求由下列方程所确定的隐函数y的导数

求由下列方程所确定的隐函数y的导数 习题2,4 dy 1, 求由下列方程所确定的隐函数y的导数: dx2 (1) y,2x y，9,0, 33 (2) x，y,3axy,0, x，y (3) xy,e,, y (4) y,1,xe, 解 (1)方程两边求导数得 2y y,,2y,2x y, ,0 ～ 于是 (y,x)y,,y～ y, , y,y,x (2)方程两边求导数得 22 3x，3yy,,2ay,3axy,,0～ 22于是 (y,ax)y,,ay,x ～ 2ay,x,y, , 2y,ax (3)方程两边求导数得 xy ， y ，x y,,e(1，y,)～ xy xy，，于是 (x,e)y,,e,y～ x，ye,y,y, , x，yx,e (4)方程两边求导数得 yy y,,,e,xey,～ y y于是 (1，xe)y,,,e～ ye,y,, , y1，xe 22222333(a, a)x，y,a 2, 求曲线在点处的切线方程和法线方程, 44 解 方程两边求导数得 11,,2233,x，yy,0 ～ 33 1,3x,y,,于是 ～ 1,3y 22(a, a)在点处y,,,1, 44 所求切线方程为 222y,a,,(x,a)x，y,a ～ 即, 244所求法线方程为 22y,a,(x,a) ～ 即x,y,0, 44 2dy 3, 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数: 2dx22 (1) x,y,1, 222222 (2) bx，ay,ab, (3) y,tan(x，y), y (4) y,1，xe, 解 (1)方程两边求导数得 2x,2yy,,0～ x y,,～ y xy,x22,y,xyyy,xx1,,,y,(),,,,, , 2233yyyyy (2)方程两边求导数得 22 2bx，2ayy,,0～ 2bx,y,,, ～ 2ay 2bxy,x(,,)222222224,y,xyayay，bxbbbb,,y,,,,,,,,,,, , 222222323ayayaayay (3)方程两边求导数得 2 y,,sec(x，y),(1，y,)～ 222sec(x，y)sin(x，y)，cos(x，y)11, ～ y,,,,,1,22221,sec(x，y)cos(x，y),1,sin(x，y)y 22(1，y)221,,, , y,y,(,1,),,3325yyyy (4)方程两边求导数得 y y y,,e，x ey,～ yyyeee,y,,, ～ y1,xe1,(y,1)2,y 2yyyy,,,ey(2,y),e(,y)e(3,y)ye(3,y),, y,,,, 223(2,y)(2,y)(2,y) 4, 用对数求导法求下列函数的导数: xxy,() (1) , 1，x x,55y, (2), 52x，2 4x，2(3,x) (3), y,5(x，1) x (4)y,xsinx1,e, 解 (1)两边取对数得 ln y,x ln|x|,x ln|1，x|， 两边求导得 111,y,lnx，x,,ln(1，x),x, ～ yx1，x xx1x,,，y()[ln]于是 , ，，，1x1x1x (2)两边取对数得 112lny,ln|x,5|,ln(x，2) ～ 525两边求导得 11112x,y,,,, ～ 2y5x,525x，2 x,x151125,于是 , y,,,,[]522x,x，5552x，2 (3)两边取对数得 1lny,ln(x，2)，4ln(3,x),5ln(x，1) ～ 2 两边求导得 1145,y,,, ～ y2(x，2)3,xx，1 4x，,x2(3)145,y,，,于是 []5x，x，x,x，(1)2(2)31 (4)两边取对数得 111xlny,lnx，lnsinx，ln(1,e) ～ 224两边求导得 x111e,y,，cotx, ～ xy2x24(1,e) xxee1112xx,yxxexxxex,sin1,[，cot,],sin1,[，2cot，]于是 , xxxexe224(1,)4,1 dy 5, 求下列参数方程所确定的函数的导数: dx 2x,at, (1) , ,2ybt,, ,,,,x(1sin), (2) , ,y,,cos,, 2,ydy33btbt,,,t解 (1), ,dxx2at2at ,ydy,,,cos,sin,(2), ,,,dxx1,sin,,,cos,,tx,esint,dy,, 6, 已知求当t,时的值, ,ty,ecost.3dx, tt,ydyecost,esintcost,sintt 解 ～ ,,,tt,dxxesint，ecostsint，costt 13,dy,1,322当t,时～ , ,,,3,23dx131，3，22 7, 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: x,sint,,t, (1) ～ 在处, ,y,cos2t4, 3at,x,2,1，t (2) ～ 在t=2处, ,23aty,,2,1，t ,ydy,2sin2tt,, 解 (1), ,dxxcostt ,,2sin(2,)dy2,,24x,y,0t, 当时～ ～ ～ ～ ,,,,2200,24dx2cos42 所求切线方程为 2y,,22(x,) ～ 即, 22x，y,2,02 所求法线方程为 12y,,(x,) ～ 即, 2x,4y,1,02,22 22226at(1，t),3at,2t3a(1，t),3at,2t6at3a,3at,, (2) y,,～ x,,～ tt22222222(1，t)(1，t)(1，t)(1，t) ,ydy6at2tt ,,,, 22,dxx3a,3at1,tt dy224,612,,,x,ay,a 当t,2时～ ～ ～ ～ 002123dx,55所求切线方程为 1246y,a,,(x,a) ～ 即4x，3y,12a,0, 535 所求法线方程为 1236y,a,(x,a) ～ 即3x,4y，6a,0, 545 2dy 8, 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数: 2dx 2t,,x, (1) ; 2,,y,1,t., x,acost, (2) ; ,y,bsint, ,tx,3e, (3) , ,ty2e,, tx,f(t), (4) ～ 设f ,,(t)存在且不为零, ,ty,tf(t),f(t), 12,,,y2(y)dydy1,1txtt 解 (1) ～ ,,,, ,,23,,dxxttdxxttt b2csct2,,,y(y)dydybcostbbtxta,,,, (2) ～ , ,,,,cott223,,dxx,asintasintdxx,asintatt 22t,,2e2t,,,y()ydydy22e43txt3t2t,,, (3) ,,,,～ e, e,2t,t,,,39dxxe,33dxxett2,,,,,,,(y)ydydyf(t)，tf(t),f(t)1txt (4) ～ , ,,,,,t2,,,,,,dxxf(t)dxxf(t)tt3dy 9, 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数: 3dx 2x,1,t, (1) , ,3ytt,,, 2x,ln(1，t), (2) , ,y,t,arctant, 32,dy(t,t)1,3t,, 解(1)～ 2,dx(1,t),2t 2,t13,()2dy113,t2 ～ ,,,，()23dx,ttt24113,,(，)33dy34tt2 , ,,,(1，t)35dx,2t8t 11,,2dy(t,arctant)11，t,,,t (2)～ 22t,dx[ln(1，t)]221，t1,(t)22dy，1t2,, ～ 22tdx4t21，t 21，t,()34dyt,14t,, , 332tdx8t21，t 10, 落在平静水面上的石头～ 产生同心波纹～ 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s, 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少, 2 解 设波的半径为r～ 对应圆面积为S～ 则S,,r～ 两边同时对t求导得 S,,2,rr,, t 当t,2时～ r,6,2,12～ r,,6～ t2故S,|,2,12,6,,144, (米,秒), tt,22 11, 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中～ 其速率为4m/min , 当水深为5m时～ 其表面上升的速度为多少, 112S,hr,h, 解 水深为h时～ 水面半径为～ 水面面积为～ 42 111,23VhShhh,,,,水的体积为～ ,33412 dVdhdhdV,42,,h,,,3 ～ , 2dtdtdthdt,12 4416dhdVdV 34,4,,,,,已知h,5(m)，(m/min)～ 因此 (m/min), 2,25,25,dtdthdt 12, 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中～ 开始时漏斗中盛满了溶液～ 已知当溶液在漏斗中深为12cm时～ 其表面下降的速率为1cm/min, 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少, 解 设在t时刻漏斗在的水深为y～ 圆柱形筒中水深为h, 于是有 11222,6,,18,,ry,5h , 33 yyr,r,由～ 得～ 代入上式得 6183 y11222,6,,18,,()y,5h ～ 333 11232,6,,18,y,5h即 , 333 两边对t求导得 122,,,yy,5h , t23 当y,12时～ y,,,1代入上式得 t 12,,12,(,1)2163, (cm/min)., h,,,0.64t2525