[高二数学]等差数列、等比数列的概念及求和高考题

问题的能力以及创新能力。 222acb，,2 (1)考虑到结构要证，;类似勾股数进行拼凑。 2221,5,7证明:考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 2222222abc，，bacb,,,证明:当成等差数列，则， nnnnnnn 第6页 星光鱼教育 ()()()()babacbcb，,,，,分解得: nnnnnnnn 24(1)nn,选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解 22224(1)(22)(22)(22)(22)nnnnnnnn,,,，,,，4(1)nn, 2,ann,,,21n,2对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， bnn,，,1(4),n2,cnn,，,21n, 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数m，n，若??相似:则三边对应成比例m，n222mmmmm,,，，,21121， ,,222nnnnn,,，，,21121 mm,，11由比例的性质得:，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 ,,,mnnn,，11 5.(2010安徽文)(21)(本小题满分13分) CCC,,,,设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线x12n 3CC相切，对每一个正整数,圆都与圆相互yx,nnn，13 rC{}r外切，以表示的半径，已知为递增数列. nnn {}r(?)证明:为等比数列; n nr,1(?)设，求数列的前项和. {}n1rn 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括 能力以及推理论证能力. C(,0),2r,,【解题指导】(1)求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得nnnn 第7页 星光鱼教育 ,2rr,{}r，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中nn，，11n，1n nr{}r{}r与的关系，证明为等比数列;(2)利用(1)的结论求的通项公式，代入数列，nnnrn然后用错位相减法求和. 331x,sin,解:(1)将直线y=的倾斜角记为,则有tan=,,,332 r1nC2r设的圆心为(，0)，则由题意得知，得;同理,,,,nnnn2,n 2rrr2r2r,,，，,,，从而，将代入，n+1n+1n+1nnn+1n+1nn,,,, 解得r3r,n+1n rq3故为公比的等比数列。,n nn11n,,r1q3r3n*3()由于，，故，从而，,,,,,nnrn 12n.....记S,，，，,则有nrrr12n ,,,121nn12*33*3......*3S,，，，n S,,,,121nnnnn1*32*3......(1)*3*3,，，，,，3 ??,,得 2S,,,,121nnnn133...3*3,，，，，,3 ,n 1333,,,nnnn*3()*3,,,,,，222 3 1,nn9139(23)*3,，1,nSn()*3？,,，,n4224 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关 aa于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通nn，1 项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 S的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决. n 6.(2010重庆文)(16)(本小题满分13分，(?)小问6分，(?)小问7分. ) 第8页 星光鱼教育 Saa已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. n,,,,nnn aS(?)求通项及; nn ba,b(?)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n,,,,nnn T项和. n 7.(2010浙江文)(19)(本题满分14分)设a，d为实数，首项为a，公差为d的等差数11 SS列{a}的前n项和为S，满足+15=0。 nn56 SS(?)若=5，求及a; 156 (?)求d的取值范围。 8.(2010北京文)(16)(本小题共13分) 第9页 星光鱼教育 ||aa,,6a,0已知为等差数列，且，。 n36 ||a(?)求的通项公式; n ||bb,,8baaa,，，||b(?)若等差数列满足，，求的前n项和公式 n12123n d{}a解:(?)设等差数列的公差。 n aa,,,6,0 因为 36 ad，,,26,1ad,,,10,2 所以 解得 ,1ad，,501, ann,,，,,,,10(1)2212所以 n {}bq (?)设等比数列的公比为 n baaab,，，,,,,24,8 因为 2123 ,,,824qq所以 即=3 nbq(1),n1{}b所以的前项和公式为 S,,,4(13)nnn1,q9.(2010四川理)(21)(本小题满分12分) *已知数列{a}满足a,0，a,2，且对任意m、n?N都有 n12 2a，a,2a，2(m,n) 2m,12n,1m，n,1 (?)求a，a; 35 *(?)设b,a,a(n?N)，证明:{b}是等差数列; n2n，12n,1n ,1*n(?)设c,(a,a)q(q?0，n?N)，求数列{c}的前n项和S. n+1nnnn 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意，零m,2,n,1,可得a,2a,a，2,6 321 再令m,3,n,1，可得a,2a,a，8,20„„„„„„„„„„„„2分 531 *(2)当n?N 时，由已知(以n，2代替m)可得 第10页 星光鱼教育 a，a,2a，8 2n，32n,12n，1 [,],(,),8 于是aaaa2(n，1)，12(n，1),12n，12n,1即 b,b,8 ，1nn 所以{}是公差为8的等差数列„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 bn (3)由(1)(2)解答可知{b}是首项为b,a,a,6,公差为8的等差数列 131n 则b,8n,2，即a,a,8n,2 2+=12,1nnn 另由已知(令m,1)可得 aa，2211n，a,-(n,1). n2 aa，2121nn，,那么a,a,,2n，1 n，1n2 82n, ,,2n，1 2 ,2n n,1于是c,2nq. n 当q,1时，S,2，4，6，„„，2n,n(n，1) n 012n,1当q?1时，S,2?q，4?q，6?q，„„，2n?q. n 两边同乘以q，可得 123n qS,2?q，4?q，6?q，„„，2n?q. n 上述两式相减得 2n,1n (1,q)S,2(1，q，q，„„，q),2nqn n1,qn ,2?,2nq 1,q nn，11(1),，，nqnq ,2? 1,q nn，1nqnq,，，(1)1所以S,2? n2(1)q, nnq(1)(1)，,, ,nn，1综上所述，S,„„„„„„„„„„12分 nnqnq,，，(1)1,2(1)q,2,(1)q,, 第11页 星光鱼教育 10.(2010全国卷1理)(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((((((( 1a已知数列中， . aac,,,1,,,n11n，an 51b(?)设，求数列的通项公式; cb,,,,,nna,22n aa,,3(?)求使不等式成立的的取值范围 . cnn，1 11.(2010山东理)(18)(本小题满分12分) a,7aa，,26Saa已知等差数列满足:，，的前n项和为( ,,,,357nnn 第12页 星光鱼教育 aS(?)求及; nn 1*Tb(?)令b=(nN)，求数列的前n项和( ,n,,nn2a,1n a,7aa，,26a的公差为d，因为，，所以有 【解析】(?)设等差数列,,357n ad，,27,1ad,,3,2，解得， ,121026ad，,,1 n(n-1)2n+2nan,，,321)=2n+1(S所以;==。 3n+2，nn2 1111111a,2n+1(?)由(?)知，所以b===， ,=n,(-)n22a,4n(n+1)(2n+1)1,14nn+1n n11111111T所以==， ,,(1-+++-),(1-)=n4(n+1)4223nn+14n+1 nTb即数列的前n项和=。 ,,nn4(n+1) 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2009年高考题 一、选择题 2{a}aaaaa1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且?=2，=1，则= n39125 212A. B. C. D.2 22 【答案】B 22284qq,2{a}aqaqaq,,2【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公，，n111 第13页 星光鱼教育 a122比为正数，所以q,2,故,选B a,,,1q22 2.(2009安徽卷文)已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 daa,,,,2aaa，，,1053105a,a,35a,33【解析】?即?同理可得?公差?13533443aad,，,，,(204)1.选B。 204 【答案】B {}aSaaa与3.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中nnn437 S,32S项, ,则等于 810 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 22230ad，,aaa,(3)(2)(6)adadad，,，，【解析】由得得,再由1437111 56da,,,2,3278ad，,得 则,所以Sad,，,83211812 90,.故选C Sad,，,10601012 a,11Sa,3Sa4.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n项和，已知，，则等于,,6n27n ( ) A(13 B(35 C(49 D( 63 7()7()aaaa，，7(311)，1726【解析】故选C. S,,,,49.7222 aad,，,3a,1,,211a,，，,16213.,或由, ,,7aad,，,511d,2,61, 7()aa，7(113)，17 所以故选C. S,,,49.722 {}aSaS5.(2009福建卷理)等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 n31n 第14页 星光鱼教育 5A(1 B C.- 2 D 3 3 【答案】:C 3aada,，？2 =4 d=2[解析]?且.故选C Saa,,，6()3113132 aaaa6.(2009辽宁卷文)已知为等差数列，且,2,,1, ,0,则公差d, ,,743n 11A.,2 B., C. D.2 22 1【解析】a,2a,a，4d,2(a，d),2d,,1 , d,, 74332【答案】B aaaaa7.(2009四川卷文)等差数列,,的公差不为零，首项,1，是和的等比中n2151项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 2dd(1，d),1,(1，4d)dS【解析】设公差为，则.??0，解得,2，?,100 10 2Saaaa，,,08.(2009宁夏海南卷文)等差数列的前n项和为，已知，,,nnmmm,，11S,38,则 m,21m, A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C 2aaaaa，,2aaa，,,0【解析】因为是等差数列，所以，，由，得:2,,mnmmm,，11mmm,，11 (21)()m,a，a212m,1S,38aa,,0，所以，,2，又，即,38，即(2m,1)×2m21m,m2,38，解得m,10，故选.C。 a,2aaa,,a9..(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则,,1136n Sa的前项和=( ) n,,nn 第15页 星光鱼教育 222nn7nn5nn32nn，A( B( C( D( ，，，443324 【答案】A 1(22)22(25)，,,，dd{}ad【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或d,n2 2nnnn(1)17,d,0{}a(舍去)，所以数列的前项和 Sn,，，,，2nnn2244二、填空题 aaa，，SS,72a10.(2009全国卷?理) 设等差数列的前项和为，若,则= n,,249n9n 答案 24 ？,Sa9,aS,72a,8解析 是等差数列,由,得 ,,9595n aaaaaaaaaa，，,，，,，，,,()()324. ？2492945645 1S4{}aS11.(2009浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则 ( q,,nnn2a4答案:15 44aqs(1),1,q314解析 对于saaq,,？,,,,1544131(1),,qaqq4 ,{}aa,aaanN,,,1,2()12.(2009北京文)若数列满足:，则 ;n11nn5， S,前8项的和 .(用数字作答) 8 答案 225 .解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运 算的考查. aaaaaaaaa,,,,,,,,1,22,24,28,216， 121324354 821,易知，?应填255. S,,255821, a,1,s,4sasa13.(2009全国卷?文)设等比数列{}的前n项和为。若，则= × 163nn4 第16页 星光鱼教育 答案:3 33a,1,s,4s解析:本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q=3故a=aq=3 41163 S9aa,5Sa14.(2009全国卷?理)设等差数列的前项和为，若则 ,n,,53nnS5 Sa995a解析 为等差数列，？,,9,,nSa553 答案 9 S655,SS,,a,a15.(2009辽宁卷理)等差数列的前项和为，且则 n,,n534n 1解析 ?S,na，n(n,1)d n12 ?S,5a，10d,S,3a，3d 5131 ?6S,5S,30a，60d,(15a，15d),15a，45d,15(a，3d),15a5311114 1答案 3 三、解答题 2*S{}akSknn,，nN,16.(2009浙江文)设为数列的前项和，，，其中是常数( nnnn aa (I) 求及; 1n *aaamN,k (II)若对于任意的，，，成等比数列，求的值( m2m4m n,1,a,S,k，1解(?)当， 11 22n,2,a,S,S,kn，n,[k(n,1)，(n,1)],2kn,k，1() ,nnn,1 n,1,？a,2kn,k，1 经验，()式成立， ,n 2？a,a,a？a,a.a(?)成等比数列，， m2m4m2mm4m 2mk(k,1),0(4km,k，1),(2km,k，1)(8km,k，1)即，整理得:， m,N,？k,0或k,1对任意的成立， ,{}b{}aapnqnNP,，,,(,0)17.(2009北京文)设数列的通项公式为. 数列定义nnn bam,如下:对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值. mn 第17页 星光鱼教育 11b(?)若，求; pq,,,,323 pq,,,2,1{}b(?)若，求数列的前2项和公式; mm ,bmmN,，,32()(?)是否存在p和q，使得,如果存在，求p和q的取值范围;如m 果不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法(本题是数列与不等式综合的较难层次题. 111120解(?)由题意，得，解，得. an,,n,n,,3n32323 11b,7?成立的所有n中的最小整数为7，即. n,,3323 an,,21(?)由题意，得， n m，1am,对于正整数，由，得. n,n2 b根据的定义可知 m **mk,,21bkkN,,mk,2bkkN,，,1当时，;当时，. ，，，，mm bbbbbbbbb，，，,，，，，，，，? ，，，，1221321242mmm, ,，，，，，，，，，，1232341mm，，，，，，，， mmmm，，13，，，，2. ,，,，mm222 mq,pnqm，,p,0(?)假设存在p和q满足条件，由不等式及得. n,p ,bbmmN,，,32()?,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 mm mq,,,,,,,,231pqpmpq3132mm，,,，，即对任意的正整数m都成立. ，，p pq，2pq，310p,,310p,,m,, 当(或)时，得(或)， m,,31p,31p, 第18页 星光鱼教育 这与上述结论矛盾～ 12121310p,,当，即时，得，解得. p,,,,,,,qq0,,,,q33333 ,bmmN,，,32()? 存在p和q，使得; m 121p和q的取值范围分别是，.. p,,,,,q333 ，aS(,)nSnN,18.(2009山东卷文)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，nnn xbbr,1,,ybrb,，,(0均在函数且均为常数)的图像上. (1)求r的值; n，1，{}bT(11)当b=2时，记 求数列的前项和 bnN,,()nnnn4an ，xbbr,1,,ybrb,，,(0nN,(,)nS解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图n nSbr,，像上.所以得, n n,1aSbr,,，当时,, 11 nnnnn,,,111n,2aSSbrbrbbbb,,,，,，,,,,()(1)当时,, nnn,1 n,1r,,1ababb,,(1)又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 nn nnn，，，111nn,,11abb,,,(1)2(2)当b=2时，, b,,,nnnn,，114422a，n 2341n，则 T,，，，，n2341n，2222 12341nn， T,，，，，，n34512，，nn222222 1211111n，相减,得 T,，，，，，,n234512，，nn2222222 11，,(1)31n,311n，n，1122 ,,,，,nn，，12n，2142222,12 31133nn，，所以 T,,,,,n，，11nnn22222 第19页 星光鱼教育 Sa【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并nn T运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和. nn aa,,16,a，a,0,aa19.(2009全国卷?文)已知等差数列{}中，求{}前n项n3746ns和. n 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 a解:设的公差为，则 d,,n ,，，,,adad2616，，，，,11 ,adad，，，,350,11, 22,adad，，,,8121611即 ,ad,,4,1 aa,,,8,8,,11解得 或,,dd,,,2,2,, SnnnnnSnnnnn,,，,,,,,,,,,819819，或因此 ，，，，，，，，nn 20.(2009安徽卷文)已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和 (?)求数列{}与{}的通项公式; (?)设，证明:当且仅当n?3时，, an (1) ,,1ab和【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在a,,nnssn,, (2)nn,1, ab和c求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。 nnn as,,4【解析】(1)由于 11 22*n,2assnnnnn,,,，,,，,,(22)[2(1)2(1)]4？,,annN4()当时, nnn,m1 第20页 星光鱼教育 xn,bTTb,,,,,,(26)(2)？,2bb又当时 nnnmm,,11nn,1 11n,1b数列项与等比数列,其首项为1,公比为 ？,b？(),,nn22 12(1)1n，,n，,16(1)()21Cn，(1)221n,n，12(2)由(1)知 Cabn,,,,16()？,,11n21Cn2221n,nn,16()2 2C(1)n，2n，1n,3nnn,,,？,，21012由即即 ,,11得2Cnn C(1)2n，n，1n,3C,0又时成立,即由于恒成立. ,1,1n22nCn n,3CC,因此,当且仅当时, nn，1 nn,,222{}aS21.(2009江西卷文)数列的通项，其前n项和为. ,,(cossin)annnn33S(1) 求; n S3nbT(2) 求数列,,的前n项和. ,b,nnnn4n, nnn,,,222解: (1) 由于,故 ,,cossincos333 Saaaaaaaaa,，，，，，，，，，()()()312345632313kkkk,,222222 1245(32)(31)，，,，,kk222,,，，,，，，,，(3)(6)((3)))k222 1331185(94)kkk,，, ,，，，,2222 kk(49), SSa,,,,3133kkk,2 2kkkk(49)(31)1321,,, SSak,,,，,,,,,,kkk,,,32313122236 第21页 星光鱼教育 n1,,,,,,32nk,36,(1)(13)nn，,,*kN,故 () Snk,,,,31,n6, nn(34)，,,3nk,,6, S94n，3n(2) b,,,nnnn,,424 1132294n， T,，，，[],n2n2444 12294n， 4[13],T,，，，n,1n244 两式相减得 99,nnnn，，199941941944 T,，，，,,，,,,,3[13][13]8,n,,，12321nnnnn124442422,14 813n故 ,,,T.n2321,，nn,3322 n,1{a}S,a，aq，？，aq22. (2009天津卷文)已知等差数列的公差d不为0，设 nn12n n,1n,1*T,a,aq，？，(,1)aq,q,0,n,N n12n q,1,a,1,S,15{a}(?)若 ,求数列的通项公式; 13n a,d,且S,S,S(?)若成等比数列，求q的值。 1123 2n2dq(1,q)*(?)若 q,,1,证明(1,q)S,(1，q)T,,n,N22nn21,q 2S,a，(a，d)q，(a，2d)q,将q,1,a,1,S,15(1)解:由题设， 311113 d,4n,N*a,4n,3代入解得，所以 n 2a,d,S,d,S,d，2dq,S,d，2dq，3dq,？S,S,S(2)解:当成等比数列，1123123 222d,0q,,2(d，2dq),d(d，2dq，3dq)S,SS所以，即，注意到，整理得 213 n,1b,q(3)证明:由题设，可得，则 n 第22页 星光鱼教育 22n,1S,a，aq，aq，？aq ? 2n1232n 22n,1T,a,aq，aq,？,aq ? 2n1232n ?-?得， 32n,1S,T,2(aq，aq，？，aq) 2n2n242n ?+?得， 22n,2S，T,2(aq，aq，？，aq) ? 2n2n132n,1 22n,2q(S，T),2(aq，aq，？，aq)?式两边同乘以 q，得 2n2n132n,1 2n2dq(1,q)321,n所以 (1,q)S,(1，q)T,2d(q，q，，q),？22nn21,q c,c,(a,a)b，(a,a)b，(a,a)b(3)证明: 12kl1kl2kln1122nn1 n,1(k,l)db，(k,l)dbq，？，(k,l)dbq= 111221nn1 d,0,b,0因为，所以 1 c,cn,112 ,(k,l)，(k,l)q，？，(k,l)q1122nndb1 k,l若，取i=n， nn i，1,j,nk,lk,lk,l若，取i满足，且， nniijj 1,i,n由(1)(2)及题设知，，且 c,cn,112 ,(k,l)，(k,l)q，？，(k,l)q1122nndb1 q,nk,l,,1k,l,q,1,i,1,2？,i,1k,l? 当时，，由， iiiiii i,2i,2k,l,q,1(k,l)q,q(q,1),？(k,l)q,q(q,1)即， 1122i,1i,1 i,1c,c1,qi,2i,1i,112所以 ,(q,1)，(q,1)q，？，(q,1)q,q,(q,1),q,,1db1,q1 第23页 星光鱼教育 c,c,0因此 12 c,c12k,lc,c,0时，同理可得因此 ? 当,,1,ii12db1 c,c综上， 12 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本 知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 S,{}aa,1,Sa,，4223. (2009全国卷?理)设数列的前项和为 已知 nnn1nn，1 baa,,2{}b(I)设，证明数列是等比数列 nnn，1n {}a(II)求数列的通项公式。 n aabaa,，,？,,,325,23a,1,Sa,，42aaa，,，42,解:(I)由及，有 211211nn，1121 n,2Sa,，42Sa,，42由，(((? 则当时，有(((((? nn，1nn,1 aaaaaaa,,？,,,44,22(2)?,?得 nnnnnnn，,，,1111 b,3baa,,2？,bb2？{}b又，是首项，公比为,的等比数列( 1nnn，1nn,1n aa3n,1nn，1baa,,,,232(II)由(I)可得， ？,,nnn，1nn，1224 a13n数列是首项为，公差为的等比数列( {}？n242 a1331n,2nan,,,(31)2， ？,，,,,(1)nnnn22444 bb与的关系即可评析:第(I)问思路明确，只需利用已知条件寻找( nn,1 n,1aa,,,232第(II)问中由(I)易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型:nn，1 nn，1qapaqpq,，(,为常数)，主要的处理手段是两边除以( ，1nn 总体来说，09年高考理科数学全国I、?这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列 (全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法)，一改往年的将数列结合不等式放缩 第24页 星光鱼教育 法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本 技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 asSSS24. (2009辽宁卷文)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 nn132 a(1)求{}的公比q; n aas(2)求,,3，求 13n 解:(?)依题意有 2a，(a，aq),2(a，aq，aq) 111111 a,0 由于 ，故 1 22q，q,0 1q,0 又，从而q,, 5分 2 12 (?)由已知可得 a,a(,),3112 a,4 故 1 1n41,,(())81n2 从而 10分 S,,1,,(())n1321,,()2 aa，*nn，1a}25. (2009陕西卷文)已知数列满足， . ,,12,,aaanN,,,n’，2n122 {}b,baa,,令，证明:是等比数列; ，，nnnn，1 a} (?)求的通项公式。 ,n baa,,,1,(1)证 121 aa，11nn,1n,2当时， baaaaab,,,,,,,,,()nnnnnnn，,,111,222 1b所以是以1为首项，为公比的等比数列。 ,,,n2 1n,1(2)解由(1)知 baa,,,,(),nnn，12 第25页 星光鱼教育 11n,2n,2aaaaaaaa,，,，,，，,()()()当时， ,，，,，，,11()()nnn121321,22 1n,1,,1()21521n,2n,12 ,，,,,,,,，1[1()](),1132332,,1()2 52111,n,1当时，。 ,,,,()1a1332 521n,1*。 所以anN,,,,()()n332 26.(2009湖北卷文)已知{a}是一个公差大于0的等差数列， n 且满足aa,55, a+a,16. 3627 (?)求数列{a}的通项公式: n bbbb312n(?)若数列{a}和数列{b}满足等式:a,，求数列，，，...(n为正整数)nnn,n232222 {b}的前n项和S nn a解(1)解:设等差数列的公差为d，则依题设d>0 ,,n 2716ad，,由a+a,16.得 ? 271 (2)(5)55adad，，,aa,,55,由得 ? 1136 2(163)(163)220,，,dd2167ad,,2569220,,d由?得将其代入?得。即 1 2？,,？,,ddd4,0,2,1又代入得?a1 ？,，,,,,ann1(1)221n bn(2)令 ,,，，，,，，，,,则有cacccaccc121121，,nnnnnn2 aacaaa,,,,,,(1)1,2由得nnnnn，，，1111 n，1两式相减得 ？,,,,,,,ccnnbba2,2(2),2222即当时，又当n=1时，nnn，111 2,(1)n,,？,b,nn，12(2)n,, 341n，Sbbbb,，，，,，，，，2222于是 nn123 第26页 星光鱼教育 n，12(21),2341n，nn，，2222222，，，，，=-4=S,,,,,426,26即n21, aa,,2,16{}a27. (2009福建卷文)等比数列中，已知 14n {}a (I)求数列的通项公式; n {}b{}baa, (?)若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前nnn35 S项和。 n q{}a解:(I)设的公比为 n 3q,2162,q由已知得，解得 b,8b,32a,8a,32(?)由(I)得，，则， 3525 bd，,28b,,16,,11{}bd 设的公差为，则有解得 ,,nbd，,432d,12,,1 bnn,,，,,,1612(1)1228 从而 n nn(161228),，,2{}b 所以数列的前项和 Snn,,,622nnn2 28(2009重庆卷文)(本小题满分12分，(?)问3分，(?)问4分，(?)问5分) a,n1，已知( ,,,，,,1,4,4,,aaaaabnN1221nnnn，，anbbb,,(?)求的值; 123 cbbS,,Sn,17c(?)设为数列的前项和，求证:; n,,nnnn，1nn 11(?)求证:( bb,,2nn,n26417 1772aaa,,,4,17,72解:(?)，所以 bbb,,,4.,234123417 aa1nn，2aaa,，4(?)由得即 ,，4b,，4nnn，，21n，1baannn，，11 n?2cbbcbbbn,,,,，,,17,4117(2)?b,4所以当时，于是 1121nnnn，n 第27页 星光鱼教育 Scccn,，，，,17所以 nn12 117n,1(?)当时，结论成立 bb,,,21464 bb,111nn,1n?2当时，有 bbbb,,，,,,,|44|||||?nnnn，,1117bbbbnnnn,,11 1111 ????bbbbn,,,||||(2)nn,,1221212nn,,17176417 bbbbbbbb,,，,，，,?所以 2121221nnnnnnnn，，，, 11n,1,()(1)n1111111，，nnn,,122*1717 nN，，，,,,()()()()n,2,,1417171746417，，,117 2005—2008年高考题 一、选择题 {}aS,25a,3a,1.(2008天津)若等差数列的前5项和，且，则( ) n527A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B aa，,28{}aaa，,4S2.(2008陕西)已知是等差数列，，，则该数列前10项和78n1210 等于( ) A(64 B(100 C(110 D(120 答案 B 1{}aSS,20S,3.(2008广东)记等差数列的前项和为，若，，则( ) a,nnn4612A(16 B(24 C(36 D(48 答案 D 1,,aa，aa，？，aaa24.(2008浙江)已知是等比数列，，则=a,，a,n1223nn，1254( ) 第28页 星光鱼教育 ,n,n1,41,2A.16() B.6() 3232,n,n1,41,2C.() D.() 33 答案 C a,1aS5.(2008四川)已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是() ，，23n ,,,,1,,，,,01,A. B. ，，，，，, 3,，,,,,，,,13,C. D. ，，，,,, 答案 D 6.(2008福建)设,a,是公比为正数的等比数列，若n=7,a=16,则数列,a,前7项的和n15n为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.(2007重庆)在等比数列{a}中，a,8，a,64，，则公比q为( ) n25 A(2 B(3 C(4 D(8 答案 A ,,Sa,1,a,3,则S,a8.(2007安徽)等差数列的前项和为若( ) nnx234A(12 B(10 C(8 D(6 答案 B aaa，，,{}aSS,9S,369.(2007辽宁)设等差数列的前项和为，若，，则n789nn36( ) A(63 B(45 C(36 D(27 答案 B 1n,N*a,1{}a10.(2007湖南) 在等比数列()中，若，，则该数列的前10项a,1n48和为( ) 1111A( B( C( D( 2,2,2,2,4210112222 第29页 星光鱼教育 答案 B {}bB{}a11.(2007湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且nnnnnAa745n，nn，则使得为整数的正整数的个数是( ) n,bBn，3nn A(2 B(3 C(4 D(5 答案 D 2abcd，，，()bc，yxx,,，2312.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则ad等于( ) ,2A(3 B(2 C(1 D( 答案 D 13.(2007四川)等差数列{a}中，a=1,a+a=14，其前n项和S=100,则n=( ) n135n A(9 B(10 C(11 D(12 答案 B abc,,cab,,14.(2006湖北)若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且abc，，,310a,，则 A(4 B(2 C(,2 D(,4 答案 D abc,,abc，，,310解析 由互不相等的实数成等差数列可设a,b,d，c,b，d，由可得 cab,,b,2，所以a,2,d，c,2，d，又成等比数列可得d,6，所以a,,4，选D a，a,16,a,1,则a{a}15.(2005福建)已知等差数列中，的值是 ( ) n79412 A(15 B(30 C(31 D(64 答案 A 16.(2005江苏卷)在各项都为正数的等比数列,a,中，首项a=3，前三项和为21，则n1 a+ a+ a=( ) 345 A .33 B. 72 C. 84 D .189 答案 C 第30页 星光鱼教育 二、填空题 aSSS,,10,15a17.(2008四川)设等差数列的前项和为，若，则的最大值为n,,n454n ______. 答案 4 2008重庆)设=是等差数列{}的前项和，=-8,=-9,则= . 18.(SanaSSnn12916答案 -72 3SSS2Saa19.(2007全国I) 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则n,,,,3n12nn 的公比为 ( 1答案 3 S,21aaaa，，，,Sa20.(2007江西)已知等差数列的前项和为，若，则n,,1225811nn ( 答案 7 2aSnnn,,,10(123)，，，21.(2007北京)若数列的前项和，则此数列的通项公n,,nn na式为 ;数列中数值最小的项是第 项( ,,n 211n,答案 ,,a,1,a,2a.n,1a22.(2006湖南)数列满足:，2，3„.则n1n，1na，a，？，a,12n . n2,1答案 aaan,,,1,2, 1,,a11nn，n解析 数列满足: ，2，3„，该数列为公比为2的等比数列， n21,na，a，？，a,,,2112n? . 21, 三、解答题 nbabS,,,21aS23.(2008四川卷)( 设数列的前项和为，已知 n,,，，nnnn n,1b,2an,,2(?)证明:当时，是等比数列; ,,n 第31页 星光鱼教育 a(?)求的通项公式 ,,n nbabS,,,21a,2解 由题意知，且 ，，1nn n，1babS,,,21 ，，nn，，11 nbaaba,,,,21两式相减得 ，，，，，，11nnn n ? 即aba,，2，1nn nb,2(?)当时，由?知 aa,，22，1nn nnnanan,，,,，,，,122212于是 ，，，，，1nn n,1,,,22an ，，n n,1n,1an,,2又a,,,,1210，所以是首项为1，公比为2的等比数列。 ,,1n n,1nn,,11b,2an,，12an,,,22(?)当时，由(?)知，即 ，，nn b,2 当时，由由?得 11nnn，，11 aba,,,，,,222nn，1,,bb22 bn 2,,,ban2,b 1,,n ,,,ba2,,n,b2,, 11,,nn，1因此 aba,,,,,,22nn，1,,bb,,22,, 21,b，，n ,,b2,b 21n,,,得 a,1,nnn,1，，2222，,,bbn，，,，，2,b, {}b{}aaS24.(2008江西卷)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等nnnnn 第32页 星光鱼教育 ab,,3,1bS,64{}b比数列，且，数列是公比为64的等比数列，. 1122an ab,(1)求; nn 1113(2)求证. ，，，,SSS412n dd{}bq{}a解:(1)设的公差为，的公比为，则为正整数， nn n,1and,，,3(1)bq,， nn 3，ndb,qad6n，1642,,,,q,3(1)，,ndbq依题意有? ,an,(6)64,，,Sbdq,22 (6)64，,dqqd1,2,3,66由知为正有理数，故为的因子之一， dq,,2,8解?得 n,1annb,，,,，,32(1)21,8故 nn Snnn,，，，，,，35(21)(2)(2) n 1111111?，，，,，，，， SSSnn，，，，132435(2)12n 11111111 ,,，,，,，，,(1)2324352nn，11113 ,，,,,(1)22124nn，， {}b{}a25..(2008湖北).已知数列和满足: nn 2na,,,,其中为实数，为正整数. aanban,，,,,,，4,(1)(321),n1，1nnnn3 ,{}a(?)对任意实数，证明数列不是等比数列; n {}b(?)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论; n 0,,ab{}b,S(?)设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都nnnn 有 第33页 星光鱼教育 aSb,,,?若存在，求的取值范围;若不存在，说明理由. n 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想， 考查综合分析问题的能力和推理认证能力，(满分14分) 2(?)证明:假设存在一个实数λ，使,a,是等比数列，则有a=aa,即 213n 2444222矛盾. (,,3),,(,,4),,,4,，9,,,4,,9,0,3999所以,a,不是等比数列. n 2n+1n+1=(-1),-3(-1)+21,=(-1)(-2+14) (?)解:因为banann+1n+1n3 22n(-1)?(-3+21)=-=anbnn 33 又bx-(λ+18),所以 1 +当λ,,18，=0(?N),此时,,不是等比数列: bnbnn b2+a，1当λ?,18时，b=(λ+18) ?0,由上可知b?0，?(n?N). ,,1nb3n 2故当λ?-18时，数列,b,是以,(λ，18)为首项，,为公比的等比数列. n3(?)由(?)知，当λ=-18,b=0,S=0,不满足题目要求. nn 2n-1?λ?-18，故知b= -(λ+18)?(,)，于是可得 n3 32，，nS=- (,，18)?　1,(,).n,,53，， 要使a3存在实数λ，使得对任意正整数,都有<<2. 当banaSn 126.(2005北京)数列{}的前项和为，且=1，，=1，2，3，„„，求 anSanaS,nn1nn，13 (I)a，a，a的值及数列{a}的通项公式; 234n aaaa，，，， (II)的值. 2462n 1解:(I)由a=1，，n=1，2，3，„„，得 aS,1nn，13 1111141116，，， aSa,,,aSaa,,，,()aSaaa,,，，,()2113212431233333393327 114由(n?2)，得(n?2)， aaSSa,,,,aa,()nnnnn，,11nn，1333 114n,2又a=，所以a=(n?2), 2n()333 11n,,,? 数列{a}的通项公式为 a,n14,nn,2()2n?,33, a,a,aa27.(2005福建)已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列. n132 (?)求q的值; b(?)设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S，当n?2时，比较nn S与b的大小，并说明理由. nn 22？a,0,？2q,q,1,0.2a,a，a,即2aq,a，aq,解:(?)由题设 3121111 1 ？q,1或,.2 2(1)3nn,n，n(?)若 1,21.q,则S,n，,,n22 (,1)(，2)nnS,b.当 故 ,2时,,,,,0.nSbSnnnnn,12 第35页 星光鱼教育 21(1)19nn,,n，n若 ,2().q,,则S,n，,,n2224 (1)(10)n,n,当 2时,,n,S,b,S,,nnn,14 n,N,当2,n,9时,S,b;当n,10时,S,b;当n,11时,S,b.故对于 ，nnnnnn 第二部分 四年联考题汇编 2010年联考题 题组二(5月份更新) 一、填空题 {a}aa,2aad,0n311111((岳野两校联考)等差数列中，，公差，且、、恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为( ) 11 24A(2 B( C( D(4 答案 D ,,aaa,16aa2.(三明市三校联考)在等比数列中，已知，则的值为 ( ) n3746 A(16 B(24 C(48 D(128 答案A q{a}a,a,a3.(昆明一中一次月考理)已知是公比为的等比数列，且成等差数列. 则132n q, 第36页 星光鱼教育 11,2 A(1或 B(1 C( D (,, 22 答案:A {}aSaaa，，4. (安徽六校联考)若等差数列的前项和为，且为确定的常数，则下列各nnn21012 式中，也为确定的常数是( ) SSSSA. B. C. D.13151719 答案 B aaa,,a,a5((昆明一中四次月考理)等差数列的公差为2，若成等比数列，则,,1342n ( ) ,6,8(A) (B) (C)8 (D)6 答案:A {a}S6. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知等差数列的前项和为，nnna,18,a,则S若等于( ) 458 A(18 B(36 C(54 D(72 答案D ,,a，a,15Sa7((玉溪一中期中理)等差数列中，，其前项和为，且nn45nS,S,15,则a,( ) 762 ,3A( B(1 C( 0 D( 2 答案:C ,,Sa8.(祥云一中二次月考理)各项均为正数的等比数列的前项和为，若nnnS,2,S,14,S则等于( )103040 A.16 B. 26 C. 30 D. 80 答案:C ,,,a中，a,1,当x,N时，a,a,n,则a9.(祥云一中二次月考理)在数列的值n1n，1n100为 ( ) A. 4950 B 4951 C.5050 D. 5051 答案:B ,,a中，a,3,且a,a,aa10.(祥云一中二次月考理)在等差数列成等比数列，则的n11410n通项公式为 ( ) 第37页 星光鱼教育 a,n，2a,2n，1 A. B. nn a,2n，1或a,3a,n，2a,3C. D. 或 nnnn答案:D 二、填空题 a,aaa11((安庆市四校元旦联考)对于数列{}，定义数列{}为数列{}的 nn，1nn a,2a“差数列”，若，{}的“差数列”的通项 1n n2Sa为，则数列{}的前项和= nnn n，12,2答案 1{a}{a}a,12((祥云一中三次月考理)已知数列的通项公式为，数列的前nnnnn,(n，1) SS项和为,则=_________ nnlinn,, 答案:1 1aa13. (祥云一中三次月考文) 数列中，，则= aan,,,=2,1(2,3,4,),,n41na,n1 答案:2 三、解答题 11n，{}a14. (池州市七校元旦调研)在数列中，, aaa,,，，1,(1)n11nn，nn2 an{}b(I)设，求数列的通项公式; b,nnn {}aS(II)求数列的前项和 nnn aa11nn，1解:(I)由已知有 ,，？,,bbnn，1nn，2nn12 1*{}bnN, 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () b,,2nn,1n2 第38页 星光鱼教育 n(II)由(I)知, ,,2ann,1n2 nnnkkS= (2),,,(2)？kkn,,,,1,1kk22,1,,11kkk nnk而,又是一个典型的错位相减法模型， (2)(1)knn,，,,,1k2,1,1kk nkn，2n，2nn(1)，S易得 = ,,4？，,4n,,,11n,1kn222,1k 15.(三明市三校联考)(本小题满分13分) ,,aSa,13a，2S,3已知数列的前项和为，，且(为正整数) nnnn1n，1n ,,a(?)求出数列的通项公式; n kk,S(?)若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值. nn 3a，2S,3n,23a，2S,3解:(?)， ? 当时，. ? ？？n，1nnn,1 a1n，1(n,2)3a,3a，2a,0 由 ? - ?，得. . ？,n，1nna3n 1？a,13a，2a,3 又 ，，解得 . a,12123 1,,aq, 数列是首项为1，公比为的等比数列. ？n3n,11,,n,1 (为正整数) (7分) ？a,aq,n,,„„„„„„„„n13,, 31，，n(?)由(?)知？,, S1()n,,23，， n，，31,,k,1, 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，. n,,,,23,,,,，， n,,12,,,,1,n,1 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， ？,,,,33,,,,,, kk,1 必有，即实数的最大值为1 (13分) ？ „„„„„„ 第39页 星光鱼教育 ,,aa,1,S16. (安庆市四校元旦联考)(本题满分16分)各项均为正数的数列中，是n1n 2,,,an,N2S,2pa，pa,p(p,R)数列的前项和，对任意，有 ; nnnnnp,,a的值; ?求数列的通项公式; ?求常数n 4SnnT,,b?记，求数列的前项和。 b,,2nnnn，3 2,2,2p，p,p？p,1a,12S,2pa，pa,p(n,N)解:(1)由及，得: 1nnn 22S,2a，a,1 (2)由 ? nnn 22S,2a，a,1 得 ? n，1n，1n，1 222a,2(a,a)，(a,a) 由?—?，得 n，1n，1nn，1n2(a，a)(a,a),(a，a),0 即: n，1nn，1nn，1n ？(a，a)(2a,2a,1),0 n，1nn，1n 1,,？2a,2a,1a 由于数列各项均为正数， 即 a,a,nn，1nn，1n2 11,,a 数列是首项为，公差为的等差数列， ？n2 1n，1,,aa,1，(n,1)，, 数列的通项公式是 ？nn22 4Sn，1n(n，3)nnna,S, (3)由，得: ？b,,2,n,2nnn24n，3 23n？T,1，2，2，2，3，2，？？，n,2 n 23nn，12,T,2，2，2，？？，(n,1)，2，n，2 n n2(1,2)23nn，1n，1n，1 ,T,2，2，2，？？，2,n,2,,n，2,,(n,1),2,2n1,2 n，1Tn,,,，(1)22 n 第40页 星光鱼教育 17.(祥云一中二次月考理)(本小题满分12分) n,,a中，a,,3,a,2a，2，3(n,2,且n,N,).在数列 1,1nnn 求a,a的值;) (123 a，3,n(2)设 ,,b,(n,N),证明:b是等差数列;nnn2 ,,a的前n项和S.(3)求数列 nn. n？a,,3,a,2a，2，3(n,2,且n,N,),18.解(1) 1,1nn 2？a,2a，2，3,1 21 3a,2a，2，3,13. 32 ,n,N, (2)证法一:对于任意 a，3a，31n，1n ，，,,？b,b,,,a,2a,3n，1nn，1nn，1nn，1222 1n，1 =,,， ，，2，3,3,1n，12 a，3,3，31,,b 数列是首项为，公差为1的等差数列. ,,0？n22 证法二:(等差中项法) a，3n (3)由(2)得， ,0，(n,1)，1,n2 n,？a,(n,1),2,3(n,N). n 23n,,，，？S,,3，(1，2,3)，(2，2,3)，？，n,1,2,3 ， n 234n，，S,1，2，2，2，3，2，？，n,1,2,3n. 即 n 234n，，T,1，2，2，2，3，2，？，n,1,2, 设 n 345n，1，，2T,1，2，2，2，3，2，？，n,1,2, 则 n 第41页 星光鱼教育 234nn，1，，,T,2，2，2，？，2,n,1,2 两式相减得， n n,14(1,2)n，1 ,,(n,1),2,1,2 n，1T,4，(n,2),2, 整理得， n n，1,S,4，(n,2),2,3n(n,N). 从而 n 题组一(1月份更新) 一、选择题 a,7aa，,30aa1、(2009滨州一模)等差数列中，，，则的值为 ,,451112n A(15 B(23 C(25 D(37 答案 B 2、(2009昆明市期末)已知数列{a}是公差不为零的等差数列，且a，a，a成等比数列，n134 S3为数列{}的前San 项和，则的值为 ( ) nnS5 9339, A( B( C( D( ,551010答案 D 1,,aTT3、(2009番禺一模)已知等比数列的各项均为正数，前项之积为，若,，则nnn5必有( ) aaaaA(,1 B(,1 C(,1 D(,1 3514 答案 B aaaa，,，,3,6,aa4、(2009昆明一中第三次模拟)己知等比数列满足则=( ) ,,12237n A(64 B81 C(128 D(243 答案 A 第42页 星光鱼教育 ,2{}aaaa,,a5、(2009茂名一模)已知等差数列的公差为，且成等比数列，则等于n2452( ) A、-4 B、-6 C、-8 D、8 答案 D 2aa21180xx,，,a6、(2009牟定一中期中)等比数列中，若、是方程的两根，则,,n24 a的值为( ) 3 ,22,3(A)2 (B) (C) (D) 答案 B 2127、(2009上海十四校联考)无穷等比数列„各项的和等于 ( ) 1,,,,224 2,22，22，12,1 A( B( C( D( 答案B n,,,,aS,p，2，2a8、(2009江门一模)已知数列的前项和，是等比数列的充要条nnnn 件是 p,1p,2p,,1p,,2A. B C. D. 答案 D 1,aS{a}a,1a，a,(n,N)9、(2009杭州高中第六次月考)数列{}满足，，是nnn2nn，12 nS的前项和，则的值为 ( ) 21 A( B( C(6 D(10 911 22 答案A 10、(2009聊城一模)两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b，则双曲线 第43页 星光鱼教育 22xy的离心率e等于 ( ) ,,1ab 17353A( B( C(D(2250 答案B a，a,27,a{a}S{a}中，，表示数列的前项11、(2009深圳一模)在等差数列nn396nn S,和，则 11 1899198297A( B( C( D( 答案 B 二、填空题 2a*，n11、(2009上海十四校联考)若数列为 {a}满足,p(p为正常数,n,N),则称{a}nn2an {a}{a}“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条nn 件 n,,aaa,,02,a,a,1，(,1)(n,N,)2、(2009上海八校联考)在数列中，，且，n，212nnS,_________。 100 答案 2550 S,,S,1S,4a3、(2009江门一模)是等差数列的前项和，若，， n12nn a,则 ( n 2n,1答案 aaaa，,，,4,28{}a4、(2009宁波十校联考)已知是等差数列，，则该数列前1278n S10项和=________ 10 答案 100 第44页 星光鱼教育 三、解答题 2{}at,0t,1atat,,,,xt,1、(2009杭州二中第六次月考)数列中，其中且，是n12函数 3fxaxtaaxn()3[(1)]1(2),,，,，,的一个极值点( nnn,，11 {}aa,(?)证明: 数列是等比数列; nn，1 a( (?)求n ,33[(1)]0attaa,，,,ft()0,,(1)由题意得即， nnn,，11 ？,,,,aataan(),(2)， nnnn，,11 2{}aa,tt,1tt,当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ？nn，1 21n,nn，1n？,,,aattt(),atat,,,,？,,,,atat0,(2)即 1nn，1nnn，1 n,t,1？,,atnN()，此式对也成立( n 1Cxy:1,,Axy(,)C2、(2009滨州一模)已知曲线过上一点作一斜率为的k,,nnnnx，2n 11Axy(,)CAx直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中( x,,,,,nnn，，，111nn17 xx(I)求与的关系式; nn，1 11b(II)令b,，求证:数列是等比数列; ，,,nnx,23n ncb,,3,(III)若(λ为非零整数，n?N*)，试确定λ的值，使得对任意n?N*,都nn 有c,c成立。 n+1n 1Axy(,)(1) 解:过的直线方程为 yyxx,,,,()nnnnnx，2n 1,yyxx,,,,(),nnx，2y联立方程消去得 ,n ,xy,1, 第45页 星光鱼教育 x12n ()10xy,，，,n22xx，，nn xxx,，2 ?nnn，1 x，2n即 x,，1nxn 11，xxxx，，,2321113nnnn，,，2bxxxx,,,23233(2)，，11nnnnn(2) ,,,,,,2x，,11111132bnn，，，xxx,,,232323x,3(2)nnnn b?是等比数列 ,,n 11q,,2 ，; b,，,,21x,231 ncc,b,,(2)(III)由(II)知，，要使恒成立由nn，1nnn，，11nnnn，，，，cc3(2),3(2),,,,,,,,233(2),，,,=,0恒成立， nn，1，，，， 3nn,1即(,1)恒成立( λ,-()2 3n,1?。当n为奇数时，即λ<()恒成立( 2 3n,1又()的最小值为1(?λ<1( 10分 2 3n-1?。当n为偶数时，即λ>,()恒成立， 2 333n,1又,()的最大值为,，?λ>,( 11分 222 3即,<λ<1，又λ?0，λ为整数， 2 cc,?λ,,1，使得对任意n?N*,都有12分 ( nn，1 12,,aS,na3、(2009台州市第一次调研)已知数列的首项，前n项和. a,nnn12 n,(?)求证:; aan，1n，n2 第46页 星光鱼教育 ,Tn,,bb,lnST(?)记，为的前n项和，求e,n的值. nnnn 22解:(1)由S,na?，得?， S,(n，1)annn，1n，1 n?-?得:. 4分 ,aan，1n，n2 n1(2)由求得. 7分 ,aaa,n，1nn，n2n(n，1) n2?， 11分 b,lnS,lnn,ln(n，1)S,na,nnnnn，1 Tnnn,,，,，,，，,，,,，(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)(lnln(1))ln(1) n ,Tln(n，1)n?. 14分 e,n,e,n,1 1316641,,aS4、(2009上海青浦区)设数列的前和为，已知，，，， S,S,S,S,nn1234n3333 2,，(n1)4n1,，,(21),(当n为奇数时),,123一般地，()( ,Sn,N*,n2n4,n，(2,1).(当n为偶数时),123, a(1)求; 4 a(2)求; 2n aa，aa，aa，？，aa(3)求和:( 1234562n,12na,16(1); „„3分 4 n,2kk,N*(2)当时，() 22(2)4(2)4kk2k2k,22k， „„6分 ,,,，(2,1),[，(2,1)],2aSS2k2k2k,1123123 nn,N*a,4所以，()( „„8分 2n 1(3)与(2)同理可求得:， „„10分 a,(2n,1)2n,13 aa，aa，aa，？，aaT=， 设1234562n,12nn 123n则，(用等比数列前n项和公式的推导方法)T,[4，3，4，5，4，？，(2n,1)，4]n3 第47页 星光鱼教育 1234n，1，相减得 4T,[4，3，4，5，4，？，(2n,1)，4]n3 123nn，1，所以 ,3T,[4，2(4，4，？，4),(2n,1)，4]n3 21324,nn，1n,14(41)( „„14分 ,，,，,,Tn9279 ByByBny(1,),(2,),,(,),(*)nN,5、(2009上海八校联考)已知点列顺次1122nn x(*)nN,AxAxAx(,0),(,0),,(,0),上的点，点列顺次为轴为直线y,x1122nn4 (01),,anN,*ABABxa,上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的nnn，1n1 等腰三角形。 ,,y(1)证明:数列是等差数列; n nN,*,,x,xx(2)求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式; n，2nn ABA(3)对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。 nnn，1 (根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分) 1n解: (1)依题意有,于是. y,y,y,n，1nn44 ,,y所以数列是等差数列. .4分 n x，x,nn，1x，x,2nn,N(2)由题意得,即 , () ? ,nnn，12 x，x,2(n，1)所以又有. ? n，2n，1 x,x,2xx,由??得:, 所以是常数( ,分 ,nn，2n，2n xxxxxx,,,;,,,由都是等差数列. 135246 xa0a1x2a,,,,,(),x,x，2(k,1),2k，a,2，那么得 , 2k,1112 ,Nx,x，2(k,1),2,a，2(k,1),2k,a)k,. ( ,分 2k2 nan，,1(为奇数),故 1,分 x,,nnan,(为偶数)., 第48页 星光鱼教育 ABA(3) 提出问题?:若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数 annn，1 ABA 提出问题?:若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数 annn，1 解:问题? 1,分 A(n，a,1,0),A(n，1,a,0)AA,2(1,a);当为奇数时,,所以 nnn，1nn，1 A(n,a,0),A(n，a,0),AA,2a;当为偶数时,所以 nnn，1nn，1 nABABC,xC,作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须BC,nnnnnn，1nn4 AA,2BC. ,,且只须:nn，1nn 分 nn当为奇数时,有,即 ? a1,,21a2(),,，n44 31n,5a0,， 当, 不合题意.15分 ？,,,,当时当时n1an3a,;,44 nn1当为偶数时,有 ，,同理可求得 a,2a2,，当时n2a,,n442n,4a0,当时,不合题意. 1,分 311ABA综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. annn，1442 1,分 解:问题? 1,分 A(n，a,1,0),A(n，1,a,0)AA,2(1,a);当为奇数时,,所以 nnn，1nn，1 A(n,a,0),A(n，a,0),AA,2a;当为偶数时,所以 nnn，1nn，1 nABABC,xC,作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且BC,nnnnnn，1nn4 2只须:. ,,AABC,nnnn，13 分 2n3当为奇数时,有,即 ? 21a(),,，a1n,,n4123 第49页 星光鱼教育 3353， 当n,7？,,,,,,,,,当时当时时n1a1n3a1n5a1,;,;,12412 a0,时，. 不合题意( 15分 2n3n3当为偶数时,有 ，,同理可求得 . 2a,，a,当时n2a,,n41263 33n,8a0,;;当时，不合题意(1,分 当时n4a,,当时n6a,,23 ABA综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为 annn，1 3353333;; ;1,分 a,a,a,a1a1a1,,,,,,;;26312412 2n*6、(2009广州一模)已知数列{a}的相邻两项a，a是关于x 的方程x,2 x+ b=0 (n?N)nnn+1n的两根，且a=1. 1 1n(1)求证:数列{ a,×2}是等比数列; n3 *(2)设S是数列{a}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得b,λS>0对任意n?N都成nnnn立，若存在，求出λ的取值范围;若不存在，请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) 2n*(1)证法1:?a，a是关于x 的方程x,2 x+ b=0 (n?N)的两根， nn+1n n,a+a=2nn+1? „„2分 ,b=aa,,nnn+1 111nn+1nn由a+a=2，得，故数列 {a2},，a2(a2),，,,,，nn+1n+1nn333 21是首项为，公比为,1的等比数列. „„4分 a,,133 2n*证法2:?a，a是关于x 的方程x,2 x+ b=0 (n?N)的两根， nn+1n n,a+a=2nn+1? „„2分 ,b=aa,,nnn+1 第50页 星光鱼教育 111n+1nn+1na22a2(a2),，,,，,,，n+1nn333?， ,,,,1111nnna2a2a2,，,，,，nnn333 121n故数列是首项为，公比为,1的等比数列. {a2},，a,,1n333 „„4分 111nnnn(2)解:由(1)得，即， a[2(1)],,,a2(1),，,，,nn333 1nnn+1n+1? b=aa[2(1)][2(1)],,,,，,,nnn+19 12n+1n „„6分 ,,,,[2(2)1]9 123n2n?S=a+ a+ a+„+ a=[(2+2+2+„+2),[(,1)+ (,1)+„+(,1)] n123n3 n1(1)1,,2n+1， „„8分 ,,,[22]32 *要使得b,λS>0对任意n?N都成立， nn n1(1)1,,,2n+1n2n+1即对任意n?N*都成立. [2(2)1][22]0(*),,,,,,,932 1,2n+1n2n+1?当n为正奇数时，由(*)式得， [221][21]0，,,,,93 1λn+1nn+1即， (21)(21)(21)0,，,,,93 1n+1n?2,1>0，?对任意正奇数n都成立. λ<(21)，3 1n当且仅当n=1时，有最小值1，?λ<1. „„10分 (21)，3 1,2n+1n2n+1?当n为正奇数时，由(*)式得， [221][21]0，,,,,93 1λn+1nn+1即， (21)(21)(21)0,，,,,93 1n+1n?2,1>0，?对任意正奇数n都成立. λ<(21)，3 1n当且仅当n=1时，有最小值1，?λ<1. „„10分 (21)，3 1,2n+1n2n+1?当n为正偶数时，由(*)式得， [221][22]0,,,,,93 第51页 星光鱼教育 12λn+1nn即， (21)(21)(21)0，,,,,93 1nn+1?2,1>0，?对任意正偶数n都成立. λ<(21)，6 1n+1当且仅当n=2时，有最小值1.5，?λ<1.5. „„12分 (21)，6 *综上所述，存在常数λ，使得b,λS>0对任意n?N都成立，λ的取值范围是(,?，1). nn „„14分 ,2nN,01,,aaaaa,,，2满足，且 7、(2009宣威六中第一次月考)已知数列,,，，1nnnn，1 01,,a(1)用数学归纳法证明:; n ,,19ba,,lg1(2)若，且，求无穷数列所有项的和。 a,，，,,nn1b10n,, 解: 2,12x，27,0,,baaxT8、(2009广东三校一模),是方程的两根,数列的前项和为,n5nn2 第52页 星光鱼教育 1,，，n,NTb且 ,1,nn2 ,,,,ba(1)求数列,的通项公式; nn ,,cScab(2)记=,求数列的前项和. nnnnnn a，a,12,aa,27d,0a,3,a,9 解:(1)由.且得 2分 252525a,a,52a,1，，？a,2n,1n,N, 4分 ？d,,21n3 1112n,1,n,21在中,令得当时,T=, T,1,bb,.1,b,T,,bn1nnnn,1n,12322 b111n两式相减得, 6分 b,b,b，，？,n,2nn,1n22b3n,1 n,1212,,,. 8分 ，，？b,,n,N,,nn333,, 24n,2(2), 9分 ，，c,2n,1,,nnn33 132321S,,,1352n1nn,,,,n2,, 10？,，，，？，,，，，，S2？,,,,n23n23nn，1333333333,,,, 分 ，，11,,，,21,,,,n,1,2111121121n，，,93n,,,,,,，,=2 22？,，，，，,S？,,nn，1,,23nn，113333,,3333,,，，1,,,3，， 11121444n,n，,,2=, 13分 ，,,,,,,nn，1n，1333333,, 2n，2 14分 ？S,2,nn3 ,,,,ba,b,2aab,,,19、(2009江门一模)已知等差数列和正项等比数列，，( nn3311ab?求、; nn ,ab,n,N?对，试比较、的大小; nn 第53页 星光鱼教育 ,,bSpa,p，log(S，c)?设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立,若ncnnn2n p存在，求、的值;若不存在，说明理由( c 12q,0a,a，(3,1)db,bq解:?由，得-------1分 由且得d,31312 q,2-------2分 1n,1n，1n,2(1)所以，-------4分 b,bq,2a,a，n,d,n11n2 3n,13a,bn,2a,bb,2?显然，时，;时，，，-------5分 a,nn22222 22(1)21n，n，n，22nnn,32()2(11)时， b,a,,,，,nn22 221n，n，0123-------6分 ,C，C，C，C,nnnn2 n,1n(n,2)-------7分 ,，[,1],023 b,0n,3aa,b因为、，所以时，-------8分 nnnn nnbq(1,)12S?-------9分， ,,(2，1)(2,1)nq1, 1,p，log(1，c),2a,p，log(S，c)恒成立，则有-------11分，解得,n2n2,p，log(1，2，2，c)2, c,2，1p,log(2,2)，-------12分 2 n,2,n,N，p，log(S，c),log(2,2)，log[(2，1)(2,1)，(2，1)] 222n nnn，122-------13分 ,log[(2,2)(2，1)，2],log(2，2),,an222 a,p，log(S，c)p,log(2,2)c,2，1所以，当，时，恒成立-------14n2n2 分 ,10、(2009汕头一模)在等比数列,a,中，a,0 (nN)，公比q(0,1)，且aa + 2aa ,,nn1535 第54页 星光鱼教育 +a a,25， 28 a与a的等比中项为2。 3s (1)求数列,a,的通项公式; n SSSn12 (2)设b,log a，数列,b,的前n项和为S当最大时，求n的值。 n2nnn，，,,,，12n 22aa解:(1)因为aa + 2aa +a a,25，所以， + 2aa +,25 1535283535 又a,o，„a，a,5，„„„„„„„„„„2分 n35 又a与a的等比中项为2，所以，aa,4 3535 1而q(0,1)，所以，a,a，所以，a,4，a,1，，a,16，所以， ,q,353512 n,11,,5,n„„„„„„„„„„6分 a,，,162,,n2,, (2)b,b,log a,5,n，所以，b,,1， n2nn，1n 所以，{b}是以4为首项，,1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分 n Snn(9),9,nn所以， S,,,n2n2 SSSnnn所以，当n?8时，,0，当n,9时，,0，n,9时，,0， nnn SSSn12当n,8或9时，最大。 „„„„„„„„„„12分 ，，,,,，12n ,,Saa,111、(2009深圳一模文)设数列的前项和为，，且对任意正整数,点nnnn1，，a,S2x，y,2,0在直线上. n，1n ,,a(?) 求数列的通项公式; n ,,,,,，,，(?)是否存在实数，使得数列Sn为等差数列,若存在，求出的值;,,,nn2,, 若不存在，则说明理由. ,kn121(?)求证: . ,,,6(a1)(a1)2，，k,1kk，1 解:(?)由题意可得: 2a，S,2,0. ? n，1n 2a，S,2,0.n,2时, ? „„„„„„„„ 1分 nn,1 第55页 星光鱼教育 a1n，1 ???得， ，，2a,2a，a,0,,n,2nnn，1a2n 11,22 „„„„„„„„ 3分 ？a,a，a,,a,12122 n,111,,1,,a是首项为，公比为的等比数列， „„„„„„ 4分 a.？？,,,nn22,, 11,n12(?)解法一: „„„„„„ 5分 ？S,,2,.nn,1121,2 ,,,，若为等差数列， S,,nn2,, ,,,,2,3则成等差数列, „„„„„„ 6分 S，，S，，S，，,,,12323222 9325393725,,,,,,,,,,2 S，,S，，S，,2，,1，，，,,,,,21342824248,,,, ,,2.得 „„„„„„ 8分 2,,,,22n，2又时，，显然成等差数列， S，2n，,2n，2nn2 ,,,,,2，，故存在实数，使得数列成等差数列. „„„„„„ 9分 Sn,,,nn2,, 11,n12解法二: „„„„„„ 5分 ？S,,2,.nn,1121,2 ,,11 „„„„„ 7分 ，，？S，,n，,2,，,n，,2，,n，,,2.nnn,1nn2222 ,,,,,2,0,,2，,，欲使成等差数列,只须即便可. „„„„„8Sn,,,nn2,, 分 ,,,,,2，，故存在实数，使得数列成等差数列. „„„„„„ 9分 Sn,,,nn2,, 第56页 星光鱼教育 11111(?) „„ 10分 ,(,)？,k11112(a1)(a1)，，kk，1，1，1(，1)(，1)k,1kkk,12222 ,knn211( „„„„ 11分 )？,,,,11(1)(1)aa，，,1,1kk，1kkt，11，k,1k22 111111 ,(,)，(,)，？，(,)111111，1，1，1，1，1，12tk,122222 k2111 „„„„ 12分 ,,,,，k121，12，1，1k2 x21x,[1,，,)又函数在上为增函数， y,,x12，1，1x2 1k22， „„„„ 13分 ？,,11k2，12，1 k,kn21211121？,,,,1,，( „„„ 14分 ,,,k32226(a1)(a1)22，1，，k,1kk，1 2009年联考题 一、选择题 {a}1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中，若n2,Saaann,,,,,0(,2)N，则等于 ( ) nnn2009,，11 A(0 B(2 C(2009 D(4018 答案 D {}a2. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列是公比为4的等比数列，na=2{log}a且，则数列是( ) 12n lg2A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列 第57页 星光鱼教育 lg2C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列 答案 A S,14aa，3.(2009福州三中)已知等差数列{a}的前n项和为Sn，若，则的值为( ) n735 A(2 B(4 C(7 D(8 答案 B aa，,4a4.(2009厦门一中文)在等差数列中， ,则 其前9项的和S等于 ( ) 9,,28n A(18 B 27 C 36 D 9 答案 A 2{a}a2a,a，2a,05.(2009长沙一中期末)各项不为零的等差数列中，，则的值n37117((( 为 ( ) 204或0A( B(4 C( D( 答案 B a，a，a,39{a}a，a，a,27{a}6.(2009宜春)在等差数列中，，，则数列n147369n S的前9项之和等于 ( ) 9 ( ( ( A.B144D.6699C297答案 B {a}7.(辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟)设等差数列的前n项和为 nS,若S,8,S,20,则a，a，a，a,( ) n4811121314 A(18 B(17 C(16 D(15 答案:C. 二、填空题 {a}8.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列的公差n a，a，a139a,a,ad,0，且成等比数列，则的值为 ( 139a，a，a2410 第58页 星光鱼教育 13答案 16 nn,1,为奇数,a,aa，,9.(2009福州八中)已知数列则,,,, , ,n1100nn,为偶数, aaaaaa，，，，，，,,,,, 123499100 答案 100( 5000; aaa，，，,81{}a10.(2009宁乡一中第三次月考)11、等差数列中，且129naaa，，，,171d，则公差= 2310 答案 10 ,,aa,32009南京一模)已知等比数列11.(的各项均为正数，若，前三项的和为21 ， n1 a，a，a,则 456 答案168 nSaS,,2112.(2009上海九校联考)已知数列的前项和为，若，则n,,nnn a, . 8 答案 128 三、解答题 n,2{}aaa,,2,613.(2009龙岩一中)设正整数数列满足:，当时，有n12 12( aaaa,,||nnnn,，,1112 aa(I) 求、的值; 34 {}a(?)求数列的通项; n 2222*9123nnN,(?) 记，证明，对任意， . T,T,，，，，nn4aaaan123 12n,2|362|1,,aaa,,2,6解(?)时，，由已知，得， ||aaaa,,31221312 第59页 星光鱼教育 a,18aa,54因为为正整数，所以，同理„„„„„„„„„„„„2分 433 n,1a,,23(?)由(?)可猜想:。„„„„„„„„„„„„„„„„3分 n n,1,2证明:?时，命题成立; k,1k,2n,k,1nk,a,,23a,,23?假设当与时成立，即，。„„„„„4分 kk,1 21a12k于是，整理得:，„„„„„„„„„„„5分 aaaa,,,,||||akkkk,，,，111k122a,k1 111kkk由归纳假设得:，„„„„„„„6分 ,,,,,,,,,，aa|23|2323，，11kk222 knk,，1aa,,23因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。 k，1，1k *n,1,,nNa,,23综上:由知??知对于，有成立(„„„„„„„„„„„„7分 n 22223n(?)证明:由 ? ,，，，，21Tn,n21333 2222212(1)nn, 得 ? T,，，，，n,nn2133333 243521nn,?式减?式得 ?„„„„„„„9分 T,，，，，,1n,nn2133333 24132321nnn,, ? T,，，，，,n,，nnn211933333 ?式减?式得 228222(1)nn, „„„„„„„11分 T,，，，，,，1nnnn,，211933333 1,12222nnnnn,,111(1)(1)3 ,,，，，，，,，,,，,,，12(1)12,，，nnnnn211113333333,13 2221(1)nn,2(36)nn,，„„„„13分 ,,,22,,，,,，13nnn,，n，1113333 第60页 星光鱼教育 9则 („„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分 T,n4 11,,a14.(2009常德期末)已知数列的前n项和为且，数列Sa,SSa,，，,nn1nnn,,1142 119,3bbn,,(2)nnN,,且b满足且( b,,,,nn,1n14 ,,a(,)求的通项公式; n ba,(,)求证:数列为等比数列; ,,nn b(,)求前n项和的最小值( ,,n 12221SSa,，，221aa,，解: (1)由得, „„2分 aa,,nnn,,11nn,1nn,12 11? „„„„„„„„„„„„„„4分 aandn,，,,,(1)n124 113bbn,,(2)?,?, bbn,，nn,1nn,133 1111111113?; babnnbnbn,,，,，,,，,,，()nnnnn,,,1113324364324 1113 babnbn,,,,，,,，(1)nnnn,,,,11112424 1191ba,1nn ?由上面两式得,又 ba,,,,,,30,1144ba,3,,11nn 1ba,?数列是以-30为首项,为公比的等比数列.„„„„„„„8分 ,,nn3 11111n,1nn,,11(3)由(2)得，? ba,,,，ban,,，,,,，30()30()30()nnnn33243 111111nn,,12bbnn,,,,，,,，，，30()(1)30() nn,1243243 11111nn,,22b= ，?是递增数列 „„„11分 ,,，，,,，，,30()(1)20()0n23323 1193510当=1时, <0;当=2时, <0;当=3时, <0;当=4nnnnb,,b,,b,,101234344710时, >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. b,,449 1101且„„„„„„„„„„13分 S,，，,,,,,(135)30104134312 第61页 星光鱼教育 2007—2008年联考题 一、选择题 ,,aS(n,1,2,3,,,)1.( 上海市部分重点中学高三第一次联考) 等差数列的前n项和当nn a，a，aa首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的58111 是―――――――――( ) SSS A、 B. C、 D、 S16151718答案 B 2.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试) 各项都是正数的等比数列 a，a134q,1{a}的公比，且成等差数列，则的值为( ) a,a,an231a，a245 1,55，15,15，15,1 A( B( C. D(或 22222答案 C 3.(湖南省2008届十二校联考第一次考试)在等比数列 a18 ( ) {a}中,aa,6,a，a,5,则,57210na10 232323,或, A( B( C( D(或 323232答案 D ,,a正项等比数列满足4. (200,年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一))naa,1,,bS,13b,loga,,,则数列的前10项和是 243n3nn A(65 B(,65 C(25 D. ,25 答案 D 5.. (上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试(二)) 等差数列{a}共有2n项，n 第62页 星光鱼教育 a,a,,33其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为 ( )2n1 A(3 B,3 C(,2 D(,1 答案 B 二、填空题 a11a6.(江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学) 在等差数列中，若它,,1,,,na10 SS的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 . n,nn 答案19 S{}a7.(2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷)为等差数列的前n项和，nna41n,S2n2n若，则= ( ,an21,Snn 答案 4 21nd,a41n,and，41n,2nn解析: 由，即 ，得( ada,,,,,n122an21,an21,nn22naa()，(2)ndndSn12n，(故=4( SS,,4S,,nnn2222Sn 8.(山东省潍坊市2008年高三教学质量检测) 设等差数列{a}的前n项和为S，若nnaa，,20，则S=______________( 19614 答案 190 {a}9.(江西省临川一中2008届高三模拟试题)等差数列有如下性质，若数列是等差数列，n a，a，？，a12n{c}则当 也是等差数列;类比上述性质，相应地是正b,时,数列{b}nnnn d,{d} 时，数列也是等比数列。 项等比数列，当数列nn nCC？C答案 12n 三、解答题 10..(2008江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题)设集合W是满足下列两个条件的 第63页 星光鱼教育 aa，*nn，2{}aaMn,,.,其中N无穷数列的集合:?; ? M是与n无关的常数( ,annn，12 aSaS{}S(1)若{}是等差数列，是其前项的和，=4，=18，试探究与集合之间的关nWnn33n 系; nbbnbW,,,52,{}且(2)设数{}的通项为，求M的取值范围;(4分) nnn {}a(1)设等差数列的公差是，则+2=4，3+3=18，解得=8，=,2， 解 d adadad 111n nn(1),2所以，(2分)， Snadnn,，,,，9n12 SSSSSS，,,,()()aa,dnnnnnn，，，，2211nn，，21 1,,,,,,,Sn，12222 SS，nn，2得适合条件?. (4分); ,,Sn，12 22981又， Snnn,,，,,,，9()n24 所以当n = 4或5时，S取得最大值20，即S? 20，适合条件?， (3分)， nn S,W综上，{}. (1分) n nnn，1bbnn,,，,,，,,5(1)25252(2)因为，(2分)， nn，1 bb,,0所以当n?3时，，此时数列{b}单调递减;(1分) nnn，1 bb,,0当n = 1，2时，，即b,b,b， 123nn，1 因此数列{b}中的最大项是b=7，所以M?7((3分) n3 11.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列 11，设 b，2,3loga(n,N*)，数列{a}是首项为a,,公比q,的等比数列1nnn1444 {c}满足c,a,b。 nnnn {b} (1)求证:是等差数列; n {c} (2)求数列的前n项和S; nn 12 (3)若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 c,m，m,1对n4 第64页 星光鱼教育 1n解:(1)由题意知，„„„„„„„„1分 a,()(n,N*)n4 ？b,3loga,2,b,3loga,2,1n1n111 44 a1n， ？b,b,3loga,3loga,3log,3logq,3n1n1n11n11，，an4444{b}是首项b,1,公差d,3?数列的等差数列„„„„„„„„4分 n1 1n(2)由(1)知， a,(),b,3n,2(n,N*)nn4 1n„„„„„„„„„„5分 ？c,(3n,2)，(),(n,N*)n4 1111123n,1n ？S,1，，4，()，7，()，？，(3n,5)，，)，(3n,2)，(),n44444111111234nn，1于是 S,1，()，4，()，7，()，？，(3n,5)，，)，(3n,2)，()n444444 31111123nn，1两式相减得 S,，3[()，()，？，()],(3n,2)，()n44444411n，1 ,,(3n，2)，().24 212n，81n，1„„„„„„„„8分 ？S,,，()(n,N*)n334 11n，1n(3) ？c,c,(3n，1),(),(3n,2),()n，1n44 1n，1 ,9(1,n),(),(n,N*)4 1?当n=1时， c,c,214 n,2时,c,c,即c,c,c,c,？,c当 n，1n1234n 1c?当n=1时，取最大值是 n4 12又 c,m，m,1对一切正整数n恒成立n4 1121 ？m，m,,44 2m，4m,5,0得m,1或m,,5即„„„„„„„„12分 {}a12.(设数列的前n项和武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)n 第65页 星光鱼教育 n2，snn,,，，,(1)(241)1nNe,，。 n n,(1){}aabT(1)求数列的通项公式;(2)记，求数列前n项和b,,, nnnnnan n2asnn,,，，,(1)(241)1解:(1)数列的前n项之和 ,,nn 1as,,,，，,,,(1)(241)18在n=1时， 11 n,2ass,,在时， nnn,1 nn212,,,，，,,,，,，(1)(241)(1)[2(1)4(1)1]nnnn n,,,，(1)4(1)nn na,,8ann,,，(1)4(1)而n=1时，满足 1n naann,,，(1)4(1)故所求数列通项„„„„„„„„„„„„(7分) ,,nn n,(1)1111(2)? b,,,,()nannnn，，4(1)41n 114nb因此数列的前n项和„„„„„„„„„(12分) T,,,(1)),,nn411nn，， ，，Pa,b13.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)已知点都在直线nnn l:y,2x，2,,Plan,N上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1. () xn，1 ,,,,ba(1)求数列，的通项公式; nn a (n为奇数),n，，，，k,Nfk，5,2fk,2f(n),(2)若 ， 问是否存在，使得成立;,，b (n为偶数)n, k若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 1211,n,N(3)求证: „„ + (2, ) ，，,n，2225PPPPPPn13121 ，，P,1,0,a,n,2,b,2n,2解 (1) 1nn 第66页 星光鱼教育 n,2 (n为奇数),(2) f(n),,2n,2 (n为偶数), k:假设存在符合条件的 f(k，5),k，3,f(k),2k,2k，5k(?)若为偶数，则为奇数，有 f(k，5),2f(k),2k，3,4k,6,k,3k如果，则与为偶数矛盾.不符舍去; f(k，5),2k，8,f(k),k,2.k，5k(?) 若为奇数，则为偶数，有 ？2k，8,2(k,2),2k这样的也不存在. k综上所述:不存在符合条件的. ，，？Pn,2,2n,2,P(,1,0)(n,2)？PP,5(n,1)(3) n11n ，，1111111？1？？，，，,，，，， ,,222222523，，n,1PPPPPP，，12131n ,,，，，，112111111,, ,2,,,1，，，？，,1，1,,,,,,,，，，，5(n,1)551，22，3n,2n,15(n,1),,，，，， 第67页