透过现象看本质

透过现象看本质 ----支架问题透析 汉川高中 杨建华 学习物体的平衡问题时,经常遇到以下两个相似模型;在多年的教学实践中，我也发现 学生对这两个模型很容易混淆，现就我的研究情况归纳如下，供同仁们参考。 例1:如图1所示，轻杆AB的一端被铰链连在竖直的墙上， 另一端被轻绳CB拉住，AB杆水平，，在轻杆的 ，ABC,30: B端挂上一重为G的物体，整个系统处于静止状态，求杆对B 端作用力的大小和方向。 例2:如图2所示，轻杆AB的B端装有一轻质光滑定滑轮， 图1 A端插入墙中，一根轻绳一端固定于墙上的C点，另一端绕过 定滑轮挂上一重物G，，轻杆处于静止状态，求 ，ABC,30: 杆对B端作用力的大小和方向。 一般来说，教师对这两个问题是按如下方法分析讲解的: 对例1:选取B点作受力分析，如图3所示，可求得杆B 图2 ，方向沿杆水平向右。 端受到的作用力N,Gcot30:,3G 对例2:由于轻绳CB受到的张力大小等于G，根据力的 合成法求得杆B端受到的作用力N=G。方向与水平方向成 30:夹角。即N、T、G互成夹角，如图4所示。 120: 对于轻杆受到的作用力，学生总是认为一定沿杆的方向， 图3 即使教师在教学时再三强调了杆受到的作用力方向不一定沿杆 方向，学生也感到很抽象，难以理解，不好把握，教师对以上 两例的如此讲解，学生至少有以下三个困惑: (1) 例1中杆的作用力N的方向为何沿杆方向，而例2 中杆的作用力N的方向为何又不沿杆的方向, 图4 (2)轻杆插在墙里面与用铰链连在墙上有何区别, (3)用绳子系住杆的B端与在B处装有滑轮有何不同, 先分析第一个困惑: 对例2，学生在理解了轻绳的张力特点后，经过教师的讲解，学 生一般还是可以接受的。对于例1，我们可用如下假设法来进行反证。 假设B端受到的作用力N不沿杆的方向而沿右上方向，如图5 图5 所示，AB杆处于平衡状态，合力必定为零，则A端肯定还受到一 个反方向的作用力F，F与N等大、反向，但不共线，如此两个力的 作用下AB杆受到的力矩代数和不为零，故AB杆不会静止，而是发 生逆时针方向的转动，因此，轻杆只受两个力作用处于平衡状态时， 这两个力必定都沿杆的方向。 图6 再谈谈第二个困惑: 例3:如图6所示，一轻杆A 端固定在墙上，另一端B固定一个重 球而处于静止状态，试分析轻杆的受力情况。 初一看，此杆也只有两端受力，为何B端受到的作用力竖直向下 而不沿杆的方向呢,是乎与上述结论相矛盾。仔细一想，原来是当我们 图7 考虑杆的转动效应时，A端已不能再当作质点处理了，杆的实际受力情 1 况如图7所示。 例4:(2002年天津高考题)如图8所示，AC为竖直墙面，重为G的AB均匀横梁处于水平位置。BC为支撑横梁的轻杆，它与竖直方向的夹角为，A、B、C三处均用铰链连, 接，轻杆所受的力为( ) GGGA、 B、 C、 D、 Gcos,cos,cos,2cos,2 本题关键是判断轻杆BC对AB作用力的方向。以轻杆BC为研究对 象，由于不计杆的重力，且只有B、C两端受力，故B、C两端受力一定 图8 沿杆的方向，否则，能自由转动的BC杆将不能满足力矩平衡。可见，高 考题在A、B、C三处设计为铰链自有它的道理。读者不妨思考一下，若A端或C端固定不能转动，情况将会变得很复杂。在判断了BC杆对AB横梁的作用力方向后，利用力矩平衡很容易求得D正确。 由以上两例可以看出，铰链的作用是可以让杆转动，而杆固定时则不可转动;有铰链时杆的作用力一定沿杆方向(否则，铰链将会拉断)，此时一般会出现力三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形法解题，而杆固定时，固定的一端不一定可以当作质点处理，受力方向也不一定沿杆方向。 例5:如图9所示，绳子a一端固定在杆上C点，另一端通过定滑轮用力拉住，一重物用绳b挂在杆BC上的C点，杆可绕B点转动，杆、绳的质量及摩擦不计，重物处于静止。若将绳子a慢慢放下，则下列说法正确的是( ) A、绳a的拉力F减小，杆的压力F增大 a B、绳a的拉力F增大，杆的压力F增大 a C、绳a的拉力F不变，杆的压力F减小 a D、绳a的拉力F增大，杆的压力F不变 a 使结点C在各个位置处于平衡的三个力中只有绳 图9 图10 b的拉力F(大小等于重力，方向竖直向下)是确定 b 的，另两个力的大小不定、方向变化，但这两个力的方向有依据:绳a的拉力F总沿绳aa收缩的方向，杆BC支持力方向总是沿杆而指向杆恢复形变的方向，那么示这两个力的有向线段与几何线段相关，任意位置时表示三力关系的矢量三角形与表示位置关系的矢量三角形一一对应。 F'如图10所示，自结点C先作表示确定力F的有向线段?，另两个变化力和F的有ba向线段?、?分别平行于杆BC及绳a，且与有向线段?依次首尾相接构成闭合三角形，与该力三角形相似的是几何三角形ABC。C的位置改变时，由于力三角形与几何三角形总相 ,FGFa似，有,,。可由几何边长的变化判定对应力大小的变化关系:随着绳子慢ABBCAC F'慢放下，几何边AC变长、BC不变，则绳a的拉力F增大，杆BC对结点C支持力不a 变，即杆所受压力F不变。正确为选项D。 对于第三个困惑: 实质上是一段绳与两段绳的区别问题。轻杆的一端安装滑轮后，跨在定滑轮两边的轻绳上各点的张力相等，实质上相当于一段绳子，绳中两力的合力方向应沿两力的夹角平分线，而不一定沿杆;而杆的一端用一段绳子在上拉着，在下面用另一段绳子挂一物体时，此时为两段绳子，这两段绳子中的张力一般不相等，但两个力的合力一定沿杆。在一般情况下杆的一端出现了铰链，则不会在另一端出现滑轮。因为当两者同时存在时出现的是一种不稳平衡(只要平衡条件稍微有点变化，平衡状态即被打破)。若两者同时出现，此时滑轮两边的两 2 绳上张力相等，两张力的合力一定沿杆方向。 例6:如图11所示，杆BC的B端用铰链接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好处于平衡。若将绳的A 端沿墙向下移动到点，再使之平衡(BC杆、滑轮、绳的质量及 A' 摩擦均不计)，则( ) A、绳的拉力增大，杆BC受到的压力增大 B、绳的拉力不变，杆BC受到的压力减小 C、绳的拉力不变，杆BC受到的压力增大 图11 D、绳的拉力不变，杆BC受到的压力不变 绳中的张力大小恒等于G的大小，但两绳的夹角减小，故合力增大，即杆中的压力增大，此时合力方向一定沿着杆(注意，此时C点的位置必定发生了变化)，选C。 至此，文章开头的两个模型在学生心中的困惑全解开了，因此，无论是教师的教，还是学生的学，关键点一定都要放在相似模型的不同本质(适应不同的规律)上，挖掘出相似模型的相同点和不同点，只有这样，才能达到教与学的目标。 练习题 1、 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。 一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后挂一质量为 ,m,10kg，ABC,30的重物，，如图12所示，则滑轮受到 2图12 10m/s的作用力为(取)( C ) A、50N B、N C、100N D、N 5031003 2、 如图13所示，AB为一水平轻杆，BC为细绳，G为重物。 关于墙对A端的作用力N的方向与重物的位置关系，正确的是 ( A D ) A、若G系在B点，则N的方向水平向右 B、若G系在B点，则N的方向斜向右上方 C、若G系在AB的中点，则N的方向水平向右 图13 D、若G系在AB的中点，则N的方向斜向右上方 3、 如图14所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置 处于平衡状态，若绳AC加长，使点C缓慢向左移动，杆AB仍 竖直，且处于平衡状态，那么绳AC的拉力T和杆AB所受的压 力N与原来相比，下列说法中正确的是( D ) A、T增大，N减小 B、T减小，N增大 图14 C、T和N均增大 D、T和N均减小 4、如图15所示，绳与杆均不计重力，承受弹力的最大值一定，A端用光滑铰链固定，滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可忽略)，B端吊一重物P，现通过系住杆B端并跨过定滑轮的绳子施一拉力T将B缓慢上提(均未断)，在杆达 到竖直前( B ) A、绳子越来越容易断 B、绳子越来越不容易断 C、杆越来越容易断 D、杆越来越不容易断 图15 3