学的主要知识和解题方法，它要求了学生要有浑厚的数学基 本功和比较好的思维能力。本文主要是针对在高考中常出现的求最值问题和与其 相关的题目进行，探讨，取得一些最值问题的解题策略，如数列中的最值问 题，圆锥曲线的最值问题，平面向量的最值问题，三角函数的最值问题，函数的 最值问题。并且在论文中选取了一些高考中的题目进行求解和分析，给研究者最 直观的理解。并希望能够给予参加高考的考生备考和教学工作的老师提供指导。 关键词;最值问题 解题策略 理解 英文摘要 Most of the problem is the focus of high school mathematics problems, which runs through the high school mathematics each knowledge point, most of the problem in the college entrance examination in a more prominent position. In the college entrance examination in all knowledge can be obtained through the most value problem as the background to examine, it involves the main knowledge and methods of solving problems in senior high school mathematics, it requires the students to have the basic skills of mathematics simple and honest and good thinking ability. This paperis mainly aimed at often appear in the college entrance examination in the most value problem and related topics for analysis, discussion,made some of the most value problem solving strategies, such as the most value problem in the sequence, the most value problem of conic curve, the most value problem of plane vector, the most value problem of trigonometric function, the value of the problem offunction. And in the paper a selection of some of the college entrance examination in the title of the solution and analysis, the most intuitiveresearchers understand. And I hope can give students participate in college entrance examination preparation and teaching teachers to provide guidance 3 1.引言 最值问题是学生们在考试和练习中最为常见的一种数学问题，也是历年各省市高考重点考察的对象之一，在高考中的地位也比较突出。最值问题分布在各个知识点，具有比较强的技巧性和灵敏性，可以很好的考查学生的思维深刻性和敏捷性。它与高中数学的各个反正分支都有着广泛的联系，其中以实际问题关系较为突出，比如，求最大利润，最短时间，最小面积，等等。 在这几年的数学高考题中，求最值问题是考试的一个重点，占了数学高考分数的5%—23%，从题目类型上，主要以选择题，填空题，简答题三种形式出现。在难易程度上，基本有基础题，中档题，高档题这三种题型。最值问题在考查基础知识的时候也加强了能力的考查，高考也将注重考查学生对课程内容达到怎样的程度。因此，求最值问题将是高考中的一个难点，学生不仅要掌握好各个分支的知识点还要善于发现题目信息，要有比较强的思维能力，还要会运用各种数学技能，灵活的选择合适的解题方法，才能达到事半功倍之效，本文将对高中数学中三角函数，圆锥曲线，数列，平面向量，导数，函数等最值问题，进行探讨，并给出求数学最值问题的解题策略，并为学生的备考和老师的教学提供相应的指导。 2. 国内研究现状及评价 国内虽然对求最值问题的求解，已经有了一定量的研究，特别是最值问题常用的求解方法的归纳比较全面系统。但在这几年的数学高考中，主要是考查的学生的学以致用能力，只用常规的求解方法，很难解决数学高考中的求最值问题。高考中很多求最值的问题，都是要结合相关知识点的概念，概念、定理、性质等，才可解决。现在可以查阅的参考文献中大部分都只讨论了求最值问题的常规求解方法，以及归纳了个别特殊的最值问题的统一解决方法，并没有深刻的探讨高考中数学求最值问题的解题策略。 3. 提出问题 在高考过程中，题目数量多、难度大、时间少，要想在高考中取得胜利，一定要做到解题方法的“精”、“练”、“巧.”。但大多数资料并没有从参加高考的学生的角度去研究，高考数学中求最值问题的解法。求最值问题的解题方法，还不够完善，参加高考的学生对求最值问题的解决方法还存在一些困难，所以，本文将通过查阅大量相关的资料，站在参加高考考生角度上，对高中数学中的常见的求最值问题的方法进行整理归纳总结，并进一步的完善求最值问题的解题策略，对参加高考的学生的备考和老师的教学工作，提供相应的指导。 4.高中数学常见的最值问题及解题方法 4.1 三角函数的最值问题 在数学高考中，求有关三角函数的最值问题出现的比较频繁，几乎每年数学高考试卷中都会出现，占据高考分数的3%—8%。三角函数的最值问题，主要考查考生对于三角函数的基础知识的综合运用。难度大，大部分考生对此类题目毫无办法。其实此类题目看上去非常的复杂，用常规的最值问题解题策略很难求解，但是要解决它其实并不难，只要充分的理解三角函数的概念，概念及性质牢记其，能够灵活的运用余弦定理、正弦定理以及与其相关的三角公式，进行合适的变形化解，在根据三角函数的概念、定理、性质逐步击破，就可以解决此类问 4 题。所以在解决有关三角函数的最值问题时，主要在于考生在三角函数的性质定理的深刻理解以及各个三角公式的灵活运用。 2例1(2013,江西，理，11).函数的最小正周期为Tyxx,，sin223sin 为 。 2解析;y=sin2x+2sinx 3 =sin2x+-cos2x 33 π=2sin(2x-)+ 33 2π?其最小正周期为T==π 2 评论;本题考查了三角函数的恒等变换，以及基础知识点最小正周期的求法，本题较为简单，主要是要正确的运用辅助角公式进行恒等变换 例2(2014，江西，理，17)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)，其中a?R，θ?(,，) (1)当a=，θ=时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值; 解析;当a=，θ=时，f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) =sin(x+)+cos(x+) =sinx+cosx,sinx =,sinx+cosx =sin(,x)=,sin(x,)( ?x?[0，π]， ?x,?[,，] ?sin(x,)?[,，1]， ?,sin(x,)?[,1，]， 故f(x)在区间[0，π]上的最小值为,1，最大值为( 评论;本题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的的定义域和值域，两角和与差的余弦函数。本题难度较大，主要由已知条件利用两角和差的余弦公式，正 5 ,,[0,,]弦公式化简函数的解析式为;f(x)=-sin(x-)再由x，利用正弦函数的定4 义域和值域求得函数的最值 4.2函数的最值问题 在高考试卷中，求有关函数的最值问题出现的非常多，几乎每年各省市的数学高考试卷中都会出现，而且难度一般较大，大多数高考试卷都是以函数的最值问题作为压轴题。这类题目考查的知识点非常广泛，大多数考查函数的概念，函数的奇偶性，分段函数，函数的定义域，值域等多方面的知识，并且着重考查考生的解题能力，运算能力，逻辑思维能力。函数最值问题看上去非常的复杂，其实只要掌握好各类函数的基础知识和“法”，“单调性”，“导数法”，“均值不等式”，“判别法”，“有界性”，以及函数的图像这几种方法，函数的最值问题就不难了 x2012，海南宁夏，文，21)设函数()= e,,2 例3(fxax (?)求()的单调区间 fx (?)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x,k) f?(x)+x+1>0，求k的最大值 'x解析;(1)f(x)的定义域是(-?，+?)，f(x)=e-a ',0当a时则f(x),0 ?f(x)在(-?，+?)上单调递增 ' 当a,0时，则当x?(-?，lna)时，f(x),0， '?(-lna，+?)时，f(x),0， 当x ?f(x)在(-?，lna)上单调递减，在(lna，+?)上单调递增。 'x(2)?a=1，?(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(e-1)+x+1 '?当x,0时，(x-k)f(x)+x+1,0等于 x，1K,+x (x,0)-----------------? xe,1 xxe(e,x,2)x，1'使g(x)=+x，则g(x)= xx2e,1(e,1) x由(1)可知，函数h(x)=e-x-2在(0，+?)上单调递增， 而且h(1),0 ， h(2),0 ?h(x)在(0，+?)上存在唯一零点。 '?g(x)在(0，+?)上存在唯一的零点，设这个零点为a 那么a?(1,2) ''当x?(0，a)时g(x),0，当x?(0，a)，g(x),0， 6 '当x?(a，+?)时，g(x),0， ?g(x)在(0，+?)上的最小值为g(a) 'ag(a)=0 可得e=a+2 ?g(a)=a+1?(2,3) ??等于k,g(a) ?k的最大值为2 评论;本题考查了函数的单调性，导数的性质，不等式，根的存在性等多方面知 x，1识。本题难度较大，综合性较强，先是利用不等式的性质得到K,+x xe,1 '然后构造函数g(x)，再求导得到g(x)存在的唯一的零点，再利用导数的性质得到k的最大值。 4.3数列的最值问题 有关数列的求最值问题也是数学高考的一种题型，出现也比较普遍，曾经在2008年的江西考卷，宁夏海南考卷和2009年安徽考卷四川考卷出现。此类问题大多数已选择题和解答题这两种题型出现，出现在选择题的题目难度不大，但出现在解答题的题目的难度却非常大，对此类问题的解题能力要求很高，不仅要求考生对数列的基础知识非常熟悉，还需要要求考生有比较强的分析能力、思维能力、解决问题能力和计算能力。针对此类问题，考生必须要熟记并且能够准确灵活的运用等比数列和等差数列的各个公式。 a例4(2010，海南宁夏，文，17)设等差数列满足，。 a,5a,,9,,n310 a(?)求的通项公式; ,,n ann(?)求的前项和及使得最大的序号的值 SS,,nnn 解析;(1)由a可得 ,a，(n,1)d,a,5,a,—91310m a ，2d,5，a，9d,—911 ?a ,9，d,—21 ?数列{a}的通项公式为a=11—2n nn n(n，1)2(2)由(1)可知Sm=n ，d,10n,na12 2?Sm=—(n-5)+25 ?当n=5时，Sm最大 评论;本题考查了等差数列的概念，通项公式及前n项和的表达式。本题较 7 2为简单，主要是利用前n项和公式得到Sm=-(n-5)+25，即得出n=5，Sm最大 例5(2011，江苏，13)设，其中成公比为q的等1,a,a,？,aa,a,a,a1271357 比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________. a,a,a246 解析;?1=a ,a,a,.......,a2371 a a a是公差为1的等差数列 624 ?a3 ,a，2,62 ?a的最小值是3 6 a的最小值是3 ?7 此时a=1而且a是公比为q的等比数列， ,a,a,a13571 ，?一定有q0 a3 ?,aq,71 33?q ,3,q,3 评论;本题主要考查了等差数列和等比数列的概念以及公式，本题难度较大，先是利用等差数列的通项公式将a用a表示出来，求出了a的最小值再进一步662 的求出了a的最小值，最后利用等比数列的通项公式求出了公比的范围，从而7 求出公比的最小值 4.4平面向量的最值问题 在考查有关平面向量的求最值问题中，一般是结合了三角函数进行考查，此类问题一般以选择题、填空题、解答题出现。考生必须深刻的理解关于平面向量的概念、性质以及向量积与数量积的几何意义，要会灵活的运用向量的各种性质，还要有比较强的论证和运算能力，就可以解决问题。对于平面向量的最值问题，考生首先应该根据题目中的已知条件，充分的利用向量的性质灵活的变形，在利用向量积或数量积便可求解。 ,,sin,,,,例6(2009，江苏，15)设向量a=(4cos)，b=(sin，4cos)c=(cos， 8 ,-4sin) ,，,-2c垂直，求tan()的值; (1)若a与b (2)求|b+c|的最大值; 解析;由a与b-c垂直，a?(b-2c)=ab-2ac=0 ,，,,，,即4sin()-8cos()=0 ,，,tan()=2 ,，cos,;4cos,,4sin,) b+c=(sin 22222|b+c|=sin ,，2sin,,cos,，cos,，16cos,,32cos,,sin,，16sin, ,cos,,17,15sin2,=17-30sin 最大值为32，所以|b+c|的最大值为4 2 评论;本题考查了向量的基础知识以及向量的内积公式，三角函数的相关公式。 ,，,本题难度不大，先是由向量的内积公式得到tan()=2，再由内积公式得到,b+c,的最大值 ,,,,,,,,例7(2009，安徽，理，14)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹OAOB o角为. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若120 ,,,,,,,,,,,, xyR,,xy，其中,则的最大值是=________. OCxOAyOB,，, ,,,OC,x，y的两边分别作向量积得到 解析;在OAOB 1,,x,y,,------------------? 2OAOB 1,,,x，y,,----------------? 2OBOC 由?+?可得 ,,,,,,,,,2,,2COS,x+y=2(，) OCDCOCOBOCOAOB ,?=1 OD 9 ?x+y的最大值是2 评论;本题主要考查平面向量中的向量积和数量积的几何意义，而且灵活多变。 但本题难度不大，先是将向量的两边同时作向量积，再将两式相加，最终得出x+y的最大值 4.5圆锥曲线的最值问题 有关圆锥曲线的求最值问题是一类难度比较大的题型，在高考一般作为压轴题出现，学生对于这种问题经常丢分，而这种问题的分值一般比较高，大概占据了高考数学总分的10%左右，它涉及的范围非常广泛，大多是以解答题的形式出现，它考查考生对椭圆，抛物线几何性质的理解，对直线与抛物线，直线与椭圆的位置关系等一些基础知识点的掌握程度，它考查了考生解析几何基本的思想方法以及综合解题能力。针对这种题目，考生一定要先充分的理解圆锥曲线的概念，定理，性质，再结合题中的已知条件，综合运用相关的知识进行求解 . 例8(2009，四川，理，9)已知直线和直线，抛物lxy:4360,，,lx:1,,12 2线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是------ Pyx,4ll12 1137A.2 B.3 C. D.516 2解析:直线是抛物线的准线，由抛物线的定义可知，点P到直lx:1,,yx,42 线的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，所以本题化为在抛物线l2 2上找一个点使得到点F(1,0)与直线的距离之和最小，最小值为PPyx,4l2 |4,0，6|F(1,0)到的距离，即d,,2，所以选择A lxy:4360,，,min15 评论;本题考查了抛物线的概念与点到直线的距离的知识点。本题难度不大，只要由抛物线的定义求到p到f的距离，找到点p，再由知道F到的距离的就是l1所求的最小值，由点到直线的距离公式计算 例9(2013，广东，理，20)已知抛物线的顶点是原点，其焦点(0，)(cFcc 10 3,0)到直线L:x-y-2=0的距离是(设P是直线L上的点，过点P做抛物线22 C的两条切线PA和PB，其中A，B为切点( (1) 求抛物线C的方程; (2) 当P在直线L上移动时，求|AF|?|BF|的最小值( ,c,232c,1解析;(1)由题意可知，?(,,c,02 2 ?抛物线c的焦点坐标为(0,1)， 2?抛物线的解析式为x=4y (2)?点A到焦点F的距离等于点A到准线y=-1的距离， 22xx12，1，1?|AF|=， |BF|= 44 2222xxxxx，x222121212AF,BF,(，1)(，1),()，，1,(x,2)，x,2x，4，10004444 3922,2x,6x，9,2(x,)，00022 39AF,BF?当时，取最小值( x,022 评论;本题考查了抛物线的概念，性质与点到直线的距离的公式以及直线上的点到抛物线上切点的算法。本题难度较大，先是利用点到直线的距离公式求出焦点F的坐标，从而得到抛物线的解析式。根据抛物线的性质得到两切点A,B到焦点 AF,BFF的距离，最后由直线上的点到抛物线上的切点的算法求出了的最小值 5.结论 5.1结论本文 本文对进几年高考数学最值问题的解题策略进行了深入的研究，给出了高考数学中求最值问题的具体解题策略和解题过程，探讨了高考数学中出现频率较高的三角函数的最值问题，平面向量的最值问题，圆锥曲线的最值问题和数列的最值问题以及一些函数的最值问题。从解题方法上讲，最值问题涉及到的知识面非常广，技巧性强，难度大，解题方法灵活多变，大多数考生很难把握，使用一般的最值求解方法很难求解，要根据其本身所具有的特点和相关知识的概念，定理，性质才可以进行解答。从能力上来讲，要求考生要有较强的分析能力，观察能力，解决问题的能力和计算能力。本文的研究有利于学生更加的了解高考数学中求最值问题的解题策略，使参加高考的学生在复习备考过程中对准重难点。为考生的备考和老师的教学工作提供相应的指导。 5.2启示 通过对这几年高考数学中与求最值问题相关的试题分析，在求最值问题的专题复习过程中，应当重视与相关知识的基本概念，基本定理，基本方法，基本性质的复习和基本能力的提升，尤其是分析能力，运算能力和观察能力的和训练。 11 5.3局限性 本文研究了这几年高考数学中所需要相关知识的概念，定理，性质才可以解决的求最值问题的解题方法。因为本人还没有真正的进入实践中，没有将理论应用于实际教学过程中，尤其是数列和函数的求最值问题的解题方法灵活多变。在考查基础知识的同时也不断增强了对各种能力的考查，而且高考中求最值问题经常改新，形式变化多样，很难掌握。所以本文的研究还存在一些不足性 5.4今后努力方向 求最值问题是高考每年必考的考点，而且常考常新，对于各种能力的要求也越来越高，在今后的学习和研究中，我将会结合自身的教学实践，加强学生对基础知识的理解，并且继续对全国各省市每年的数学高考题中的求最值问题的解题方法作深入的研究，使求最值问题的解题策略更加的系统，更完善来弥补本文的不足。 12 参考文献 [1] 黄文昭.数学最值问题求解若干策略初探[J].广西教育学校学报，2001， (5):118-119. [2] 王战伟.高中数学中的最值问题[J].云南教育中学教师，2012，(33):50-51. [3] 许钦彪.最值问题的常用解法[J].中学生天地，2008，(3):22-25. [4] 王黎英.求函数最值的常用方法[J].宝山师专学报，2001,20(2):11-16. [5] 姜继学.最值问题的求解方法[J].数理化学习(初中版)，2006，(07):27-29. [6] 晨旭.最大值，最小值问题的初等解法[J].数学教学研究，1995，(08):24-27. [7] 刘俊，付本路，姚玉平.初等数学解题教学研究[M].山东:中国石油大学出 版社，2009:1-250. [8] 候守一.用数形结合求函数最值[J].数学教学研究，1996，(01):19-20. 关于一类函数最小值问题的一种处理方法[J].数学通讯，1996，(4):[9] 刘汉顶. 10. [10] 尹阳鹏.高考函数中最值问题的处理方法[J].数学爱好者，2006，(1): 39-41. 致谢 大学四年即将结束，回头看看走过的时间，心中觉得很充实，当我即将 写完这篇论文的时候，突然有一种如释重负的感觉，心中感慨颇多。 首先我要非常的感谢我的论文指导老师刘育星老师，他常常在百忙之中抽出时间来审查，修改我的毕业论文。还有那些教过我的老师们，你们严谨，工作一丝不苟的作风一直是我学习的榜样。最后我要感谢我的同学们，是你们在生活中和学习中给予我极大的帮助，使我愉快的度过美好的大学四年。 13