美国高中数学竞赛

美国高中数学竞赛 篇一:2014年美国高中数学竞赛(AMC12)A卷试 2014年美国高中数学竞赛(AMC12)A卷 篇二:美国数学竞赛真题及 2014年美国高中数学竞赛(AMC12)B卷试题及解答 解答:选C， 设?DHG=?JAG=?KJE=θ， 由KJ=HG=BE=x，JG=BC=1知， JE=xcosθ，JA=sinθ，AG=cosθ，DG=xsinθ， 则有方程组 代入sin2θ+cos2=1可得(x-x2-1)2+(2x-1)2=(x2-1)2， 因式分解得(2x-1)(x2-4x+1)=0， 解得x=2-sqrt(3),2+sqrt(3)或1/2， 舍去x?1/2的解，可知选C. 注:事实上，当x=1/2时JKHG即为AEFD，结论是平凡的. 篇三:2000到2015年美国数学竞赛 2015 美 国 数 学 竞 赛 (十年级 ) 中图分类 号 :G424(79 文献标识码 iA 文章编 号 : 1 1005—6416(2015)07—0026—07 1(计 算 :(2。一1+5 一0) X5的值 为 ( )( (A)一125 (B)一120 (C)25 (D) (E 1 2(箱子 中放有 三角形和正方形 的瓷砖共 25块 ，共有 84条边(则箱 子 中的正 方形 瓷砖 有 ( )块( (A)3 (B)5 (C)7 (D)9 (E)11 3(如 图 l，安琪儿用 18根牙 签拼三 层 楼 梯(照 这样 计 算 ，要 想拼五层楼梯 ，她还需 ( )根 牙签( (A)9 (B)l8 (C)2O (D)22 (E)24 图 1 4(巴勃罗 、索 菲亚 和米 娅在 一次 聚会 上 各分得 一些糖果(巴勃罗 的糖果 数 为索 菲亚 糖果数的 3倍 ，索菲亚的糖果数为米娅糖果 数的 2倍(巴勃罗决定将 自己的糖果分给索 菲亚 和米娅 一部 分 ，这样 三个人 的糖 果数 相 等(则 巴勃 罗分 给索 菲亚 的糖果 数 占 自己原 2 来糖果数 的 ( )( (A) (B1(c1(D) (E)寻 5(帕特里 克先 生是 l5名学 生 的数学 老 师(一次测 验后 他发 现 ，去掉 佩顿 的成绩 ，其 余 人 的平 均 成绩 为 80分 ，加 上 佩顿 的成 绩 后 ，全班的平均成绩为 81分(则在这次考试 中，佩顿的成绩为( )分( (A)81 (B)85 (C)91 (0)94 (E)95 注意到 ， 1 D，1C =90。+_1_ C = C( 于是 ，D、，。、 、C四点共 圆( 则 E= DC，2， CI2F= cD， 故 GEF= EDIl+ DILE = ADI 一 DB + DCIz 1 = ?厶 ( ADC+ BcD)一 ADB， GFE : FCI2+ FlC = BCI2一 + ，( 1 = ?( Dc+ BcD)一 ADB( 从而 ， ? F= G阳 ，得 钮 =G 3 又 GI3平分 AGB，故 上 F( 14(若 一共 有 13个 数 ，则可排列如 下 : a l，a2，a3，? ，a 8，a9， a 2 ，a 3 ，a 4 ，? ，a 9 ，a lo ， a 3 ，a 4 ，a 5 ，? ，a lo ，a l1， 04 ，a5 ，a6，? ，0 11，a 12， U 5 ，a 6 ，a 7 ，? ，a 12 ，a 13? 由已知 ，其 中每行 数 之和 为正 ，从 而 ，数 表中所有数之和为正;另一方面 ，数表中每列 数之和为负 ，从而 ，数表中所有数之和为负( 矛盾(这表明 ，满足要求 的数 串至多有 12项( 考虑如下 的一 串数字 : 一 4、一4、一4、15、一4、一4、一4、一4、15、 一 4、一4、一4， 这串数满足题中要求且有 12项 ，故知满足题 中要求 的 ，的最大值为 12( (张宇鹏 提供 )2015年 第 7期 27 6(已知两个 正数 的 和是差 的 5倍(则 较 大数 与较小数之 比为( )( (A5(B3(c9(D)2(E)詈 7(等差数 列 l3，16，19，? ，70，73中 ，共 有 ( )项( 4 (A)20 (B)21 (C)24 (D)60 (E)61 8(两年前，皮特的年龄为其表弟克莱尔 年龄的 3倍 ;四年前 ，皮特的年龄为克莱尔年 龄的 4倍(( )年后 ，皮特和克莱尔的年 龄 比为 2:1( (A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)8 9(已知两个 圆柱 的体积相 同，第二个圆 柱半径 比第一个 圆柱半径 多 10,(下 列叙述 正确 的为 ( )( (A)第二个圆柱比第一个圆柱低 10, (B)第一个圆柱比第二个圆柱高 10, (c)第二个圆柱 比第一个圆柱低 21, (D)第一个圆柱比第二个圆柱高 21, (E)第二个圆柱的高是第一个圆柱高的 80, 10(对 于字 母 排列 abed，有 ( )种 不 同的重排，使得原来排列 中相邻的两个字母 重排后不 能相邻 (如 ab、ba在重排 后不能 (转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:美国高中数学竞赛)出现 )( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 11(已知矩形的长与宽之比为 4:3，对角 5 线 的长为 d(若 用 |l} 表 示矩 形 的面积 ，则 k 的值为( )( (A)号(B)号(c) (D) (E) 12(已知 A(?7c，a)、B(?7c，b)为 曲线 Y + =2x Y +I_ L的两 不 同点(则 Ia—bI的 值为( )( (A)1 (B)詈 (c)2 (D) (E)1+ 13(克劳迪娅有 5分 和 10分的硬币共 12 枚 ，用这些硬 币 中的一部 分或 者全 部硬 币恰 可以组合成 17种不同的币值(则克劳迪娅有 ( )枚 1O分 的硬 币( (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7 14(钟表 圆盘 的半径 为 2O厘 米 ，它与另 一 个半径为 10厘米 的小 圆盘在 12点位置外 切 ，小 圆盘上有一个 固定指针 ，开始 时指针竖 直指 向上方(当小 圆盘按顺 时针 方 向沿大 表 盘外沿滚 动 ，且始终保持相切 ，直 到小 圆盘 上 的指针再一次竖直指 向上方 时停止(此 时 ，两 圆盘外切 的切点位于大表盘上 的( )点 位 置( (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 (E)8 6 15(考 虑分数 (x,y为两个 互素 的正整 Y 数 )组成的集合(若分子和分母均增加 1，则 分数的值增加 10,(那么，集合 中这样 的分 数有( )个( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)无数多 16(若 Y+4=( 一2)，+4=(Y一2)， 且 x#y，则 + 的值为( )( (A)10 (B)15 (C)20 (D)25 (E)30 17(一条经过坐标原点 的直线，与直线 = 1、Y=1+ 围成一个等边三角形(则这 个等边三角形 的周长为( )( (A)2(,6 (B)2+2,3 (c)6 (D)3+2?3 (E)6+ 18(已知十六进制数是 由 O一9十个数码 和 A至 F六个字母构成的，其中，A，B，?，F 分别代表 1O，11，?，15(在前 1000个正整数 中，找出所有只用数码表示的十六进制数(求 出这些数的个数 n，此时，凡的各位数码之和 为 ( )( (A)17 (B)18 (C)19 (D)20 (E)21 7 19(在等腰 Rt? ABC中，已知 BC=AC，28 中 等 数 学 C=90。，面积为 l2(5， ACB的三等分线 分别 与斜边 AB交 于点 D、E(则 ? CDE的面 积 为( )( (A) (B) (c)学 (D) (E)25 2O(一个矩形 的长和宽均为正整数 ，面积 为 A平 方 厘米 ，周 长为 P厘 米(则下 面不 可 能为 +P的数是( )( (A)100 (B)102 (C)104 (D)106 (E)108 21-在四面体 ABCD中，已知 AB=5，AC : 3，曰c:4，j5}D:-4，AD:3，cD: (贝0四 面体 ABCD的体积为( )( (A)3?2 (B)2,3 (c)3?3 (D)24 、 (E)半 22(八人围坐在一张圆桌旁 ，每人面前放 着一枚完全相 同的硬币，所有人同时翻转 自 己的硬币(若硬币的头像朝上 ，则这个人站起 来 ;若硬币的头像朝下 ，则这个人继续坐着( 那么 ，没 有 相 邻 的两 人 站 起 来 的概 率 为 8 ( )( (A 47 (B 3 (c) (D 25 (E) 23(若 函数 )= 一 +2口的零点为 整数 ，则系数 a的所有可能值之和为( )( (A)7 (B)8 (C)16 (D)17 (E)18 24(已知四边形 ABCD各边长均为正整 数 ，周长为 P， B与 C均为直角 ，AB=2， CD=AD(若 P<2015，则正整数 P有 ( ) 个 不 同的可能值( (A)30 (B)31 (C)61 (D)62 (E)63 25(设 是边 长 为 1的正方 形 ，在 U的 边上任取两 点 ，这 两点 的距离 不小 于 的概 率为 (a,b、c? Z+，(0，bre):1)(则 口 +b+c的值为( )( (A)59 (B)60 (C)61 (D)62 (E)63 参 考 答 案 1(E( (2。一1+5一。 ×5=去×5=( 2(D( 设箱子 中有 a块 三 角 形 瓷砖 ，b块 正 方 形瓷砖( 9 依题意得 f{I3，a，0 ++b 4 = b 2=5 8,4 (、a，(b，)):=(16，(9一)( 3(D( 如图 2，注意到 ，拼一 层楼梯需要 4根牙签 ;拼 两层楼梯需 要 1O根牙 签 ， 增加 6根 ;拼三层楼梯需 要 18根牙签，增加 8根( 于是，增加的牙签数成等 差数列(从而，要拼 5层楼 图2 梯 ，需要增加 1O+12=22根牙签( 4(B( 设米娅的糖果数为 m(于是，索菲亚的糖 果数 为 2m，巴勃罗 的糖果数 为 6m( 若三人的糖果数一样多，则每人应有糖 果数 :3m( 10 因此 ，巴勃罗要给索菲亚 m块糖果 ，给 米 娅 2m块糖果( 从而，巴勃罗给索菲亚 的糖果数 占自己 原来糖果数的0m=?0( 5(E( 】5×81一 】4 ×80 :1215 1 120 :95(2015年第 7期 29 设这两个正数为 0、6(0b)( 由题意得口+6=5(口一6) 詈=吾( 注意到 ，该等差数列的首列为 13，公差 为 3，末项为 73(故其项数为 +1:21( 设两年前皮特的年龄为 3 ，克莱尔的年 龄为 ;年后，皮特与克莱尔的年龄之 比为 则 由题意知 匿【 + ? 2+ ? Y 一一 1 i:4( 所以，4年后皮特与克莱尔的年龄之 比 设第一个圆柱半径为 ，(，第二个圆柱半 11 12