自然对数的计算方法[技巧]

自然对数的计算方法[技巧] 自然对数的计算方法 作者:李治春 指导老师:吴超云 摘要:本文介绍了自然对数的计算方法，包括自然对数底数e的由来、自然对数的幂级数计算方法、自然对数的连分数计算方法以及它们的比较与实现。自然对数的应用也相当广泛，它在数学、化学、物理等方面均有者重要的应用。本文根据对它最基本的元素e研究开始，逐步对其计算方法进行深入的研究。 关键词:e 幂级数 连分数 1..引言 在这篇文章中，我们先从自然对数的底数e开始研究，了解它的背景，而引出自然对数，自然对数的计算方法，了解什么是幂级数和连分数，进而分析自然对数的幂级数计算方法和连分数计算方法，最后再比较它的计算方法，掌握它们在数学、化学、物理等方面的应用。 2.了解自然对数的背景 2.1 了解自然对数底数e的相关 e是一个数的代表符号。在高中数学里，我们都学到过对数(logarithm)的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数(common logarithm)。课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828„„为底数的对数，称为自然对数(natural logarithm)。在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那麼是在怎样的状况下导致它出现的呢,一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。我们都知道复利计息是怎麼回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次;当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间(理论上来说)，会发生什麼状况,本利和会无限制地加大吗,答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中(当然那时候还没给这个数取名字叫e)。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的得到的。e的影响力其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关。 2.2 自然对数的由来与概念 例子:当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。 它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828... 它用ln a表示。a?0。以e为底数的对数通常用于?。e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。 我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即:log(a * b) = loga + logb 但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适,10吗,或是2,为了决定这个底数，他做了如下考虑:1.所有乘数/被乘数都可以化到0.1-1之内的数乘 以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。2.那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。(如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看;)3.这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几;而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。4.为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ， X越大越好。在选了一个足够大的X(X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂)后，你就可以算 (1-1/X)^1 = p1 , (1-1/X)^2 = p2 , „„ 那么对数表上就可以写上 P1 的对数值是 1，P2的对数值是 2„„(以1-1/X作为底数)。而且如果X很大，那么P1,P2,P3„„间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。5.最后他再调整了一下，用 (1 - 1/X)^ X作为底，这样P1的对数值就是1/X， P2的对数值就是2/ X，„„ PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-几之间。两个值之间最小的差为1/X。6.现在让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数(1 - 1/X)^ X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数(虽然那个时候还没有给它取名字)。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了 --- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。 2.3 自然对数早期的应用 自然对数早期主要用在研究“自然律”和“螺线”上。螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达: φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828„„，是一个无限不循环数。“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数: (1+1/x)^x 当X趋近无穷时的极限。 人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 (1+1/x)^x X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展(当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828„„，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828„„)得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 编辑本段自然律的渊源及发展。e=2.71828„„是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种:(1)对数螺线;(2)阿基米德螺线;(3)连锁螺线;(4)双曲螺线;(5)回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各?伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。 3.自然对数的幂级数计算方法 3.1 e的幂级数计算方法 我们首先来了解什么是幂级数。 定理1 如果函数f(x)在