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牛顿莱布尼茨.doc 微积分理论与辩证逻辑 微积分是“用极限方法研究变量和的一门数学学科”。然而，在达到这一现代的共识以前，历史已走过了整整两个世纪。 ,,世纪晚期，牛顿和莱布尼茨在其先驱者思想的基础上几乎同时独立地制订出具有普遍形式的微积分算法。作为自然科学与工程技术的重要工具，微积分一经产生便获得广泛而有效的应用。与此同时，它的演绎程序不严密的缺陷也立即暴露出来。近代数学史表明，微积分理论基础的演进并不单纯是“某些数学技术的发展，以及某些技术由于不协调而被抛弃”，而是与对无穷小量概念认识的不断深化同步并行的。微积分理论基础的严密化主要在于理解无穷小量的辩证特性，并为之寻求合乎逻辑的数学表达式。 在探寻微积分计算法的理论依据方面，牛顿早期把实无穷小量(“瞬”)看作是一种很小而非零的不可分量，同时又随便运用省略高阶无穷小原理。为了避免这一逻辑困难，后来在《原理》第二版中，他又提出始末比方法，用潜无穷小量及其和与比的极限来代替实无穷小量，但没有把本质上接近于现代极限论思想的这一观点坚持到底。相比之下，莱布尼茨则较一贯地主张以实无穷小量作为微积分学的基础。他提出“无比小”的数量概念来论证省略高阶无穷小的合理性，认为“无穷小量”就像微尘之对地球一样可以忽略不计。但同时又说“无穷小”是虚构的或理想的概念，这暗示他可能承认潜无穷小的概念。因此，就基本倾向而言，牛顿、莱布尼茨的微积分理论实质上都是以实无穷小量概念为基础的。他们虽然直观地意识到了实无穷小量的零与非零性质，却不能精确地表达这一概念，因而其方法难以摆脱演绎程序上的逻辑矛盾。 ,,世纪使微积分在逻辑上和哲学上的弱点更加显露。两个量之间的无限小的差异同时等于零又不等于零，这是萦回在许多数学家头脑中的矛盾。为了避免无穷小方法在推理过程中引起的混乱，拉格朗日转而从函数概念出发，提出了一种纯代数的微分方法，把整个理论建立在(连续)函数的泰勒展开式之上，但他在微分学的应用中仍不得不诉诸无穷小量和极限等概念。另一方面，,,世纪出现过的模糊的极限概念，这时已逐渐明朗起来。欧勒就明确说到两个变数增量越来越小时其比所越来越接近的极限。达兰贝尔甚至给出了极限概念的一般定义:“一个变量趋近一个固定量，趋近的程度小于任何给定量”，并深信“极限论是微积分的真正抽象”。但他们都没有进一步利用极限理论去论证无穷小算法的逻辑基础。 现代极限论是由柯西在,,世纪初着手建立的。他以趋近于极限的变数概念为枢纽去定义导数、微分、无穷级数的和及函数的连续性等，使微积分成为比较严密的理论。例如，他把无穷小量定义为以,为极限的变量，较好地表述了无穷小量是,与非,的统一:它在变化过程中不为,，但其变化的趋势却是,。这就初步解决了无穷小量是不是,的哲学之争。柯西的奠基工作消除了微积分算法的神秘性，但他的极限概念仅停留在直观描述的水平上，如“无限地接近”、“要怎样小就怎样小”等，既没有包括实数概念的严密基础，也没有建立实数域的连续性。 魏尔斯特拉斯在,,世纪,,年代首先采用了ε—δ论证方法。他通过诸如“如果对于每个ε,,，存在着一个δ,,，…”，“如果对于每个ε,,，存在着一个自然数,，…”之类的精确语言来定义极限、连续性、导数及其它概念。这种ε—δ语言使微积分完全建立在数的概念上，实现了数学分析的算术化，使微积分最终定型为今天的形式。 ,,世纪,,年代，狄德金提出关于有理数的,,,′分划的思想，基中,为第一类分划(有理数)，,′为第二类分划(无理数)，并进而根据对实数进行分划并不产生新数，证明实数本质上不同于有理数:有理数只具有稠密性，实数既具有稠密性又具有连续性。这就澄清了以往把稠密性与连续性混同的不正确观念，明确了无穷级数的发散与收敛条件，从而使极限论奠定在实数理论的基础之上。另一方面，分析的严密化又进一步引导人们去理解实数集合的结构。,,世纪,,年代，康托尔创立的无穷集合论使无限概念发生了一次革命性 的变革。康托尔认为，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他还证明无穷集合是可以比较大小的，如可列集合(凡能和正整数构成一一对应的任何一个集合)是最小的无穷集合。实数集合是不可列的，实数集合的基数大于自然数集合的基数(;,,,，,,)。集合论是人类认识史上第一个关于无穷的数学理论，它通过引进集合、基数、序数、序型等概念揭示出数概念的本质属性，因而到,,世纪末已被大多数数学家们确认为分析的严格基础。 ,,世纪,,年代，美国数学家鲁滨逊创立了古典微积分的一种新型态——非分析。他把数域从实数域扩大到非标准数域，从数学上严格证明了在数学中存在着实无穷小量。根据非标准分析，实无穷小量是一个大于零而小于任意实数的量，它在实数域中表现为零，在非标准数域中则表现为非零。这就从数系的不同层次上展现了实无穷小量的零与非零性质。 上述简要的历史回顾表明，,,世纪以来微积分理论基础的演进反映了人类对无限性(包括无限小量、无限大量和无限过程)本质认识的深化过程，它以数学思想的形式从一个侧面展示出人类思维遵循螺旋式上升过程的缩影。作为起点的牛顿、莱布尼茨的无穷小方法，由于把片面理解的实无穷小量作为微积分的基础概念而陷入逻辑上的自相矛盾。拉格朗日等人的纯代数方法仅仅简单地否定了其先驱者的神秘的实无穷小量概念，同样也没有摆脱矛盾。柯西等人的极限方法引进潜无限概念较好地解决了早期微积分推导中的逻辑矛盾，却又排斥了实无穷小量。无穷集合论以及后来非标准分析的创立则在更高的阶段上由柯西的潜无限思想重返实无限概念，尽管它们的创始人都不承认无穷小量的实在性。无限是有限和无限的对立统一，是实无限和潜无限的对立统一。一部微积分概念发展史就是对无限的上述辩证本质的探索和把握。这就是贯穿在微积分理论基础演变的整个进程之中的认识辩证法。