关于允许不允许缺货问题

关于允许不允许缺货问题 1、问题分析 工厂生产需要定期地订购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都是一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润;存得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。根据存贮管理原理以及存贮费、订货费和缺货费的意义可知，为了保持一定的库存，要付出存贮费;为了补充库存，要付出订货费;当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。这三项费用之间是相互矛盾、相互制约的。存贮费与物资的数量和时间成正比，如降低存贮量，缩短存贮周期，自然会降低存贮费;但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出;为了防止缺货现象的发生，就要增加安全库存量，这样在减少缺货损失费的同时，增大了存贮费的开支。 2、模型假设 为使研究模型简便，本文作如下假设: 1)在商品销售过程中，因为，则首先销售租借仓库中的商品，待被C,C23 销售完后，再销售自己仓库中的商品，这样可以降低存贮费用。 [1]2)每次到货补充商品的过程是瞬间完成的，不考虑交货时间的影响。 3)商品间的销售不存在相关性，互不影响。 4)在时段初(时刻)，各种商品的总库存量为。 t,0Q [2]基于以上假设，本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费、库存存贮费和因缺货而减少销售要造成损失费。 3、符号说明 表1 变量定义表 变 含 义 单 位 备 注 量 C 订货周期内的总费用 元 货币计量单位 订货周期内平均每天的费用 元/天 C C 每次进货的订货费 元/次 1 用自己仓库存贮单位商品每天的存贮费用 元/天.盒(袋) 仅有一种商品时 C2 C租借仓库存贮单位商品每天的存贮费 元/天.盒(袋) 仅有一种商品时 3 单位商品缺货每天的损失费用 元/天.盒(袋) 仅有一种商品时 C4 自己仓库存贮第种单位体积商品每天存贮费i元/天.体积单位 im,12、C2i用 C租借仓库存贮第种单位体积商品每天存贮费 元/天.体积单位 im,12、i3i 第种单位体积商品缺货每天的损失费用 元/天.体积单位 im,12、 Ci4i 商品销售到的时刻 Q天 t 01 订货点L的时刻 天 t 2 t商品销售完毕的时刻 天 3 T 从Q到补货的时间周期 天 不一定相同 Q 存贮量的固定值 袋(盒)或体积 Q自己仓库用于存贮商品的最大容量 袋(盒)或体积 0 Q自己仓库用于存贮第种商品的体积容量 体积单位 im,12、i0i 第种商品存贮量补充到的固定体积值 体积单位 Qim,12、ii L 商品的订货点 袋(盒)或体积 第种商品的订货点 体积单位 im,12、L ii *最优订货点 体积单位 L m 商品品种数量 种 x 订货提前期 天 R 销售速率 (袋或盒)/天 第种商品的销售速率 (袋或盒)/天 ri i,1、2？？mi v 第种单位商品的体积 体积单位 i i,1、2？？mi 对x进行概率统 Px()订货提前期的概率分布 x 计 4、模型建立与求解 4.1问题1的解决 问题1允许商品缺货，所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况，如 图1所示，因此分两种情况进行分析求解，最后进行综合讨论。 存 贮 量 q Q Q0 L x x 0 ttT tT 时间t tt32211 图1 存贮量——时间图 L模型一:当时，如图2所示，商品缺货的周期存贮费用 ,xr 存 贮 量 q Q Q0 L x 0 t时间t T tt312 图2 缺货情况下的存贮量——时间图 通过对图2的分析，建立在0,T时间段内的总损失费用的模型: ttT13ECCCQtCQrtQdtCQrtdtCQrtdt,，，,,，,,,，，，，，，，，12013024,,,0tt13… …(1) QQ,QQ,L0其中:t t,t,Ttx,，,2321rrr C1124ttt=+++(-)+ EC，，，，CCCQT,trCQtQ,Q，， 11ttt令W=+++(-) ，，CCCQCQtQ,Q22 CCrL2244则 ECWTtrWx,，,,，, ()，，，，322r L取， xZ,,r 总损失费用最小即平均损失费用最小: 12WCrZ，4EC，，2，， E(T)= = C，，QT，Zr 12CrZtZWCrZ()()，,，434dEC()2令 ,,02dZtZ()，3 2也就是: 22 0WCrZtCrZ，,,434 2WL2解得: Zttx,，,,,33Crr4 得到缺货情况下的最优订货点: ,,22WWr,22 …………………………(2) LrxttQrxQ,，,，,，,，,,33,,CrC44,, L模型二:当时，如图3所示，商品不缺货的周期存贮费用 ,xr 存 贮 量 q Q Q0 L x 0 tt时间t T 21 图3 不缺货情况下的存贮量——时间图 通过对图3的分析，建立了不缺货情况下0,T时间段内的总损失费用的模 型: tT1 ………………(3) ECCCQtCQrtQdtCQrtdt,，，,,，,，，，，，，1201302,,0t1 11即: ECC(CC)(QQ)tCT(QLrx),，,,，，,，，13201222 QQ,Q,L0t其中， T,，x,1rr 11W,C，(C,C)(Q,Q)t令，则 ECWCT(QLrx),，，,，，13201222 单位周期内的平均总费用为: CC111,,222，，，， ECTWCTQLrxWQLrx()[()](),,，，,,，,,,,2，，，，TTTr22,, 'dCWTWr()()CC,22令 ,，,，,022dLTQLrx2[()]2,, 2rW2解得: [()]QLrx,,,C2 2rW, ………………………………………(4) ,，,LQrxC2 L,特殊情况:当时， ,xLrx,r 模型三: 将模型一、模型二两种情况综合，其损失费用的数学期望为: L,r ECECPxECPx,，()()，，，，，，,,ba0L,x,xr说明:分别指符合模型一、模型二情况的单位周期内的总损EEC,C，，，，ab 失费用。 将(1)和(3)带入公式求得 LL,rrtT1，，ECCPxCPxCCQtCQrtQdtCQrtdtPx,，,，，,,，,()()()，，，，，，,,,ba1201302,,,,0t1，，L00,,xx,xr ,ttT13，， ()，，，,,，,,,CCQtCQrtQdtCQrtdtCQrtdtPx，，，，，，,12013024,,,,,0tt13，，L,xr …(5) , 很明显，则周期T内的总损失费用的一般模型为: Px()1,,x0, L,rttT13ECCCQtCQ-rt-QdtCQrtdtPxCQrtdtPx,，，，,,,，，，，，，，，，，，，,,12013024,,,0tt13Lx0,x,r 平均每天的损失费用为: L，，,rttT113,,ECCCQtCQ-rt-QdtCQrtdtPxCQrtdtPx,，，，,,,，，，，，，，，，，，，,,12013024,,,,,tt013TLx,0x,,,r，， L，，2,rQL,1111L,,,,,,0,，，，，,，，,CCQtCQ-QtCQLrxxPxCrxPx()，，，，，，,,i120301204,,,,,,Trr222L,,,,,x0,x,,r，， Lr/, ECECpxECpx,，，，，，，，，，，，,,baxxLr,,0/ 经过求解得: Lr/,22rWWr,2ba ,，,，，LQrExpxQpx()，，，，,,CCxxLr,,0/24