第3题 足球甲A联赛[初中数学 数学问题与模式探求]

第3 足球甲A联赛[初中数学 数学问题与模式探求] 第3题 足球甲A联赛 中国足球甲A联赛共有12个队参加主客场制的双循环赛，请你回答下列问题: (1)一年的联赛中共需进行几轮比赛, (2)一年的联赛中共需进行几场比赛, (3)若每周只进行一轮比赛，要保证年内完成联赛，甲级队最多可达到多少个, :所谓主客场制的双循环赛是指任何两个参赛的队之间都要分别在自己的主场与对手打一场比赛，即任何两队之间要比赛两场。所以参加甲 A联赛的每个球队都要参加 22场比赛，由于每轮中每队最多踢一场比赛，可知至少需22轮比赛才能完成一年的联赛，事实上，中国足球甲A联赛恰好22轮完成，每轮12个甲A足球队之间共比赛6场，所以共需进行22× 6= 132场比赛。 一般地，每年有52个完整的星期，所以一年中共可进行52轮比赛，要考虑甲A足球队最多可达到多少个，需要知道参赛球队数与比赛轮数间的关系。根据比赛规则，若有n个队参赛，每个队都要与其余的(n- 1)个球队分别比赛2场，所以至少2(n- 1)轮比赛才能完成，下面考虑是否对于任意的自然数n ，都恰好能在2(n- 1)轮完成。我们先对一些特殊情况进行分析:当n= 12时，恰好需要2(12- 1)= 22轮比赛，也容易验证n= 4，或6时分别能在6轮、10轮比赛中完成整个赛程;而当n= 5时，每一轮只能有4个队参加比赛，而必然有一个队轮空，且为了保证赛程顺利进行，每轮轮空的球队在一个单循环中不同，所以在一个单循环中，每个球队恰好轮空一次，共需5轮比赛，即整个联赛共需10轮。下面是n= 5时一种赛程安排表，从中可得到一些启发。 设甲、乙、丙、丁、戊五队参加比赛，队名排在前的球队为主场。 第一轮:甲与乙;丙与丁 (戊轮空) 第二轮:甲与丙;乙与戊 (丁轮空) 第三轮:甲与戊;乙与丁 (丙轮空) 第四轮:甲与丁;丙与戊 (乙轮空) 1 第五轮:乙与丙;丁与戊 (甲轮空) 以上为第一循环，第二循环只需改变主客场进行比赛即可。 由以上的特例，容易看到，一般地，当参赛球队数n为偶数时，每轮中每个球队均能参加比赛，且每队均需比赛2(n- 1)场，所以需2(n- 1)轮比赛;当n为奇数时，每轮中必有一队轮空，每个队在整个联赛中轮空2次，所以共需2(n- 1)+ 2= 2n轮比赛才能完成一年的联赛进程。 根据上面的结论，25个或26个球队参加联赛均需50轮，而27个球队比赛则需54轮才能完成，因此，甲级队最多只能为26个，否则一年内将不能完成联赛。 解:略。 回顾:参加比赛的球队数与比赛轮数间的关系也可以通过分析比赛的总场次与每轮能够进行比赛的场次得到: 设n个队参赛，每个队都将在自己的主场踢(n- 1)场比赛，所以整个联赛中共需进行n(n- 1)场比赛，当n为偶数时，每轮可进行 要2n轮比赛才能完成。 练习3 1(若参赛队只有8个时，共需多少场比赛才能完成主客场制的双循环赛，列出一种比赛安排表，并与同学比较你们的赛程表是否一致。 2(列出参赛队为9个时的一种双循环赛程表。 2