行列式的二项展开式

行列式的二项展开式 第33卷第5期 1.33No.5 唐山师范学院 JournalofTangshanTeachersCollege 2011年9月 Sep2011 行列式的=项展开式 刘建波,焦哲哲,李文毅 (东北大学秦皇岛分校,河北秦皇岛066004) 摘要:给出了行列式的二项展开式,并通过实例阐明了公式计算和证明行列式带来的便利. 关键词:二项式;行列式;向量 中图分类号:O151.22文献标识码:A文章编号:1009-9115(2011)05-0015-02 TheBinomialExpansionofDeterminants LIUJian?bo,JIAOZhe-zhe,LIWen—yi (CampusofQinhuangdao,NortheasternUniversity,Qinhuangdao066004,China) Abstract:Thebinomialexpansionofdeterminantswasgiven,andtheadvantageswereshowe nbysomeexamples. KeyWords:binomial;determinant;vector 牛顿二项式是数学各学科中均具有广泛应用的重要公 式,具体表述为… +)=??Y(1) 其中月是任意一个自然数,0?k?, = !=1?2…??.在微积分中,对一元函数,(f)和g(t)的乘 积求(n1是自然数)阶导数,有如下的莱布尼兹公式【1 (/-g)''==?f'一?g'(2) 其中厂'表示对函数厂(f)求月阶导数.这个公式与牛顿二 项式非常相似,区别在于将幂次数换成了求导阶数.类似地, 在多元微积分中,对二元函数=f(x,Y)求n阶微分时, 也有如下的公式【】 d=,onf(x,Y) dx =+cs 值得注意的是,上面等式的第三项只是一个形式表达. 观察以上公式可以发现, (1)式给出了两个数和的正整数次幂的展开公式; (2)式将两个函数乘积的高阶导数展开成一个函数导 数的乘积的和; (3)式给出了二元函数微分的计算公式. 这些公式都使得计算变得简便可行,因此也很常用. 本文给出行列式计算中的一个二项展开式,也是一种形 式表达,但是也能给行列式的计算和证明带来很大的简便. 1主要结论 定理1设 口f= ali a21 ? : ,= 6l , :? (1?in) 均为n维歹U向量,则 = II+,口2+,…,+l 构成一个阶行列式,记'"一')表示第f列或者为, 或者为,并且有,z—k列为,而其它列为所组成的行 列式,则 Dn=芝口'=U 值得注意的是,这个公式只是一个形式表达式,同一个 ''可能表示不同的行列式,这里只是表示有这 收稿日期:2011-01.13 作者简介:刘建波(1978.),男,河北唐山人,博士,东北大学秦皇岛分校讲师,研究方向 为李代数,结合代数.?l5? 第33卷第5期唐山师范学院2011年9月 么多种不同的取法. 证明由【3】中行列式计算性质3有 Dn=ll+,Ot2+,…,口+l = I口l,2+,…,+I +I,口2+,…,+l =l口l,口2,Ot3+,…,+l +IOtl,,口3+,…,+l +l,口2,口3+,…,+I +I,,+,…,+I = ll,口2,…,l+I,口2,…,口I +ll,,Ot3,…,I4-'.-+l口l,2,…, +l,2,,…,口l+…+l,,…, = k 兰=O ot('-k)p(" 2应用 例1计算行列式: Dn= 1+ X2X1 X1X2 l+jf22 x2 X2Xn ; l+ : 圈 - l6. =14-?jf i=1 X4-a12…+aIn X+a22…4-a2 +a2…4-ann n = ??Aii+ i=lj=l aI1a12 a21a22 a1口n2 证明D)的第列可表示为+,其中 甘如果行列式中出现两列或两列以上的ctj,则行列式的 值为o.所以,f(x)可表示为: 厂()=,''一+口'. = 庄a12…口la22…口2"an2'''ann + 巨 + all a21 :: ?? 1 a1" Xa2 :: ?? ann q 口2 : an2… I.11 : 兰兰A0+I,i=1=lI: …nlH … 口2 ' .: ?? … a12…口lH a22…口2 an1an2…口力 【参考文献】 【l】陈景林,阎满富.组合数学与图论【Iv|】.北京:中国铁道出版 社,2000. 【2】华东师范大学数学系.数学分析(第二版)【M=1.北京:高等教 育出版社,1991. 【3】北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数 (第三版)fl.北京:高等教育出版社,2003. (责任编辑,校对:赵光峰) nm 口 ... 口 巳+++ 求?? ,, 2 例D 竹 ???? ???? 1????,?????,J???????????? l1l 12.-.H口口口 -? ? : 1????????,j ; :;: